第二編 數學推理

第一章 空間的相對性

I

要想象空虛空間是不可能的；我們設想把物質客體的變化圖像從中排除出去的純粹空間的一切努力，只能導致例如用淺色的線代替深色的面這樣的描述，在不使一切化為烏有和不以子虛終結的情況下，我們便不能沿著他的道路走到底?？臻g不可簡約的相對性即由此而來。

無論誰談到絕對空間，用的都是無意義的詞語。這是深思該問題的人早就宣布的真理，但是我們卻過于經常地被誘使忘記它。

我處在巴黎的一個確定的地點，例如在先賢祠，我說：我明天將再來這里。如果有人問我：你意味著你將返回到空間的同一點嗎？我將被誘導回答：是的；可是，我卻錯了，因為到明天，地球攜帶著先賢祠將由此運行了一天的路程，它要超過200萬公里。假如我企圖講得更精確一些的話，也不會增加什么東西了，由于我們地球運行的這200多萬公里是相對于太陽的運動，而太陽本身又相對于銀河系移動，同時銀河系本身無疑也處于運動之中，雖然我們不能覺察它的速度。這樣一來，我們完全不知道先賢祠一天走了多少路程，而且總是無法知道。

總而言之，我的意思是說：明天我將再次看到先賢祠的圓頂和三角飾，而如果先賢祠不存在，我的話便毫無意義，空間也會消失。

這是空間相對性原理最平凡的形式之一：但是，還有另外的形式，德爾伯弗（Delbeuf）尤為堅決主張這種形式。設在某夜，宇宙的所有尺度變大了一千倍：該世界將依然相似于它本身，給予相似這個詞的意義與歐幾里得第VI卷內所講的相同。只是一米長從那時起將度量為一公里，一毫米長將變成一米。我所睡的床和我的身體本身將按同一比例擴大了。

當我第二天早晨醒來時，面對這樣一種令人驚奇的變化，我會有什么感覺呢？咳，我根本覺察不到什么。最精密的測量一點也不能向我揭示出這一巨大的災變，因為我所用的量尺與我企圖測量的對象將嚴格按照同一比例變化。實際上，只是對于空間仿佛是絕對的那樣推理的人來說，這種災變才是存在的。如果我暫且像他們那樣推理，那么就可以比較充分地顯示出他們看問題的方式隱含著矛盾。事實上，可以比較恰當地說，由于空間是相對的，根本沒有發生什么情況，這就是我們什么也覺察不到的原由。

因此，人們有權利說他知道兩點之間的距離嗎？沒有權利這樣說，由于這個距離經受了極大的變化，倘若其他距離按同一比例變化，那么我們就無法察覺它們。我們剛剛看到，當我說我明天將在這里時，這并不意味著我明天將處于我今天所在的空間的同一點，而是說明天我距先賢祠的距離與今天的相同。而且，我們看到，這種陳述不再是充分的，我應該說，明天和今天我距先賢祠的距離等于我身體高度的同一倍數。

可是，這并非問題的全部；我假定世界的尺度變化著，但至少世界依然總是相似于它本身。我們應當更進一步，現代物理學最使人驚訝的理論之一向我們提供了機會。

按照洛倫茲（Lorentz）和斐茲杰惹（Fitzgerald）的觀點，所有隨地球運動的物體都經受形變。

實際上，這種形變是十分微小的，由于所有平行于地球運動的尺度僅減小億分之一，而垂直于這一運動的尺度并沒有變化。不過，它微小沒有什么關系，它的存在對于我正要引出的結論來說已足夠了。此外，我說過它是微小的，但是實際上，我對它一無所知；我自己是頑固的幻覺的受騙者，這種幻覺使我們相信我們擁有絕對空間；我設想地球沿著它的橢圓軌道繞太陽運動，我認為它的速度是30公里。可是，我并不知道它的真實速度（這時，我不是意指它的絕對速度，而是它相對于以太的速度，絕對速度是沒有意義的），而且我也沒有辦法知道它：它也許要大10倍、100倍，從而變形也將要大100倍、10 000倍。

我們能夠證明這種形變嗎？顯然不能；這里有一個棱長為一米的立方體；由于地球運動，它發生了形變，平行于地球運動的棱變小了，其他棱沒有變化。如果我想用米尺確切地測量它，那么我將首先測量垂直于運動的一個棱，我將發現我的標準米尺與這個棱精確相符；事實上，這兩個長度無論哪一個也沒有變化，因為二者都垂直于運動。然后，我希望測量其他平行于運動的棱；為了做到這一點，我移動我的米尺，并轉動它使與該棱相合。但是，由于米尺改變了方向，變得平行于運動了，因而米尺本身也經受了形變，這樣一來，盡管棱不是一米長，但它還是與米尺精確相符，我將一點也發現不了什么東西。

