第3節　費馬定理

50

因為是整數，可以通過在同余式at≡1兩邊自乘次，得出ap-1≡1，或者說，當p是不整除a的質數時，ap-1-1總被p整除。

這則定理因為它的優美和實用性而值得注意。它通常被稱為費馬定理——名稱來自于發現它的人（見費馬所著Opera Mathem，第163頁）。雖然他說已經找到了證明方法，他并沒有給出證明。歐拉率先在他的論文Theorematum quorundam ad numeros primos spectantium demonstratio中發表了證明。證明是基于展開（a＋1）p，從展開式的系數的形式很容易發現（a＋1）p-ap-1總是可以被p整除，因此，只要ap-a可以被p整除，那么（a＋1）p-（a＋1）也一定可以被p整除。那么，因為1p-1總是可以被p整除，2p-2也是如此，3p-3也是如此，以此類推，ap-a也是如此。并且如果p不能整除a，ap-1-1將能夠被p整除。著名的蘭伯特在Nova acta erudit第109頁給出了類似的證明。但是，因為展開二項式的方冪的方法看起來不符合數論的風格，歐拉在Novicomm. acad. Petrop上給出了另外一種證明，完全符合我們在上一條中的證明。我們后面還會再給出一種證明。這里我們將根據類似歐拉第一個證明的原理，補充另一個推論。下面的定理對其他研究也將會是有用的，而費馬定理只是它的一種特殊情況。

51

如果p是質數，那么多項式a＋b＋c＋…的p次冪對于模p同余于表達式ap＋bp＋cp＋…。

證明

顯然，多項式a＋b＋c＋…的p次冪是由形如xaαbβcγ…的數組成，其中α＋β＋γ＋…＝p并且x是p個元素（它們是a，b，c，…分別出現α次，β次，γ次，…）的不同的排列的個數。但是在條目41我們已經證明，除非所有的這p個元素都相同——數α，β，γ，…中的某一個數等于p，并且其余所有的數等于0——否則數x一定總是被p整除。由此可以推出（a＋b＋c＋…）p中的所有的項，除ap，bp，cp，…之外，都可以被p整除；并且當我們處理一個對于模為p的同余式時，我們總是可以安全地忽略那些項，從而得到（a＋b＋c＋…）p≡ap＋bp＋cp＋…。證明完畢。

如果所有的數a，b，c…都等于1，一共有k個，那么，可得出上個條目中的kp≡k。