數學歷史 最小公倍數的起源

在古代文明中，不同的國家對最小公倍數都有不同的認識。古希臘時期，歐幾里得在《幾何原本》中提出了最小公倍數的概念，中國北魏張丘建在《張丘建算經》中闡述了最小公倍數與最大公因數的關系，但沒有提出最小公倍數的概念。中國傳統數學把分數通分運算、天文歷法周期計算作為最小公倍數的起源；古希臘數學把數論研究作為最小公倍數的起源。中國傳統數學在主流思想——重視實際應用的情況下發現了最小公倍數，古希臘數學在主流思想——重視邏輯演繹推理的情況下發現了最小公倍數。

中國傳統數學以實用為主，最小公倍數的產生有兩個內在的需求：一個是計算分數通分中的最小公分母，另一個是天文歷法中計算尋找五星匯聚的周期或者幾個行星運動的公共周期。

北魏數學家張丘建在《張丘建算經》序言中給出了分數通分的方法：分數的通分運算，先將帶分數化成假分數。分母相同，分子直接相加減；分母不同，用所有分母的積作為公分母，分子相加減，然后再約分。他提出分子相加后，要對分數約分，約分后的分母就是最小公分母，比如，。

中國古代會觀察一種五星匯聚的現象，它被古人稱為星占學上最吉利的天象，所以，古代測算五星匯聚的周期是一件重要的事情。在西漢前，就有五星與日會合周期的記載。

劉歆在編撰三統歷時，將五星與日會合周期做了整理，《三統歷譜》記載五星與日會合周期為：木星與日經1728年會合1583見，即復于原處；金星與日經3456年會合，2161復，而復于原處；土星與日經4230年會合，4175見，而復于原處；火星與日經13824年會合，6469見，而復于原處；水星與日經9216年會合，29041復，而復于原處。[1728，3456，4230，13824，9216]=138240，經過138240年，五星復于原處。按照三統歷法，年月日與甲子的最小公倍數是4617，[138240，4617]=23639040，這便是在《漢書·律歷志》中記載的“二千三百六十三萬九千四十，而復于上極太元”。

編纂歷法時，不可避免地要求幾個巨大數的最小公倍數，歷法計算學家一定知道計算最小公倍數的方法。

中國古代有以下三個與最小公倍數相關的經典問題，同學們自己嘗試算一算。

1.三女一歸

今有三女，老大五日一歸，老二四日一歸，老三三日一歸。問，三女何日相會？

2.封山周棧

今有封山周棧三百二十五里，甲、乙、丙三人同繞周棧行，甲日行一百五十里，乙日行一百二十里，丙日行九十里。問：周行幾何日會？

3.三人值夜

今有內營周七百二十步，中營周九百六十步，外營周一千二百步。甲、乙、丙三人值夜，甲行內營，乙行中營，丙行外營，都發于南門。甲行九，乙行七，丙行五。問：各行防何周俱到南門？