數(shù)學(xué)探秘 豎式乘法“變變變”

豎式乘法對(duì)于我們來(lái)說(shuō)并不陌生，可是你們知道嗎？現(xiàn)在的這種豎式乘法形式是經(jīng)過(guò)千百年的演變才形成的！今天，讓我們一起去探秘豎式乘法的演變過(guò)程吧！

1.翻倍法

早在約3000年前，古埃及紙草書(shū)上就記載了一種乘法——翻倍法，就是將一個(gè)數(shù)逐次擴(kuò)大2倍后，再進(jìn)行加法計(jì)算，它與現(xiàn)代筆算乘法的形式并沒(méi)有多少相似之處。比如，32×13的計(jì)算過(guò)程，如圖1所示。

你能看懂圖中的算法嗎？原來(lái)，要算32×13，先逐步翻倍算出32×2、32×4、32×8的結(jié)果，乘數(shù)13可以分解成1+4+8，計(jì)算的時(shí)候，先把1、4、8標(biāo)在左側(cè)，然后把右側(cè)對(duì)應(yīng)的積相加，即可算得32×13的結(jié)果。到了1564 年，我們?nèi)匀豢梢詮牡聡?guó)數(shù)學(xué)家施蒂費(fèi)爾的著作中看到這種算法的痕跡，如圖2所示。翻倍法很容易理解，但是，當(dāng)數(shù)目比較大的時(shí)候這樣算就顯得較麻煩了。

2.籌算法

2000多年前，我國(guó)古代勞動(dòng)人民發(fā)明了乘法的計(jì)算方法，這種計(jì)算方法是使用算籌來(lái)進(jìn)行計(jì)算的。現(xiàn)在我們熟知的豎式乘法極有可能是由籌算乘法演變而來(lái)的。

籌算乘法分為三層——上位、中位和下位，上位表示一個(gè)乘數(shù)，中位表示積，下位表示另一個(gè)乘數(shù)。計(jì)算原理和我們現(xiàn)在慣用的豎式乘法完全一致，只是計(jì)算和書(shū)寫(xiě)的順序有差別。

以183×26為例。

（1）把一個(gè)乘數(shù)26擺在上位，另一個(gè)乘數(shù)183擺在下位，中間留有空位，準(zhǔn)備擺乘得的積，如圖3所示。

（2）從高位乘起，用上位數(shù)十位上的2乘下位數(shù)183，得3660，擺在中間，積的數(shù)位與下位數(shù)對(duì)齊，如圖4所示，積的個(gè)位0用空位表示。

（3）去掉已乘過(guò)的上位數(shù)十位上的數(shù)字2，把上位數(shù)個(gè)位6移至與下位數(shù)的個(gè)位對(duì)齊的位置，如圖5所示。

（4）用上位數(shù)的個(gè)位6乘下位數(shù)183，所得的積與3660相加，最后得積為4758，如圖6所示。

3.拆分法

古印度著名數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家婆什迦羅大約在900年之前給出了一種乘法運(yùn)算形式，這種運(yùn)算形式后來(lái)被意大利數(shù)學(xué)家帕喬利記載在他于1494年出版的著作《算術(shù)、幾何、比與比例集成》中，此種方法已經(jīng)較接近現(xiàn)在的豎式乘法（如圖7、圖8所示）。

以計(jì)算175×13為例，書(shū)中給出了以下兩種運(yùn)算形式。

隨著人們對(duì)乘法的進(jìn)一步研究，到了文藝復(fù)興時(shí)期，便出現(xiàn)了與現(xiàn)代的豎式乘法最接近的形式，此種形式也被記載在帕喬利的《算術(shù)、幾何、比與比例集成》一書(shū)中，如圖9所示。

同學(xué)們有沒(méi)有發(fā)現(xiàn)，在之前的豎式乘法中，一直沒(méi)有乘號(hào)“×”的身影，那是因?yàn)槌颂?hào)從早期用語(yǔ)言描述到后來(lái)用符號(hào)表示，經(jīng)過(guò)了許多年的發(fā)展，直到17世紀(jì)，“×”才作為乘法符號(hào)被廣泛使用。

4.格子法

15世紀(jì)中葉，意大利數(shù)學(xué)家帕喬利在《算術(shù)、幾何、比與比例集成》一書(shū)中介紹了一種兩數(shù)相乘的計(jì)算方法——格子算法，這種方法傳入中國(guó)之后，在明朝數(shù)學(xué)家程大位的《算法統(tǒng)宗》一書(shū)中被稱(chēng)為“鋪地錦”。這種算法形式與現(xiàn)代豎式乘法的寫(xiě)法略有差異，但計(jì)算順序和計(jì)算原理是完全相同的，如圖10所示。

以計(jì)算934×31為例，先畫(huà)一個(gè)矩形，把它分成3×2個(gè)小格，在小格邊上依次寫(xiě)下乘數(shù)、被乘數(shù)的各位數(shù)字，再用對(duì)角線(xiàn)把小格一分為二，分別記錄上述各位數(shù)字相應(yīng)乘積的十位數(shù)與個(gè)位數(shù)，把這些乘積由右到左，沿斜線(xiàn)方向相加，相加滿(mǎn)十時(shí)要向前進(jìn)一。最后得到934×31的結(jié)果為28954。

同學(xué)們，這么多形式不一的乘法算式，你們看出其中的計(jì)算奧秘了嗎？