你接著問我，如果實驗不容許證實洛倫茲和斐茲杰惹假設，那么這個假設有什么用處呢？我的講解是不完備的；我只是談到了能夠用米尺進行的測量；但是，在假定光速不變和與方向無關的條件下，我們也能夠用光傳播一段長度所花費的時間來測量長度。洛倫茲可以通過假定在地球運動方向上的光速比在垂直方向上的光速為大，來解釋這些事實。但他卻寧可假定，光速在這些不同的方向上是相同的，而物體在一個方向比在另一個方向較小。假如光的波面像實物物體那樣經受相同的形變，那么我們永遠也察覺不到洛倫茲-斐茲杰惹收縮。

無論在哪一種情況下，都不是絕對數量的問題，而是借助某種手段測量這一數量的問題；這種手段可以是米尺，或者是光傳播的路程；我們測量的只不過是該數量與測量手段的關系；如果這個關系改變了，我們便無法知道，究竟是這一數量變了呢，還是測量手段變了呢。

但是，我希望闡明的是，在這種形變中，世界并不與它本身相似；正方形變成長方形，圓變成橢圓，球變成橢球。可是，我們還是無法知道，這種形變是否是真實的。

顯而易見，我們可以更進一步：我們可以設想無論什么樣的形變，以代替其規律特別簡單的洛倫茲-斐茲杰惹形變。物體可以按照我們所希望的任何復雜的規律變形，倘若一切物體都毫無例外地按照同一規律變形，我們便永遠不會覺察到這些變形。在說一切物體都毫無例外時，我當然包括我自身以及從不同物體發出的光線。

如果我們觀察一個具有復雜形狀的鏡中的世界，這個鏡子以千奇百怪的方式使對象發生形變，但是這個世界各個部分的相互關系不會改變；事實上，如果兩個真實的對象接觸，它們的影像看起來同樣是接觸在一起的。當然，當我們觀看這個鏡中的世界時，我們的確看到它發生了形變，但是這正是因為實在的世界繼續在它的變形了的影像旁邊存在著；即使這個實在的世界對我們隱而不現，但總會有某些事物無法隱藏，我們自身就是這樣；我們沒有停止觀看，至少沒有停止感覺，我們的身體和四肢沒有變形，它們繼續作為測量手段為我們所用。

但是，如果我們設想，我們身體本身像我們在鏡中看到的對象一樣按同一方式變形了，那么這些測量手段本身將會使我們失望，形變就再也不能查明了。

用同一方式考慮兩個互為影像的世界；對于A世界的每一個對象P，在B世界中都有一個物體P'作為它的影像與之對應；這個影像P'的坐標由對象P的坐標的函數決定；而且，這些函數可以是無論什么東西；我只假定它們一勞永逸地選定了。在P的位置和P'的位置之間，存在著恒定的關系；至于這種關系是什么，則無關緊要；盡管它是恒定的。

好了，這兩個世界相互之間將是無法區分的。我的意思是，第一個世界對于它的居民來說與第二個世界對于它的居民來說相同。只要這兩個世界彼此之間依然是陌生的，情況就將如此。設我們生活在世界A，我們將構造我們的科學，尤其是我們的幾何學；在這個時候，世界B的居民也將構造科學，因為他們的世界是我們的世界的影像，他們的幾何學也將是我們的幾何學的影像，或者更確切地講，它將是相同的。但是，在我們看來，如果有一天窗戶向世界B打開了，我們將多么憐憫他們，我們將說：“可憐的家伙，他們自以為他們創造了幾何學，可是他們這樣稱呼的幾何學只是我們的幾何學的奇形怪狀的影像；他們的直線全都彎彎曲曲，他們的圓歪歪扭扭，他們的球凹凸不平?！蔽覀儗膩硪膊粦岩?，他們說與我們相同的話，人們永遠也無法知道誰是正確的。

我們看到，應該在多么廣泛的意義上來理解空間的相對性；空間實際上是無定形的，唯有處于其中的物才給它一種形式。那么，應該如何想像我們對于直線或距離所具有的直接的直覺呢？我們對于距離本身沒有什么直覺，正如我們所說的，以致在夜晚，距離變大了一千倍，倘若其他距離也經受了同樣的變化，我們便無法覺察它。即使在夜晚世界B代替了世界A，我們也沒有任何辦法知道它，此外昨天的直線已不是直線了，我們永遠也不會注意到。

空間的一部分并不自然而然地且在該詞的絕對意義上與空間的另一部分相等；因為即便它對我們來說如此，但對世界B的居民來說卻不相等；這些居民有權利排斥我們的觀點，正如我們有那么多的權利拋棄他們的觀點一樣。

我已在其他地方表明，從我們可以形成非歐幾何學和其他類似的幾何學的見解的觀點來看，這些事實的推論是什么；我不愿再回到這個問題上；現在我將采取稍微不同的觀點。