第4節(jié)　多元線性同余方程組

37

關(guān)于一元一次同余方程我們已經(jīng)闡述得比較充分，下面討論多元同余方程組。如果我們完整地討論每一項(xiàng)內(nèi)容，本章就會(huì)沒(méi)完沒(méi)了地繼續(xù)下去。因此，我們建議只討論值得我們注意的一些問(wèn)題，并且只探討這些問(wèn)題的某幾個(gè)方面，以后有機(jī)會(huì)再充分討論。

1．如同求解方程組一樣，同余方程的個(gè)數(shù)必須和待求未知數(shù)的個(gè)數(shù)相同。

2．因此，我們提出同余方程組

方程組中方程的個(gè)數(shù)與未知數(shù)x，y，z，…的個(gè)數(shù)是一樣的。

現(xiàn)在我們確定數(shù)ξ，ξ′，ξ″，…，使得

并且，所有這些數(shù)都是整數(shù)，沒(méi)有公約數(shù)。顯然，從線性方程理論可知這是可能的。類似地，我們確定數(shù)v，v′，v″，…；ζ，ζ′，ζ″，…；…，使得

3．顯然，如果同余方程A，A′，A″，…，乘以ξ，ξ′，ξ″，…，然后乘以v，v′，v″，…；…然后相加，我們就得到如下的同余方程組

為了簡(jiǎn)便，我們按如下形式記錄

Σ（aξ）x≡Σ（fξ），Σ（bv）y≡Σ（fv），Σ（cζ）z≡Σ（fζ），…

4．不同的情況必須區(qū)分清楚。

首先，當(dāng)所有系數(shù)Σ（aξ），Σ（bv），Σ（cζ），…都和同余方程的模m互質(zhì)時(shí)，我們可以按照已經(jīng)總結(jié)的結(jié)論求解，完整解可以通過(guò)同余式x≡p（mod m），y≡q（mod m），…給出。^[3]

例如，給定同余方程組

x＋3y＋z≡1，4x＋y＋5z≡7，2x＋y＋z≡3（mod 8）

我們求得ξ＝9，ξ′＝1，ξ″＝-14，所以有-15x≡-26和x≡6（mod 8）。同理求得15y≡-4，15z≡1，所以有y≡4，z≡7（mod 8）。

5．其次，當(dāng)并非所有系數(shù)Σ（aξ），Σ（bv），Σ（cζ），…都與模互質(zhì)時(shí)，令α，β，γ，…，分別為模m和Σ（aξ），Σ（bv），Σ（cζ），…的最大公約數(shù)。可知除非這些數(shù)能夠分別整除Σ（fξ），Σ（f v），Σ（fζ），否則這個(gè)問(wèn)題是無(wú)解的。但是，如果這些條件得到滿足，則第3部分中的同余方程可以由下列形如x≡p（mod m/α），y≡q（mod m/β），z≡r（mod m/γ），…的同余式完全解出；或者，也可以這樣表達(dá)，有α個(gè)不同的x的值［與m不同余，例如p，p＋m/α，…，p＋（α-1）m/α］，β個(gè)不同的y的值，…滿足這個(gè)同余方程組；顯然，所給的這組同余方程的所有解（如果有解）將在它們中求得。但是，這個(gè)結(jié)論不可逆，因?yàn)椋话愕兀皇?span id="btwlqwm" class="kindle-cn-italic">x的所有值，y的所有值，z的所有值，…的全部組合都給出了問(wèn)題的解，而只是它們中的某些滿足了一個(gè)或更多的限制性同余條件的組合給出了問(wèn)題的解。但是，因?yàn)橄旅娴挠懻摬⒉恍枰@個(gè)問(wèn)題的所有解，我們將不做進(jìn)一步討論，這里只舉一個(gè)例子來(lái)演示一下。

給定這個(gè)同余方程組

3x＋5y＋z≡4，2x＋3y＋2z≡7，5x＋y＋3z≡6（mod 12）

這里ξ，ξ′，ξ″；v，v′，v″；ζ，ζ′，ζ″分別等于1，-2，1；1，1，-1；-13，22，-1。由此可得4x≡-4，7y≡5，28z≡96。由此我們可以得出x有4個(gè)值，即x≡2，5，8，11；y有1個(gè)值，即y≡11；z有4個(gè)值，即z≡0，3，6，9（mod 12）。為了知道x的值和z的值的哪些組合可以使用，我們?cè)谒o的這組同余方程中用2＋3t，11，3u分別替代x，y，z，同余方程組變成

57＋9t＋3u≡0，30＋6t＋6u≡0，15＋15t＋9u≡0（mod 12）

它們等價(jià)于

19＋3t＋u≡0，10＋2t＋2u≡0，5＋5t＋3u≡0（mod 4）

由于其中的第一式應(yīng)有u≡t＋1（mod 4），當(dāng)把這個(gè)值代入其他2個(gè)同余方程，也能滿足這2個(gè)同余方程。我們總結(jié)，x的值2，5，8，11（分別令t≡0，1，2，3得到）必須分別與z≡3，6，9，0結(jié)合，我們一共可以得到4組解

x≡2，5，8，11（mod 12）

y≡11，11，11，11（mod 12）

z≡3，6，9，0（mod 12）

那么我們就結(jié)束了本章的討論內(nèi)容。不過(guò)我們還要補(bǔ)充幾條根據(jù)相似的原理得出的定理，這些定理我們以后經(jīng)常要用到。