為了推斷的推理^注24

在第三輯，我們討論了數學證明過程中的推理，即演繹推理。回憶第三輯緒論中關于演繹推理的定義：從假設和定義出發，按照某些規定了的法則所進行的、前提與結論之間有必然聯系的推理。正因為演繹推理是一種結果必然的推理，因此所有嚴格的數學證明采用的都是這種推理模式。其中，“按照某些規定了的法則”所進行的推理，意味著演繹推理是由一般到特殊的推理；“前提與結論之間有必然聯系”的推理，意味著演繹推理要求前提和結論必須是事先知道的。可是，在我們的日常生活和生產實踐中，人們常常關心的問題是：如何從前提出發預測可能得到的結果，或者，如何從已經得到的結果出發探究結果形成的原因。顯然，希望“預測”或者“探究”的那些東西并不是事先確切知道的，因此，在“預測”或者“探究”的過程中是無法借助演繹推理的。為了研究問題的方便，我們統稱預測和探究為推斷。不言而喻，人們是通過推斷得到新知識的，也是通過推斷得到新理論的，因此，推斷是人們認識自然的根本思維方式，或者說，推斷是人們得以創造的根本思維方式。

在這一輯，我們將從數學的角度討論推斷所依賴的推理模式，雖然這種推理不能成為嚴格的數學證明，但這種推理依然是具有邏輯性的^注25，我們稱這種推理模式為歸納推理。可以描述歸納推理的定義：從經驗和概念出發，按照某些法則所進行的、前提與結論之間有或然聯系的推理。比較演繹推理的定義可以看到，歸納推理與演繹推理的出發點是根本不同的。特別是，歸納推理比演繹推理要靈活得多，這是因為：在推理過程中，“概念”是必要的，但不需要抽象為嚴格的定義；“法則”是必要的，但不需要確立為嚴格的規定；前提與結果之間的“聯系”是必要的，但這種聯系是可以是或然的。正因為歸納推理具有這種靈活性，才可能從事物（事情和實物）的現實出發，對事物的過去或者未來進行推斷。

雖然歸納推理是一種“前提與結論之間有或然聯系”的推理，但就結論而言，又可以分為兩種情況：一種情況是結論的成立本身可能是必然的；一種情況是結論的成立本身已知是或然的。在這本書中，關于歸納推理的任何一個話題，我們都將分別討論這兩種情況。可以看到，前一種情況的必然性恰恰是需要通過演繹推理給予證明的，因而恰恰是純粹數學所需要的。對于后一種情況，雖然通過推斷得到的結論是或然的，但卻是實用的，因為在日常生活和生產實踐中，人們對事情決策所遵循的原則并不要求必然成立，只是希望在大多數情況下成立。比如，人們在決策的過程中可以不顧及或然率很小的情況：人們不會因為有地震而不建高樓，也不會因為有交通事故而不購買汽車。因此，后一種情況的研究已經成為現代數學的重要內容，包括概率論、統計學、隨機分析等等。

對于數學而言，如果說演繹推理是為了證明的推理，那么歸納推理就是為了推斷的推理，把這兩種推理模式結合起來，就得到了數學的推理的全部過程；從條件出發，借助歸納推理“推斷”數學結果的可能性，借助演繹推理“驗證”數學結果的必然性；或者，進行一個相反的推理過程：從結果出發，借助歸納推理“推斷”數學條件的可能性，借助演繹推理“驗證”數學條件的必要性。

在進入正文之前，我們簡潔地討論一個重大的哲學問題，我相信，討論這個問題對于理解歸納推理是有好處的。這個問題就是：上述的數學推理過程本身是不是必然的？也就是說，如果讓人類再一次開始演變的歷史，那么，所形成的數學推理過程是否會與上面述說的是一樣的呢？我想給出的結論是：借助歸納推理進行推斷的過程是必然的，而借助演繹推理進行驗證這個過程不一定是必然的。在這里，我并沒有要否定演繹推理的意思，恰恰相反，我們應當非常珍惜這個“難得”的推理模式。我想，或許正是因為這個“難得”，人們就認為演繹推理是數學的根本特征，于是在數學的整個教育過程中都非常強調演繹推理，并且很大程度上忽略了歸納推理。但是，我們不應當忘記歸納推理是一種“自然”的推理模式，是一種“創新”所要依賴的推理模式，因此在數學教育的過程中，無論從時間上還是從內容上都應當對歸納推理給予足夠的重視，應當讓學生在學習的過程中，逐漸感悟出這種推理模式的“自然”屬性。在這本書中，我們將詳細地討論這個問題。

