六、堆羅漢

堆羅漢這種游戲，在學(xué)校中很常見，這里用不到再來說明，只不過舉它做個(gè)例：從最下排起數(shù)上去，每排次第少一個(gè)人，直到頂上只有一個(gè)人為止。像這類依序相差同樣的數(shù)的一群數(shù)，在數(shù)學(xué)上我們叫它們是等差級數(shù)。關(guān)于等差極數(shù)的計(jì)算，其實(shí)并不難懂，小學(xué)的數(shù)學(xué)課本里面也都有講到，所以這里也將它放在一邊，只講從1起到某一數(shù)為止的若干個(gè)連續(xù)整數(shù)的和，用式子表示出來，就是：

（1） 1+2+3+4+5+6+7+……

和這個(gè)性質(zhì)相類似的，還有從1起到某數(shù)為止的各整數(shù)的平方和、立方和，就是：

（2） 12+22+32+42+52+62+72+……

（3） 13+23+33+43+53+63+73+……

從第一圖看去，這個(gè)長方形由A，B兩塊組成，而B恰好是A的倒置，所以：

A=1+2+3+4+5+6+7

B=7+6+5+4+3+2+1

A、B的總和是相同的，各等于整個(gè)矩形的面積的一半。至于這個(gè)矩形的面積，只要將它的長和寬相乘就可得出了，它的長是7，寬是7+1，因此面積便是：

7×（7+1）=7×8=56

而A的總和正是這56的2分之1，由此我們就得出一個(gè)式子：

這個(gè)式子推到一般的情形去，就變成了：

第二、第三個(gè)例，我們也可以用圖形來研究它們的結(jié)果，不過比較繁雜，但也更有趣味，現(xiàn)在還是分開來討論吧。

從第二圖，我們注意小方塊的數(shù)目和大方塊的關(guān)系，很明白地可以看出來：

若用話來說明，就是2的平方恰好等于從1起的2個(gè)連續(xù)奇數(shù)的和；3的平方恰等于從1起的3個(gè)連續(xù)奇數(shù)的和，一直推下去，7的平方就是從1起的7個(gè)連續(xù)奇數(shù)的和。所以若要求從1到7的7個(gè)數(shù)的平方和，只需將上列七個(gè)式子的右邊相加就可以了。雖然這個(gè)法子沒有什么不合理的地方，畢竟不簡便，而且從中要找出一般的式子也不容易，因此我們得另找一條路。

試將各式的右邊表示的和，照堆羅漢的形式堆起來，我們就得出第三圖的形式（為了簡便，只用1、2、3、4四個(gè)數(shù)）：

從這幾個(gè)圖，可以看出這樣的結(jié)果，12+22+32+42這個(gè)總和當(dāng)中有4個(gè)1，3個(gè)3，2個(gè)5，1個(gè)7。所以我們要求的總和，依前一個(gè)形式可以排成第四圖，依后一個(gè)形式可以排成第五圖。將它們比較一下，我們馬上就知道若將第四圖倒置，拼到第五圖，那么右邊就沒有缺口了；若將第四圖不但倒置而且還翻一個(gè)身，拼成第六圖，那么，左邊也就直了。所以用兩個(gè)第四圖和一個(gè)第五圖剛好能夠拼成第六圖那樣的一個(gè)矩形。由它，我們就可知道所求的和正是它的面積的3分之1。

至于這個(gè)矩形：它的長是1+2+3+4=4×（4+1）/2=10，寬卻是4+1+4=9。因此，它的面積應(yīng)當(dāng)是10×9=90，而我們所要求的12+22+32+42的總和應(yīng)當(dāng)?shù)扔?0的3分之1，那就是30。按照實(shí)際去計(jì)算12+22+32+42=1+4+9+16，也仍然是30。由此可知，這個(gè)觀察沒有一絲錯(cuò)誤。

