2.5.1　線性回歸的基本概念

線性回歸是機(jī)器學(xué)習(xí)中最簡(jiǎn)單也是最重要的模型之一，其模型建立同樣遵循圖2-10所示的流程：獲取數(shù)據(jù)、數(shù)據(jù)預(yù)處理、訓(xùn)練模型、應(yīng)用模型。回歸模型可以理解為存在一個(gè)點(diǎn)集，用一條曲線去擬合它分布的過(guò)程。如果擬合曲線是一條直線，則稱為線性回歸；如果是一條二次曲線，則稱為二次回歸。線性回歸是最簡(jiǎn)單的一種回歸模型。

線性回歸中有幾個(gè)基本的概念需要掌握：假設(shè)函數(shù)（Hypothesis Function）、損失函數(shù)（Loss Function）和優(yōu)化算法（Optimization Algorithm）。

假設(shè)函數(shù)是指用數(shù)學(xué)的方法描述自變量和因變量之間的關(guān)系，它們之間可以是一個(gè)線性函數(shù)或非線性函數(shù)。

損失函數(shù)是指用數(shù)學(xué)的方法衡量假設(shè)函數(shù)預(yù)測(cè)結(jié)果與真實(shí)值之間的誤差。這個(gè)差距越小預(yù)測(cè)越準(zhǔn)確，而算法的任務(wù)就是使這個(gè)差距越來(lái)越小。對(duì)于某個(gè)具體樣本(x⁽ⁱ⁾,y⁽ⁱ⁾)，算法通過(guò)不斷調(diào)整參數(shù)值ω和b，最終使得預(yù)測(cè)值和真實(shí)值盡可能相似，即⁽ⁱ⁾≈y⁽ⁱ⁾。整個(gè)訓(xùn)練的過(guò)程可以表述為通過(guò)調(diào)整參數(shù)值ω和b最小化損失函數(shù)。因此，損失函數(shù)也是衡量算法優(yōu)良性的方法。這里涉及兩個(gè)值：預(yù)測(cè)值和真實(shí)值。預(yù)測(cè)值是算法給出的值（用來(lái)表示概率）。而真實(shí)值是訓(xùn)練集中預(yù)先包含的，是事先準(zhǔn)備好的。形式上，可以表示為：

其中，x⁽ⁱ⁾表示屬于第i個(gè)樣本的特征向量，y⁽ⁱ⁾表示屬于第i個(gè)樣本的分類標(biāo)簽，也就是真實(shí)值。損失函數(shù)的選擇需要根據(jù)具體問(wèn)題具體分析，在不同問(wèn)題場(chǎng)景下采用不同的函數(shù)。通常情況下，會(huì)將損失函數(shù)定義為平方損失函數(shù)（Quadratic Loss Function）。在本次線性回歸中，使用的是均方差（Mean Squared Error）來(lái)衡量，當(dāng)然還有許多其他方法，如神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型中可以使用交叉熵作為損失函數(shù)，在后面的章節(jié)會(huì)一一提到。

在模型訓(xùn)練中優(yōu)化算法也是至關(guān)重要的，它決定了一個(gè)模型的精度和運(yùn)算速度。本章的線性回歸實(shí)例主要使用了梯度下降法進(jìn)行優(yōu)化。梯度下降是深度學(xué)習(xí)中非常重要的概念，值得慶幸的是它也十分容易理解。損失函數(shù)J(w,b)可以理解為變量w和b的函數(shù)。觀察圖2-11，垂直軸表示損失函數(shù)的值，兩個(gè)水平軸分別表示變量w和b。實(shí)際上，w可能是更高維的向量，但是為了方便說(shuō)明，在這里假設(shè)w和b都是一個(gè)實(shí)數(shù)。算法的最終目標(biāo)是找到損失函數(shù)J(w,b)的最小值。而這個(gè)尋找過(guò)程就是不斷地微調(diào)變量w和b的值，一步一步地試出這個(gè)最小值。試的方法就是沿著梯度方向逐步移動(dòng)。本例中讓圖中的圓點(diǎn)表示J(w,b)的某個(gè)值，那么梯度下降就是讓圓點(diǎn)沿著曲面下降，直到J(w,b)取到最小值或逼近最小值。

應(yīng)用梯度下降算法，首先需要初始化參數(shù)w和b。一般情況下，深度學(xué)習(xí)模型中的w和b應(yīng)該初始化為一個(gè)很小的數(shù)，逼近0但是非0。因?yàn)镴(w,b)是凸函數(shù)，所以無(wú)論在曲面上初始化為哪一點(diǎn)，最終都會(huì)收斂到同一點(diǎn)或者相近的點(diǎn)。

圖2-11　梯度下降示意圖

一旦初始化w和b之后，就可以開(kāi)始迭代過(guò)程了。所謂的迭代過(guò)程就是從初始點(diǎn)沿著曲面朝著下降最快的方向一步一步地移動(dòng)，經(jīng)過(guò)多次迭代，最終收斂到全局最優(yōu)解或者接近全局最優(yōu)解。

為了簡(jiǎn)化說(shuō)明，將參數(shù)b暫時(shí)去掉，只考慮參數(shù)w，這時(shí)損失函數(shù)變?yōu)镴(w)。整個(gè)梯度下降過(guò)程可以表示為重復(fù)以下步驟：

即重復(fù)對(duì)參數(shù)w進(jìn)行更新操作，其中，表示學(xué)習(xí)率。學(xué)習(xí)率也是深度學(xué)習(xí)中的一個(gè)重要概念。學(xué)習(xí)率可以理解為每次迭代時(shí)圓點(diǎn)移動(dòng)的步長(zhǎng)，它決定了梯度下降的速率和穩(wěn)定性。需要注意的是，在編碼的過(guò)程中，為了方便書寫和實(shí)現(xiàn)代碼時(shí)更標(biāo)準(zhǔn)地命名變量，通常使用dw來(lái)表示，其意義不變。這樣式（2-2）就可以表示為：

通過(guò)不斷對(duì)參數(shù)w進(jìn)行迭代更新，最終得到全局最優(yōu)解或接近全局最優(yōu)解，使得損失函數(shù)J(w,b)取得最小值。本章學(xué)習(xí)過(guò)線性回歸中的梯度下降后，第3章中將討論在Logistic回歸中如何使用梯度下降算法。