第7節(jié)　剩余為-1

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定理

-1是所有形如4n＋1的質(zhì)數(shù)的二次剩余，并且是所有形如4n＋3的質(zhì)數(shù)的二次非剩余。

例：從數(shù)2，5，4，12，6，9，23，11，27，34，22，…的平方可以發(fā)現(xiàn)，-1分別是數(shù)5，13，17，29，37，41，53，61，73，89，97，…的剩余；并且，-1是數(shù)3，7，11，19，23，31，43，47，9，67，71，79，83，…的非剩余。

在條目64中我們提到了這個(gè)定理，從條目106可以輕松得到對(duì)這個(gè)定理的證明。因?yàn)椋瑢?duì)于形如4n＋1的質(zhì)數(shù)我們有（-1）2n≡1，對(duì)于形如4n＋3的質(zhì)數(shù)我們有（-1）2n＋1≡-1。這個(gè)證明與條目64中的證明一致。因?yàn)檫@個(gè)定理非常優(yōu)雅、實(shí)用，我們?cè)俳o出一個(gè)證明。

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我們用字母C表示質(zhì)數(shù)p的所有小于p但不包括0的剩余組成的總體。這些剩余的個(gè)數(shù)總是等于，因此，當(dāng)p是形如4n＋1時(shí)，這些剩余的個(gè)數(shù)顯然是偶數(shù)；當(dāng)p是形如4n＋3時(shí)，這些剩余的個(gè)數(shù)顯然是奇數(shù)。沿襲條目77中的說(shuō)法（那里的數(shù)是任意數(shù)），我們就把那些乘積同余于1（mod p）的數(shù)稱為關(guān)聯(lián)剩余；因?yàn)椋绻?span id="e4vb9k7" class="kindle-cn-italic">r是剩余，那么（mod p）也是剩余。因?yàn)橐粋€(gè)剩余在C中不可能有多個(gè)關(guān)聯(lián)剩余，顯然，所有的剩余C可以劃分為若干組，每組含一對(duì)關(guān)聯(lián)剩余。如果沒(méi)有與自身關(guān)聯(lián)的剩余，即，如果每組都含一對(duì)不相等的剩余，所有剩余的個(gè)數(shù)就是組數(shù)的兩倍；但是，如果存在某些剩余是其自身的關(guān)聯(lián)剩余，那么就存在某些組只包含一個(gè)剩余，或者也可以說(shuō)只包含兩個(gè)一樣的剩余，所有剩余C的個(gè)數(shù)就等于a＋2b，其中a是第二種類型的組數(shù)，b是第1種類型的組數(shù)。那么，當(dāng)模p是形如4n＋1，a就是偶數(shù)；當(dāng)p是形如4n＋3，a就是奇數(shù)。但是，除了1和p-1之外，不存在小于p并且與自身關(guān)聯(lián)的數(shù)（參考條目77）；且第1種類型的剩余里面必然有1。那么，p-1（或-1，也是同樣地）在前一種情況下必定是剩余，在后一種情況下必定是非剩余。否則的話，在前一種情況下就有a＝1，在后一種情況下有a＝2，這是不可能的。

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這個(gè)證明歸功于歐拉。他也是發(fā)現(xiàn)之前的證明方法的第一人（見(jiàn)Opuscula Analytica^[4]）。容易發(fā)現(xiàn)的是，這個(gè)證明與我們對(duì)威爾遜定理的第2個(gè)證明所依賴的原理非常相似（參考條目77）。并且，如果我們假設(shè)這個(gè)定理是成立的，上面的證明就會(huì)變得非常簡(jiǎn)單。因?yàn)椋跀?shù)1，2，3，…，p-1中，有個(gè)p的二次剩余，還有個(gè)p的二次非剩余；所以，當(dāng)p形如4n＋1時(shí)，非剩余的個(gè)數(shù)就是偶數(shù)；當(dāng)p形如4n＋3時(shí)，非剩余的個(gè)數(shù)就是奇數(shù)。那么，在前一種情況下，所有數(shù)1，2，3，…，p-1的乘積就是剩余；在后一種情況下，它就是非剩余（參考條目99）。但是，這個(gè)乘積總是同余于-1（mod p），因而，在前一種情況下，-1是一個(gè)剩余，在后一種情況下，-1是一個(gè)非剩余。

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因此，如果r是任何形如4n＋1的質(zhì)數(shù)的剩余，那么-r也是這個(gè)質(zhì)數(shù)的剩余；并且，即使它的所有非剩余取負(fù)號(hào)，它們?nèi)耘f是非剩余^[5]。對(duì)于形如4n＋3的質(zhì)數(shù)，上面的結(jié)論反過(guò)來(lái)也是成立的，即，當(dāng)它的所有剩余取負(fù)號(hào)，它們就會(huì)變成非剩余，反之亦然（參考條目98）。

從上面的討論可以推出這個(gè)一般規(guī)律：-1是所有既不能被4整除，也不能被任何形如4n＋3的質(zhì)數(shù)整除的數(shù)的剩余；它是所有其他數(shù)的非剩余（參考條目103和105）。