之所以得到上述結論，第一個論據是基于事實的，因為在這個地球上，原發性地創造了文字的最古老的三大文明，即兩河流域文明、尼羅河文明和黃河文明，均沒有在他們的思維過程中表現出演繹推理，并且可以設想，如果沒有后來的文化交流，這些文明的延續也很可能不會自發地產生演繹推理。在希臘人入侵埃及之前，尼羅河文明即古埃及文明延續了三千多年，在這漫長的歲月中并沒有形成演繹推理的思維模式。上述三大文明中只有黃河文明延續下來了，這便是現在中國這方土地上逐漸形成的中華文明，但追溯到明末清初歐幾里得的《幾何原本》傳入之前，在中華文明漫長的演變過程中并沒有形成演繹推理的思維模式，或者說，中國古代的哲人對演繹推理的思維模式不感興趣，關于這個問題的詳細討論可以參見第三輯的附錄。

再比如，我們曾經在第二輯的最后一講詳細地討論了西方的名實之爭，問題的核心是，我們得以抽象的那些數學概念本身是如何存在的。有一種說法認為，這些概念是客觀存在的，人們通過某種方式發現或者認識了這些概念，因此，這些概念是永恒的存在，是實體；還有一種說法認為，這些概念原本是沒有的，是人為地創造出來的，因此，這些概念只是名而已，不是實體。前者便是所謂的“唯實論”，后者便是所謂的“唯名論”。這兩派的爭論是從古希臘的學者柏拉圖和亞里士多德開始的，一直延續至今。縱觀幾千年的西方哲學史，我們似乎可以認定，起源于古希臘的名實之爭構建了演繹推理的邏輯基礎，也就是說，沒有柏拉圖和亞里士多德開始的這場爭論，就不會有如此規范的演繹推理。但是，在中國的認識論中，根本就沒有關于這個命題的討論。公孫龍子的《指物論》敘述了中國先秦時代關于概念的認識。那篇文章中明確談到：抽象的名是不存在的，存在的是具體的物，名是基于物抽象出來的。在那篇文章中明確地反問到：人們發現了一個新的事物，怎么能同時知道這個事物的名稱呢？而不知道名稱人們又如何能夠討論這個事物呢？因此，這個事物的名稱是由人命名的^注26。

之所以得到上述結論，第二個論據是基于必要性。所謂的必要性，就是考察人們為了發現自然的規律，或發現來源于自然的知識，這種推理模式是否是必須的。亞里士多德是演繹推理的集大成者，回顧在第三輯曾經討論過的、亞里士多德給出的演繹推理的經典句式：

凡人都有死。

蘇格拉底是人。

所以，蘇格拉底有死。

對于發現知識而言，這個句式的推理是一點意義都沒有的。這個推理模式至多可以在生前判斷蘇格拉底有死，但亞里士多德在寫這個句式的時候，蘇格拉底已經死了。事實上，判斷“蘇格拉底有死”要比判斷“所有人有死”容易得多，因此，正常的推理模式應當是從每一個具體的“蘇格拉底有死”推斷“所有人有死”。可以寫出推理模式：

蘇格拉底是人，蘇格拉底有死。

柏拉圖是人，柏拉圖有死。

亞里士多德是人，亞里士多德有死。

……

所以，凡人都有死。

這樣，我們得到了一個新的知識：凡人都有死。可以看到，這種句式的流程與演繹推理的經典句式的流程是完全相反的，這是一種從具體到一般的推理模式。為了討論問題的方便，我們稱這個句式為歸納推理的經典句式。