若要推到一般的情形去，那么，第六圖這個(gè)矩形的長是：

而它的寬卻是：

n+1+n=2n+1

所以它的面積就應(yīng)當(dāng)是：

這就可證明：

比如，我們要求的是從1到10十個(gè)整數(shù)的平方和，n就等于10，這個(gè)和便是：

說到第三個(gè)例子，因?yàn)槭菙?shù)的立方的關(guān)系，照通常的想法，只能用立體圖形來表示，但若將乘法的意義加以注意，用平面圖形來表示一個(gè)立方，也不是完全不可能。先從23說起，照原來的意思本是3個(gè)2相乘，若用式子寫出，那就是2×2×2。這個(gè)式子我們也可以想象成（2×2）×2，這就可以認(rèn)為它所表示的是2個(gè)2的平方的意思，可以畫成第七圖的A，再將形式變化一下，可得出第七圖的B。

同樣地，33可以用第八圖的A或B表示，而43可以用第九圖的A或B表示。

仔細(xì)觀察一下第七、八、九圖的B，我們得出下面的關(guān)系：

第七圖的B的缺口恰好是12，但13和12，我們用同一形式表示，在意義上沒有很大的差別，所以13剛好可以填23的缺口。

第八圖B的缺口，每邊都是3，這和第七圖B的外邊相等，可知13和23一起，又正好可將它填滿。

最后，第九圖的B的缺口每邊都是6，又恰等于第八圖的B的外邊。因此13、23和33并在一起，也能將它填好。按照這個(gè)填法，我們便得第十圖，它恰巧是13+23+33+43的總和。

從另一方面來說，第十圖只是一個(gè)正方形，每邊的長都等于：

1+2+3+4

所以它的面積應(yīng)當(dāng)是（1+2+3+4）的平方，因此我們就證明了下面的式子：

13+23+33+43=（1+2+3+4）2

但這式子右邊括弧里的數(shù)，照第一個(gè)例應(yīng)當(dāng)?shù)扔冢?/p>

因此：

推到一般的情形去：

上面的三個(gè)例子，我們都只憑了幾個(gè)很小的數(shù)字的觀察，便推到一般的情形去，而得出一個(gè)含有n的公式。n代表任何整數(shù)，這個(gè)推證究竟可不可靠呢？換句話說，就是我們的推證有沒有別的根據(jù)呢？按照實(shí)際的情形說，我們已得出的三個(gè)公式都是對的。但它對不對是一個(gè)問題，我們的推證法可不可靠又是一個(gè)問題。

我來另舉一個(gè)例子，比如11，它的平方是121，立方是1331，四次方14641。從這幾個(gè)數(shù)，我們可以看出三個(gè)法則：第一，這些數(shù)排列起來，對于中點(diǎn)說，都是對稱的；第二，第一位和末一位都是1；第三，第二位和倒數(shù)第二位都等于乘方的次數(shù)。依這個(gè)觀察的結(jié)果，我們可不可以說11的n次方便是1n……n1呢？要下這個(gè)判斷，我們無妨再舉出一個(gè)次數(shù)比4還高的乘方來看，最簡便的自然就是5。11的5乘方，照實(shí)際計(jì)算的結(jié)果是161051。上面的三個(gè)條件，只有第二個(gè)還存在，若再乘到8次方，結(jié)果是214358881，就連第二個(gè)條件也不存在了。

由這個(gè)例子可以看出來，單就幾個(gè)很小的數(shù)的變化觀察得的結(jié)果，便推到一般去，不一定可靠。由這個(gè)理由，我們就不得不懷疑我們前面所得出的三個(gè)公式。倘使沒有別的方法去證明，在那三個(gè)例中是有特殊的情形可以用那樣的推證法，那么，我們寧愿去找另外一條路來解決。

是的，確實(shí)應(yīng)該對前面所得出的三個(gè)公式產(chǎn)生懷疑，但我們也并非毫無根據(jù)。第一個(gè)式子最少到7是對的，第二、第三個(gè)式子最少到4也是對的。我們?nèi)裟托牡亟又囼?yàn)下去，可以看出來，就是到8，到9，到100，乃至到1000都是對的。但這樣試驗(yàn)，一來未免笨拙，二來無論試驗(yàn)到什么數(shù)，我們總是一樣地不能保證那公式便有了一般性，為此我們只得舍去了這種逐步試驗(yàn)的方法。

