第11節　關于周期和原根的幾條定理

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在離開這個論題之前，我們再列舉幾個定理，它們的簡潔值得我們注意。

任意一個數的周期中所有的項的個數，或者說這個數所屬的指數如果是奇數，則這些項的乘積同余于1；如果這個數所屬的指數是偶數，則這些項的乘積同余于-1。

例：對于模13，數5的周期包含這些項——1，5，12，8，它們的乘積480≡-1（mod 13）。

對于相同的模，數3的周期包含這些項——1，3，9，它們的乘積27≡1（mod 13）。

證明

令該數所屬的指數為t，該數的指標為（p-1）/t，如果我們選擇恰當的基數（參考條目71），就總是可以做到這一點。那么該數的周期中，所有項的乘積的指標與下式同余

即，當t是奇數時，同余于0（mod p-1）；當t是偶數時，同余于（mod p-1）。在前一種情況，乘積同余于1（mod p）；在后一種情況，乘積同余于-1（mod p）（條目62）。證明完畢。