對于上面的兩種句式分析可以看到，演繹推理是基于“理念”的推理，歸納推理是基于“事實”的推理；由此，進一步可以知道，演繹推理是追求“形式”的推理，歸納推理是追求“實用”的推理。關于演繹推理是基于“理念”的、是追求“形式”的說法似乎有些武斷，事實上，這個說法恰恰是形成演繹推理這種思維模式的初衷，正如亞里士多德在《形而上學》中所談到的^注27：

另外，為知而知的知識，屬于更可通曉的知識，因為想以學為唯一目的的人會選擇最完善的知識，即最可通曉的知識。…… 因此，這種知識從一開始就不是為了創造些什么，…… 很顯然，他們是為了知而求知，并不以實用為目的。可以說，只有在生活必需的那些東西有了保障的時候，人們才開始尋求這種知識。我們追求這種知識并不是為了得到些什么別的好處。正如我們稱一個為自己而不為他人存在的人為自由人一樣，它是唯一的一門自由的學問，因為它只是為了它自己而存在。

亞里士多德說的非常確切，人們只有在衣食無憂的情況下，才可能靜下心來觀察、思考、推斷那些完全為了知而知的知識。關于這一點，幾乎同時期的中國古代的哲人們并沒有那么好的條件。春秋戰國時期，中國大地上征伐不斷、民不聊生，因此，中國古代的哲人更關心的是人世間的事情，關心的是如何做人的知識，關心的是如何管理國家的知識，或許這就是中國古代沒有出現演繹推理的主要原因。事實上，即便是在衣食無憂的情況下，人們也不一定必然地去探求那些完全為了知而知的知識，因為人們在這種知識中不一定能夠直接得到效益，正如現代分析邏輯的奠基人、德國邏輯學家弗雷格所說^注28：

邏輯規律不是自然規律，而是自然規律的規律。

顯然，這里所說的邏輯規律是演繹推理。因此可以斷言，對于認識自然而言，演繹推理是不能直接發揮效能的。

為了更加清晰地把握推理的精髓，我們把兩種不同推理的過程簡單描述如下：推理的主線是命題之間具有傳遞性，在這個主線的基礎上，演繹推理是命題所涉及的范圍由大到小的推理，歸納推理是命題所涉及的范圍由小到大的推理。所謂命題范圍由大到小或者由小到大，是推理模式從一般到特殊或者從特殊到一般的具體描述，我們可以從演繹推理的經典句式和歸納推理的經典句式中理解這種表述。從邏輯層面考慮，正因為演繹推理是命題范圍由大到小的推理，因此通過演繹推理得到的結論是必然的，但不能用于發現新的知識；與此相反，正因為歸納推理是命題范圍由小到大的推理，因此通過歸納推理得到的結論是或然的，但能夠用于發現新的知識。在第三輯的討論中我們可以感悟到，演繹推理的邏輯性集中表現在命題之間的傳遞性，通過這本書的討論我們也將知道，歸納推理的邏輯性也體現在命題之間的傳遞性。

雖然我們認為歸納推理是一種“自然”的推理模式，但其中存在著一個重大的哲學問題，就是歸納推理的“合理性”問題。歸納推理的本質是，從經驗過的東西推斷未曾經驗過的東西，從事物的過去和現在推斷事物的未來，或者從事物的現在推斷事物的過去。那么就產生了這樣的問題：這種推斷本身是合理的嗎？這個問題似乎是不可論證的，一方面，這種合理性是不能通過演繹方法證明的，否則歸納推理也可以歸入演繹推理的范疇；另一方面，這種合理性也不能通過歸納方法證明，否則將成為無限的循環論證。這個問題最早是英國哲學家休謨提出來的，因此這個問題被稱作休謨問題，有時，人們也稱其為歸納問題。在這本書中，我們將嘗試地回答這個問題。

如果我們認為歸納推理是一種“自然”的推理模式，那么，關于歸納推理的討論就應當從探尋人類最為原始的推理形態開始。