我們雖懷疑那公式的一般性，但無妨“假定”它的形式是對的，再來加以檢查，為了方便，容我在此重寫一次：

在這三個(gè)式子中，我們說n代表一個(gè)整數(shù)，那么n以下的一個(gè)整數(shù)就應(yīng)當(dāng)是n+1。假定這三個(gè)式子是對的，我們試來看看，當(dāng)n變成n+1的時(shí)候是不是還對，這自然只是依照式子的“形式”去考查，但這種考查我們用不著懷疑。在某種意義上，數(shù)學(xué)便是符號的科學(xué)，也就是形式的科學(xué)。

所謂n變到n+1，無異于說，在各式的兩邊都加上一個(gè)含n+1項(xiàng)，照下面的程序計(jì)算：

從這三個(gè)式子的最后的結(jié)果看去，和我們所假定的式子，除了n改成n+1以外，形式完全相同。因此，我們得出一個(gè)極重要的結(jié)論：“倘使我們的式子對于某一個(gè)整數(shù)，例如n，是對的，那么對于這個(gè)整數(shù)的下一個(gè)整數(shù)，例如（n+1），也是對的。”

事實(shí)上，我們已經(jīng)觀察出來了，這三個(gè)式子至少對于4都是對的。運(yùn)用這個(gè)結(jié)論，我們無需再試驗(yàn)，也就有理由可以斷定它們對于5（4+1）都是對的。既然對于5對了，那么同一理由，對于6（5+1）也是對的，再推下去對于7（6+1）、8（7+1）、9（8+1）……都是對的。

到了這里，我們就有理由承認(rèn)這三個(gè)式子的一般性，再不容懷疑了。這種證明法，我們叫它是數(shù)學(xué)的歸納法。

數(shù)學(xué)上常用的多是演繹法，這是學(xué)過數(shù)學(xué)的人都知道的。關(guān)于堆羅漢這類級數(shù)的公式，算術(shù)上的證明法，也就是演繹的，為了便于比較，也將它寫出。本來：

S=1+2+3+……+（n_2）+（n_1）+n

若將這式子右邊各項(xiàng)顛倒順序，就得：S=n+（n_1）+（n_2）+……+3+2+1再將兩式相加，便得出下面的式子：

兩邊再用2去除，于是：

這個(gè)式子和前面所得出來的完全一樣，所以一點(diǎn)兒用不著懷疑，不過我們所用的方法究竟可不可靠也得注意。

一般說來，演繹法不大穩(wěn)當(dāng)，因?yàn)樗幕A(chǔ)是建筑在一些更普遍的法則上面，倘使這些被它所憑借的、更普遍的法則當(dāng)中，有幾個(gè)或一個(gè)根本就不大穩(wěn)固，那不是將有全盤動(dòng)搖的危險(xiǎn)嗎？比如這個(gè)證明，第一步，將式子左邊各項(xiàng)的順序掉過，這是根據(jù)一個(gè)更普遍的法則叫作什么“交換定則”的。然而交換定則在一般情形固然可以運(yùn)用無誤，但在特殊的情形時(shí)，并非毫無問題。所以假如我們肯追根究底的話，這個(gè)證明法可以適用交換定則，也得另有根據(jù)。至于證明的第二、第三步，都是依據(jù)了數(shù)學(xué)上的公理，公理雖然沒有什么證明做保障，但不容許懷疑，這可不必管它。

