現在回來討論我們所謂的原根。我們已經證明，如果取任意一個原根作為基數，那么，所有的指標與p-1互質的數也是原根，并且除了這些之外沒有其他的原根，我們就同時知道了原根的個數（條目53）。一般地，選擇哪個原根作為基數可以由我們自己說了算。這里正如對數運算一樣，可以有很多不同的系統^[2]。我們來看一下這些系統之間有什么樣的聯系。令a，b為兩個原根，m是另外一個數。當取a作為基數時，假設b的指標同余于β，數m的指標同余于μ（mod p-1）。但當取b作為基數時，假設a的指標同余于α，數m的指標同余于v（mod p-1）?，F在，aβ≡b，且aαβ≡bα≡a（mod p）（通過假設），所以αβ≡1（mod p-1）。通過類似的過程，我們求得v≡αμ，且μ≡βv（mod p-1）。因此，如果我們有一張基數為a的指標表，可以方便地將它轉換成另一張基數為b的指標表。因為，如果基數為a，b的指標同余于β，基數為b，a的指標就同余于（mod p-1），并且將這個數乘以這張表中的所有指標，就得到了基數為b的所有的指標。

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盡管一個給定的數因不同的原根作為基數會產生不同的指標，但它們都有一個共同點——每個指標和p-1的最大公約數都是一樣的。因為，如果給定的數以a為基數的指標是m，以b為基數的指標是n，并且我們假設這兩個數與p-1的最大公約數分別是不相等的μ，v，那么，其中一個必定大于另一個。例如，μ＞v，因而μ就不能整除n。現在，假設b是基數，令α為數a的指標，我們就有（參考上一條目）n≡αm（mod p-1），因此，μ能夠整除n，這與假設矛盾。證明完畢。

我們還可以觀察到，一個給定的數的指標和p-1的最大公約數不取決于原根，因為這個最大公約數等于（p-1）/t。這里的t是這個數所屬的指數。因為，如果任何基數的指標是k，則t就是這樣的最小整除（0除外），使得它和k的乘積是p-1的倍數（參考條目48，58），也就是表達式0/k（mod p-1）的最小值（0除外）。從條目29不難推出，t等于數k和p-1的最大公約數。

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總是可以取到這樣的基數，使得屬于指數t的數對這個基數的指標是任意指定的這樣一個數，只要它與p-1的最大公約數等于（p-1）/t。我們用d表示這個除數，令指定的指標同余于dm，并且當取某個原根a為基數時，令所給數的指標同余于dn；m和n就與（p-1）/d即t互質。那么，如果ε是表達式dn/dm（mod p-1）的一個值，并且它同時與p-1互質，aε就是一個原根。以這個原根為基數，那么所給的數就有我們想要的指標dm（因為，aεdm≡adn≡所給的數）。為了證明表達式dn/dm（mod p-1）有與p-1互質的值，我們按照如下方式進行。這個表達式等價于n/m［mod（p-1）/d］，或者等價于n/m（mod t）（參考條目31性質2），并且它的所有值都與t互質；因為，如果任何值e與t有公約數，這個除數一定也能整除me，因而也能整除n，因為me相對于模t同余于n。但是這與假設相矛盾，因為假設要求n與t互質。因此，當所有p-1的質因數都整除t，那么表達式n/m（mod t）的所有值都與p-1互質，并且這些值的個數為d。但是，當p-1還有不能整除t的質除數f，g，h，…，那么，取表達式n/m（mod t）的一個值同余于e。但是，因為所有的數t，f，g，h，…，都是兩兩互質的數，那么能夠找到這樣的數ε相對于模t同余于e，并且，對于模f，g，h，…分別同余于任意與相應的?；ベ|的數（參考條目32）。這樣一個數一定不能被p-1的任一質因數整除，因而與p-1互質，這正是我們要求的。最后，從組合理論不難推出這樣的值的個數就等于

但為了不至于離題太遠，這里就省去了證明。對于本書的目的來說，這是沒有必要深入探討的。