2.1　算子的定義

算子是指在相同數域上的向量空間之間的映射，特別是賦范向量空間（如函數空間）之間的映射。非線性算子又稱非線性映射，是不滿足線性條件的算子[1]。非線性系統∑總是和它的輸入—輸出映射P（operator，即算子）等同看待，如圖2-1所示。

其中，非線性系統∑與非線性算子P可以表示為

式中，U和Y分別是輸入和輸出函數空間，均為賦范線性空間。

定義1：賦范線性空間

設E是實數（或復數）域K上的線性空間。若按一定規則?x∈E→?|實數‖x‖≥0，且滿足下列三條（范數公里）：

（1）正定性：‖x‖≥0，當且僅當x=0時，‖x‖=0；

（2）齊次性：‖αx‖=α·‖x‖，其中，α為α的模；

（3）三角不等式：?x, y∈E，有|‖x‖-‖y‖|≤‖x+y‖≤‖x‖+‖y‖。

則稱實數‖x‖為x的范數，稱E為賦范線性空間，記作（E，‖·‖）或E。

定義2：算子P的范數

算子P的范數按照下式定義：

也可定義如下：

其中，u0∈Us是任意的。也可以如下定義半范數：

定義3：擴展的Banach空間

令X為定義域為[0，∞）的實數函數上的Banach空間，擴展的Banach空間Xe與X由定義在[0，∞）上的實數域函數x（t）所構成的向量空間：

其中，xT（t）是被T切斷的x（t），定義如下：

定義4：因果非線性算子

令P：D（G）→R（G）是一個非線性算子，該算子是在擴展Banach空間上的范圍D（G）到另一個擴展Banach空間上的變化范圍R（G）上的映射。如果對任意的函數x（·），s（·）∈D（G），意味著

其中，T∈[0，∞），0≤t≤∞，那么算子P被稱為有因果關系的。

定義5：穩定算子

令Us和Ys分別是賦范線性空間U和Y的穩定子空間，一般地，

如果P（Us）?Ys，那么算子P稱為穩定的。

定義6：單模算子

如果算子P可逆，且P和P-1都是穩定的，則稱算子P為單模算子。顯然，對于單模算子P有：

定義7：廣義的Lipschitz算子

令Xe、Ye為兩個擴展的Banach空間，它們與定義在[0，∞）上的實數域函數的Banach空間相關聯，且有子空間U滿足U?Ye。非線性算子P：U→Ye被稱為U上的廣義Lipschitz算子[2]。

如果存在常數c滿足：

其中，?x, s∈U且T∈[0，∞）。這樣最小的c由下式決定：

c被稱為廣義Lipschitz算子的子范數和非線性算子P的實范數。非線性算子的實范數由下式定義：

此外，如果一個Lipschitz算子是穩定的，那么它被稱為是有限增益穩定的。由式（2-12）可以得到：

在此聲明，本書中所有的有界線性算子是廣義Lipschitz算子。我們并不是只考慮有限增益穩定，因為輸入空間中的輸入函數可能被映射到它的變化范圍內的某個地方，而不在其輸出空間中，所以一個有限增益算子在上述定義7下可能是不穩定的[3]。