歸納法既比演繹法來得可靠，我們無妨再來探究一下。前面我們所用過的步驟，歸納起來有四個(gè)：

（一）根據(jù)少數(shù)的數(shù)目來觀察出一個(gè)共通的形式；

（二）將這形式推到一般去，“假定”它是對的；

（三）校勘這假定的形式，是否再能往前推去；

（四）如果校勘的結(jié)果是肯定的，那么我們的假定就可認(rèn)為合于事實(shí)了。

前面我們曾經(jīng)說過：

由這幾個(gè)式子我們知道：

觀察這四個(gè)式子，可以得出一個(gè)共通形式，就是：左邊是從1起的連續(xù)奇數(shù)的和，右邊是這和所含奇數(shù)的“個(gè)數(shù)”的平方。

將這形式推到一般去，假定它是對的，那就得出：

1+3+5+……+（2n_1）=n2

到了這一步，我們就要來校勘一下，這形式再往前推一個(gè)奇數(shù)究竟對不對，我們在式子的兩邊同時(shí)加上（2n_1）下面的一個(gè)奇數(shù)（2n+1），于是：

從這結(jié)果可知，我們的假定如果對于n是對的，那么對于（n+1）也是對的。依我們的觀察，假設(shè)n等于1、2、3、4的時(shí)候都是對的，所以對于5，對于6，對于7、8、9……一步一步地往前推都是對的，所以可認(rèn)為我們的假定合于事實(shí)。

將數(shù)學(xué)的歸納法和一般的歸納法相比較，這是一個(gè)很有趣的問題。大體來說，它倆并沒有什么根本的差異。我們無妨說數(shù)學(xué)的歸納法是一般的歸納法的一種特殊形式，試從我們所截取的步驟來比較一下。

第一步，在它倆當(dāng)中，都離不開觀察和實(shí)驗(yàn)，而觀察和實(shí)驗(yàn)的對象也都同是一些特殊的事實(shí)。在我們前面所舉的例子當(dāng)中，似乎只用到觀察，并沒有經(jīng)過什么實(shí)驗(yàn)。事實(shí)上，我們所研究的對象，有些固然是無法去實(shí)驗(yàn)，只能憑觀察去探究。不過這是另外一個(gè)問題。若就步驟上說，我們所舉的例子的第一步當(dāng)中，也不是完全沒有實(shí)驗(yàn)的意味。比如最后一個(gè)例子，我們從1=12這個(gè)式子是什么意義也發(fā)現(xiàn)不出來，于是只好去看第二個(gè)式子1+3=22，就這個(gè)式子說，我們能夠得出許多假定來。前面所用過的，說左邊要乘方的2就是表示右邊的項(xiàng)數(shù)，這自然是其中的一個(gè)。但我們也可以說，那指數(shù)2才是表示右邊的項(xiàng)數(shù)。我們又可以說，左邊要乘方的2是右邊的末一項(xiàng)減去1。像這類的假定可以找出不少，至于這些假定當(dāng)中哪一個(gè)接近真實(shí)，那就不得不用別的方法來證明。到了這一步，我們無妨用各個(gè)假設(shè)到第三、第四個(gè)式子去試驗(yàn)一下，結(jié)果，便可看出，只有我們所用過的那一個(gè)是合于實(shí)際的。一般的歸納法，最初也是這樣下手，將我們所要研究的對象盡量收集起來，仔細(xì)地去觀察，遇著必要且可能的時(shí)候，小心地去實(shí)驗(yàn)。由這一步，我們就可以看出一些共同的現(xiàn)象來。

至于這些現(xiàn)象由何產(chǎn)生？會(huì)生出什么結(jié)果？或是它們當(dāng)中有什么關(guān)聯(lián)？這，我們往往可以提出若干假定來，正和我們上一節(jié)所說的相同，在這些假定當(dāng)中，自然免不了有一部分是根基極不穩(wěn)固的，只要憑一些仔細(xì)的觀察或?qū)嶒?yàn)就可推翻的。對于這些，自然在這第一步我們就可以將它們棄掉了。

第二步，數(shù)學(xué)的歸納法，是將我們所觀察得到的形式推到一般去，假定它是真實(shí)的。至于一般的歸納法，因?yàn)樗芯康牟⒉灰欢ㄖ皇且粋€(gè)形式的問題，所以推到一般去的話很難照樣應(yīng)用。雖是這樣，精神卻沒有什么不同，我們就是將自己觀察和實(shí)驗(yàn)的結(jié)果綜合起來，提出一些較普遍的假設(shè)。

