第一章　計數原理

第一節　加法與乘法原理

一、課標導航

二、概念辨析

1. 加法原理

問題1　書架上層放有7本不同的英語書，中層放有8本不同的語文書，下層放有3本相同的英語書，從中選取一本書，有多少種不同的選法？

【分析】在用加法原理時首先要確定完成這件事分幾類，每一類有幾種方法，需要注意的是每一類的劃分必須是相互獨立的，不同種類中的方法必須是不相同的且沒有重復的. 根據加法原理，要完成“選取一本書”這件事，上層有7種選法，中層有8種選法，下層有只有1種選法，所以共有7+8+1=16種.

【解答】16

2. 乘法原理

問題2　（1）5名學生從3項體育項目中選擇參賽，若一名學生只能參加一項，則有多少種不同的參賽方法？

（2）5名學生爭奪3項比賽的冠軍（每個學生報名科目不限），則冠軍獲得者有幾種不同情況（沒有并列冠軍）？

【分析】在使用乘法原理時，要確定一個分步標準，只有各個步單獨完成，并且連續完成幾步，整件事才算完成.

（1）中每名學生都可以從3項體育項目中選1項，有3種選法，只有5名學生都選完，這件事才算完成，所以5名學生的參賽方法有3×3×3×3×3=35種.

（2）完成這件事是需要產生3個冠軍，每個冠軍都可能被5個人中的一人獲得，所以3個冠軍的獲得情況有5×5×5=53種.

【解答】（1）35　（2）53

三、全能突破

基礎演練

1. 小冉有3條不同款式的裙子、5雙不同款式的靴子，某日她要去參加聚會，若穿裙子和靴子，則不同的穿著搭配方法的種數為（　）.

A. 7

B. 8

C. 15

D. 125

2. 5名同學去聽同時進行的4個課外知識講座，每名同學可自由選擇，則不同的選取方法種數是（　）.

A. 54

B. 45

C. 5×4×3×2

D.

3. 設x，y∈N*，且x+y≤4，則直角坐標系中滿足條件的點M（x，y），共有（　）.

A. 3個

B. 4個

C. 5個

D. 6個

4. 已知集合，且A中至少有一個奇數，則這樣的集合有（　）.

A. 2個

B. 3個

C. 4個

D. 5個

5. a，b，c，d，e共5人，從中選1名組長和1名副組長，但a不能當副組長，不同的選法總數是（　）.

A. 20

B. 16

C. 10

D. 6

6. 某城市的電話號碼，由6位升為7位（首位數字均不為零），則該城市可增加的電話部數是（　）.

A. 9×8×7×6×5×4×3

B. 8×96

C. 9×106

D. 81×105

7. 已知兩條異面直線a，b上分別有5個點和8個點，經過這13個點可以確定（　）個不同的平面.

A. 40

B. 13

C. 10

D. 16

8. 書架上原來并排放著5本書，現要再插入3本不同的書，那么不同插法的種數是（　）.

A. 336

B. 120

C. 24

D. 18

9. a，b，c，d排成一行，其中a不排第1、b不排列第2、c不排第3、d不排第4的不同排法共有________種.

10. 某座山，若從東側通往山頂的路有3條，從西側通往山頂的路有兩條，那么游人從上山到下山共有________種不同的走法.

11. 用0，1，2，3，4，5這6個數字可以組成多少個沒有重復數字的三位奇數？

12. 某外語組有9人，每人至少會英語和日語中的一門，其中7人會英語，3人會日語，從中選出會英語和日語的各1人，有________種不同的選法.

能力提升

13. 某城市的街道如圖1-1-1所示，某人要從A地前往B地，則路程最短的走法有（　）.

A. 8種

B. 10種

C. 12種

D. 32種

14. 正五棱柱中，不同在任何側面且不同在任何底面的兩頂點的連線稱為它的對角線，那么一個正五棱柱對角線的條數為（　）.

A. 20

B. 15

C. 12

D. 10

15. 設集合I={1，2，3，4，5}，選擇I的兩個非空子集A和B中，要使B中最小的數大于A中最大的數，則不同的選擇方法共有（　）.

A. 50種

B. 49種

C. 48種

D. 47種

16. 如圖1-1-2所示，在A，B，C，D，E這5個區域中栽種3種植物，要求同一區域中只種1種植物，相鄰兩區域所種植物不同，則不同的栽種方法的總數為________.

17. 用5種不同顏色給圖1-1-3中4個區域涂色，每個區域涂一種顏色，那么涂色的方法有________種.

18. 3張1元幣、4張1角幣、1張5分幣、2張2分幣，可組成多少種不同的幣值（1張不取，即0元0角0分不計在內）？

19. 現有3個完全相同的白球和4個完全相同的黑球，將它們全部放入甲，乙兩個籃子，每個籃子里至少有一個球，則不同的放法有多少種？

20. 將標有數字1，2，3，4，5的5張卡片放入標有數字1，2，3，4，5的5個盒子中，每個盒子放一張卡片，且卡片上的數字與盒子的數字均不同，則共有多少種不同的放法？

21. 跳格游戲，如圖1-1-4所示，人從格外只能進入第1個格子，在格中每次可向前跳1格或兩格，那么人從格外跳到第8個格的方法種數為________.

高考鏈接

22. （2014年四川）6個人從左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，則不同的排法共有（　）.

A. 192種

B. 216種

C. 240種

D. 288種

23. （2011年北京）用數字2，3組成四位數，且數字2，3都至少出現一次，這樣的四位數共有________個. （用數字作答）

24. （2012年湖北）回文數是指從左到右與從右到左讀都一樣的正整數，如22，121，3443，94249等. 顯然2位回文數有9個：11，22，33，…，99. 3位回文數有90個：101，111，121，…，191，202，…，999.

（1）4位回文數有________個.

（2）2n+1（n∈N*）位回文數有________個.

25. （2010年上海）從集合U={a，b，c，d}的子集中選出4個不同的子集，需同時滿足以下兩個條件.

（1）?，U都要選出；

（2）對于選出的任意兩個子集A和B，必有A?B或B?A.

共有________種不同的選法.

巔峰突破

26. 72的正約數（包括1和72）共有________個.

27. 設ABCDEF為正六邊形，一只青蛙開始在頂點A處，它每次可隨意地跳到相鄰兩個頂點之一. 若在5次之內跳到D點，則停止跳動；若在5次之內不能跳到D點，則跳完5次也停止跳動. 那么這只青蛙從開始到停止，可能出現的不同跳法共有________種.

28. 函數f：{1，2，3}→{1，2，3}滿足f（f（x））=f（x），則這樣的函數共有（　）.

A. 1個

B. 4個

C. 8個

D. 10個