1.4 基礎知識：進位制及其相互轉換

1.4.1 二進制、十進制與r進制

進位計數制是一種用數碼和數位（權）表示數值型信息的方法。一個數由一定數目的數碼排列在一起組成，每個數碼的位置規定了該數碼所具有的數值等級——“權”，該位置也稱為“數位”，可區分數碼的個數稱為“基值”。該計數制又稱為以基值為進位的計數制，數位的“權”值是基值的冪，計數中，某一數位累計到基值后，向高數位進一；高數位的一，相當于低數位的基值大小。日常生活中，常見進位計數制有十進制（自然數）、十二進制（月）、二十四進制（晝夜）、六十進制（小時/分鐘/秒）等。在計算機中，還有二進制、八進制和十六進制等。一般地，以后綴B表示二進制數，后綴O表示八進制數，后綴H表示十六進制數，后綴D表示十進制數，或者以（數碼串）r表示一個r進制數，如圖1.5所示。

基值為r的r進制數值N的表示方法為：

N=(dn-1dn-2…d2d1d0.d-1d-2…d-m)r。

該數表示的十進制大小為：

式中：m、n為正整數，n為整數的位數，m為小數的位數，di為r個數碼0，1，…，r-1中的任意一個，r為基值，ri為數位的權值，小數點位于d0r0的后面。

1. 十進制

當r=10時，表示十進制數。在十進制數中，10個數碼為0，1，…，9。逢十進一，其數位權值為10i。

示例14　(245.25)十=2×102+4×101+5×100+2×10-1+5×10-2。

2. 二進制

當r=2時，表示二進制數。在二進制數中，2個數碼為0或1。逢二進一，其數位權值為2i。

示例15　(11110101.01)二=1×27+1×26+1×25+1×24+0×23+1×22+0×21+1×20+0×2-1+1×2-2=(245.25)十。

3. 八進制和十六進制

當r=8時，表示八進制數。在八進制數中，8個數碼為0，1，…，7。逢八進一，其數位權值為8i。當r=16時，表示十六進制數。在十六進制數中，分別用A表示(10)十，用B表示(11)十，用C表示(12)十，用D表示(13)十，用E表示(14)十，用F表示(15)十。所以，16個數碼為0，1，2，…，8，9，A，B，C，D，E，F。逢十六進一，其數位權值為16i。

示例16　(365.2)八=3×82+6×81+5×80+2×8-1=(245.25)十；

(F5.4)十六=F×161+5×160+4×16-1=(245.25)十。

1.4.2 進位制之間的相互轉換

1. 其他進制轉換到十進制

表1.1給出了4種進位制之間轉換的對應關系。

一個用任意進制表示的數，都可用上述式1轉換成十進制數。為便于計算，可采用如下方法：整數部分和小數部分分別按下述方法轉換。

整數部分采用基值重復相乘法：按括號及優先級次序，計算從最高位開始，乘基值加次高位，結果再乘基值加次次高位，一直加到個位d0為止。

示例17　11110101 B=_____D。

解：

小數部分采用基值重復相除法：按括號及優先級次序，計算從最低位開始，除基值加高位，結果再除基值，一直加到小數點為止，最后再除基值。

示例18　0.F62B H=_____D。

解：N=0.F62B H=(((B÷16+2)÷16+6)÷16 +F)÷16=0.96159 D。

2. 十進制轉換到其他進制

整數部分和小數部分分別轉換：整數部分采用基值重復相除法，即除基值取余數方法，一直除到商等于0時為止，將所得的余數從下到上排列起來即為所要求的進位制數（參見示例19）。小數部分采用基值重復相乘法，即乘基值取整數方法（參見示例20）。十進制小數轉換成二進制小數時，有時永遠無法使乘積變成0，在滿足一定精度的情況下，可以取若干位數作為其近似值。

示例19　215 D=_____B。

解：如圖1.6（a）所示，不斷除以基值2，直到商等于0時為止。將所得余數從下到上排列起來為11010111，便是該十進制數轉換成二進制整數的結果，即215 D=11010111 B。

示例20　0.6875 D=_____B。

解：如圖1.6（b）所示，小數部分不斷乘以基值2，將得到的各位整數從上到下排列起來為0.1011，便是該十進制小數轉換成二進制小數的結果，即0.6875 D=0.1011 B。

3. 二進制、八進制、十六進制轉換

由于二進制權值2i、八進制權值8i=23i、十六進制權值16i=24i具有整指數倍數關系，即1位八進制數相當于3位二進制數，1位十六進制數相當于4位二進制數，故可按如下方法轉換。

（1）二進制整數轉換成八進制/十六進制整數的方法是：先將二進制整數從右向左每隔3位/4位分一組，再將每組按二進制數向十進制數轉換的方法進行轉換。

（2）二進制小數轉換成八進制/十六進制小數的方法是：先將二進制小數從左向右每隔3位/4位分一組，最后一組若不足3位/4位，在該組后面補相應數量的0，湊成3位/4位，再將每組按二進制數向十進制數轉換的方法進行轉換。

示例21　10110101 B=265 O=B5 H。

解：第1步，將10110101按3位分組為10 110 101，按4位分組為1011 0101。

第2步，分別將每組轉換成八進制數、十六進制數。

示例22　0.1011 B=0.54 O=0.B0 H。

解：第1步，將0.1011按3位分組為0.101 100，按4位分組為0.1011 0000。

第2步，分別將每組轉換成八進制數。

分別將每一位八進制數轉換成3位二進制數，每一位十六進制數轉換成4位二進制數便可實現八進制數、十六進制數到二進制數之間的轉換。