有了這假設(shè)，進(jìn)一步自然是要校勘它們，在數(shù)學(xué)的歸納法上，如前面所說過的，比較簡單，只需將所假定的一般的式子當(dāng)中的n推到n+1就夠了。若在一般的歸納法中，卻沒有這種便宜可討。到了這境地，我們得利用演繹法，把我們的假定當(dāng)作大前題，臆測它們對于某種特殊的事象應(yīng)當(dāng)發(fā)生什么結(jié)果。

這結(jié)果究竟會(huì)不會(huì)有呢？這又得靠觀察和實(shí)驗(yàn)來證明了。經(jīng)過若干的觀察或?qū)嶒?yàn)，假如都證明了我們的臆測是分毫不爽的，那么，我們的假定就有了保障，成了一個(gè)定理或定律。許多大科學(xué)家往往能令我們起敬、吃驚，有時(shí)他們簡直好像一個(gè)大預(yù)言家，就是因?yàn)樗麄兊募俣ǖ幕A(chǔ)很穩(wěn)固，所以臆測的結(jié)果也能合于事實(shí)的緣故。

在這里，有一點(diǎn)必須補(bǔ)說明白，若我們提出的假設(shè)不止一個(gè)，那么根據(jù)各個(gè)假設(shè)都可得出一些臆測的結(jié)果來，在沒有別的事實(shí)來證明的時(shí)候，它們彼此之間絕沒有什么價(jià)值的優(yōu)劣可說。但到了事實(shí)出來做最后的證人時(shí)，自然“最多”只有一個(gè)假定的臆測可以勝訴。換句話說，也“最多”就只有一個(gè)假定是對的了。為什么我們還要說“最多”只有一個(gè)呢？因?yàn)椋行r(shí)候，我們所提出的假設(shè)也許全都不對。

一般的歸納法，應(yīng)用起來雖不容易，但原理不過如此。我們經(jīng)過了上面所說的步驟，結(jié)果都很好。自然我們就可得出一些定理或定律來，不過有一點(diǎn)必須注意：在一切過程中，無論我們多么小心謹(jǐn)慎，畢竟我們的能力有限，所能探究的領(lǐng)域終不是全體，因此我們證明為對的假定，即使當(dāng)成定理或定律來應(yīng)用，我們還得虛心，應(yīng)當(dāng)常常想到，也許有新的，我們以前所不曾注意到的現(xiàn)象出來否定它，我們應(yīng)當(dāng)承認(rèn)：“科學(xué)只能診斷事實(shí)，不能否定事實(shí)。”

這句話是什么意思呢？

科學(xué)本來只是從事實(shí)中去尋出法則來，若有了一個(gè)法則，遇見和它抵觸的事實(shí)，便武斷地將這事實(shí)否定，這只是自己欺騙自己。因?yàn)槭聦?shí)的存在，并不能由我們空口說白話地否認(rèn)，便煙消火滅的。

我還是舉個(gè)例子來說，從這個(gè)例子當(dāng)中，可以看出我們常有的兩種態(tài)度都不大合理。

一年多以前就聽說我們中國的中西醫(yī)的斗爭很激烈，這自然是一個(gè)極好的現(xiàn)象！從這斗爭中，我相信總會(huì)有一些新的東西從醫(yī)學(xué)界產(chǎn)生出來。現(xiàn)在的結(jié)果如何，我不曾聽見，不敢臆斷，好在和我此處要說的話無關(guān)，也就無妨丟開。我提到這個(gè)問題，只是要說明兩種態(tài)度——對于中醫(yī)的兩種比較合理的態(tài)度。

一種是擁護(hù)的，他們所根據(jù)的是事實(shí)，畢竟中醫(yī)已有了幾千年的歷史，醫(yī)治好了不少病人，這是無可否認(rèn)的。虛心而有經(jīng)驗(yàn)的醫(yī)生，對于某幾種病癥，也確實(shí)有把握，能夠著手成春。

