1.2.1 進位計數制

1.進位計數制的概念

數制是指計數的方法，日常生活中最常用的計數制是十進制（逢十進一）。其實，在人類歷史發展的過程中，根據生產、生活的需要，人們還創立了其他數制，如1小時有60分鐘，為六十進制；1星期有7天，為七進制；一雙鞋有2只，為二進制等。

對于計算機而言，采用二進制處理數據具有運算簡單、易于物理實現、可靠性高、通用性強等優點，所以，現代計算機普遍采用二進制，所有的指令和數據都是以二進制數字來表示和存儲的。

但是，盡管二進制有許多優點，卻存在書寫起來太長、閱讀與記憶不方便等不足。由于八進制或十六進制與二進制之間的轉換非常簡單，因此，人們在書寫和記憶時常采用八進制和十六進制，即可以用八進制和十六進制作為對二進制數字的縮寫。

進位計數制中有數碼、基數和位權三個要素。

（1）數碼：計數制中使用的數字符號被稱為數碼或數符。如十進制有0、1、2、3、4、5、6、7、8、9十個數碼，二進制有0和1兩個數碼。

（2）基數：一種進位計數制中允許使用的數碼的個數被稱為基數。如十進制的基數為10，二進制的基數為2。

（3）位權：就是單位數碼在該數位上所表示的數量。位權以指數形式來表達，指數的底是計數進位制的基數。對于一個十進制數，各位數的位權是以10為底的冪；對于一個二進制數，各位數的位權是以2為底的冪。

任何一個數都可以按位權展開式表示，位權展開式又被稱為乘權求和。例如，十進制數 327.5 可表示為：（327.5）10=3×102+2×101+7×100+5×10-1。

2.常用的進位計數制

計算機中常用的進位計數制有二進制、八進制、十進制和十六進制。表1-1給出了計算機中常用的幾種進位計數制的表示方法。

從表1-1可以看出，十六進制的數碼除了十進制中的0～9共10個數字符號外，還使用了6個英文字母A、B、C、D、E、F，它們分別相當于十進制中的10、11、12、13、14、15。

為了避免以上不同進位數制的數在使用時產生混淆，在給出一個數時，應指明它的數制，通常用字母B、O、D、H或用下標2、8、10、16分別表示二進制、八進制、十進制和十六進制數。其中十進制可以不用標明。

例如：1010B、2615O、1234D、3AE8H

或（1010）2、（2615）8、（1234）10、（3AE8）16

3.4種進制數之間的對應關系

為方便認知和記憶，表1-2列出了二進制、八進制、十進制和十六進制這4種進制數之間的對應關系。

從表1-2可以看出，采用不同數制表示同一個數時，基數越大，則使用的位數越少。比如十進制數15，只需1位十六進制數就可表示，但用二進制時需要4位，這就是書寫時采用八進制或十六進制的原因。