一種是反對的，他們所根據(jù)的是科學(xué)上的原理或法則，無論中醫(yī)有什么奇效，都沒有科學(xué)根據(jù)，即使有奇效，也只好說是偶然。至于一般中醫(yī)的五行生克的說法，尤其玄妙，不客氣地說，簡直是荒唐。

依照前一種人的意見，中醫(yī)當(dāng)然應(yīng)當(dāng)存在；依照后一種人的意見，它就該被打倒。平心而論，各有各的理由，不全是也不全非。多少免不了一些情感摻雜在里面。若容許我說，那么，中醫(yī)有它可以存留的部分，不過必須另外打個(gè)基礎(chǔ)；同時(shí)它也有應(yīng)當(dāng)被打倒的部分，但并非全盤推翻。然而，這并不是根于什么中庸之道的結(jié)論。

既然中醫(yī)有一部分成功的事實(shí)，我們就應(yīng)當(dāng)根據(jù)科學(xué)上的原理或法則去整理它們，找出合理的說明。比如說某種湯頭治某種病癥是有特效的，我們已從西醫(yī)知道某項(xiàng)病癥發(fā)生的原因和要醫(yī)治它所必需的條件，那么，我們正可以分析一下那湯頭合于這個(gè)條件的理由。這樣，自然就有合理的說明可以得出一個(gè)穩(wěn)固的基礎(chǔ)了。擁護(hù)的人固然應(yīng)當(dāng)這樣，才真正能達(dá)到目的，就是要推翻的人也應(yīng)當(dāng)這樣才不是武斷、專制！

事實(shí)和理論不合，可以說有兩個(gè)來源：一是我們所見到的事實(shí)，并非真的事實(shí)。換句話說，就是我們對于那事實(shí)的一切認(rèn)識未必有科學(xué)的依據(jù)。譬如，患瘧疾的人，畫一碗符水給他喝到肚里，那病就好了。這事，我也曾經(jīng)試做過，真有有效的時(shí)候，但我寧可相信，符水和瘧疾的治療風(fēng)馬牛不相及，只不過這兩個(gè)事實(shí)偶然碰在一起，我們被它蒙混著罷了。真的，我從前給別人畫符水，說來就可笑，我根本就不知道應(yīng)當(dāng)怎么畫！

還有一個(gè)來源，便是科學(xué)上的原理或法則本身有缺點(diǎn)，比如對于某種病，西醫(yī)用的是一種藥，而中醫(yī)用的是湯頭，分析的結(jié)果和它全不相關(guān)，那么這種病就可以有兩種治療法，并非中醫(yī)的就不對，因?yàn)橐呀?jīng)有了對癥治好的事實(shí)，這無可否認(rèn)。

所謂科學(xué)診斷事實(shí)，由這個(gè)例子大致就可以說明白：第一，是診斷事實(shí)的真?zhèn)危坏诙仁乖\斷出它是真實(shí)的了，進(jìn)一步就要找出合理的說明。所以科學(xué)的精神，最根本的是不武斷、不盲從！我們常常聽人家說，某人平時(shí)批評起別人來都很有道理，但事情一到他手里一樣糟。這確實(shí)也是一個(gè)事實(shí)！對于這個(gè)事實(shí)，有些人就聰明地這樣解釋：學(xué)理是學(xué)理，事實(shí)是事實(shí)。從這解釋當(dāng)中還衍生出一個(gè)可笑的說法，那就是“書呆子”這個(gè)名詞含有不少的輕蔑意味。其實(shí)憑空虛造的學(xué)理，哪里冒充得來真的學(xué)理？而真的學(xué)理，哪兒有不能應(yīng)用到事實(shí)上去的理由呢？

話說得有些遠(yuǎn)了，歸結(jié)一句，科學(xué)的態(tài)度是要虛心地去用科學(xué)的方法。