3.1　微分中值定理

引理[費(fèi)馬（Fermat）引理]　設(shè)函數(shù)φ（x）在點(diǎn)ξ及其鄰域內(nèi)連續(xù)，且當(dāng)x=ξ+Δx在此鄰域內(nèi)時(shí)，總有φ（x）≤φ（ξ）[或總有φ（x）≥φ（ξ）].則當(dāng)φ′（ξ）存在時(shí)，有φ′（ξ）=0.

證明　設(shè)φ（x）≤φ（ξ），則對(duì)ξ附近的任何一點(diǎn)x=ξ+Δx都有φ（ξ+Δx）-φ（ξ）≤0.

所以，若φ′（ξ）存在，

因此只有φ′（ξ）=0.φ（x）≥φ（ξ）時(shí)類似.

定理1[羅爾（Rolle）定理]　設(shè)函數(shù)φ（x）在閉區(qū)間[a，b]上連續(xù)，在開(kāi)區(qū)間（a，b）內(nèi)可導(dǎo)，且φ（a）=φ（b），則在（a，b）內(nèi)至少存在一點(diǎn)ξ，使φ′（ξ）=0.

證明　若φ（x）在[a，b]上為常數(shù)，則φ′（x）=0（a≤x≤b）.那么，（a，b）內(nèi)的任何一點(diǎn)都可取作ξ，并且，φ′（ξ）=0.

設(shè)φ（x）在[a，b]上不是常數(shù)，由閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)，φ（x）在[a，b]上必有最大值M和最小值m，且M與m中至少有一個(gè)不等于φ（a）.不妨假設(shè)M≠φ（a），則在（a，b）內(nèi)至少存在一點(diǎn)ξ，使φ（ξ）=M.由于ξ∈（a，b）故φ′（ξ）存在，由引理1得知，φ′（ξ）=0.

定理2[拉格朗日（Lagrange）中值定理]　如果函數(shù)f（x）在閉區(qū)間[a，b]上連續(xù)，在開(kāi)區(qū)間（a，b）內(nèi)可導(dǎo)，則在（a，b）內(nèi)至少存在一點(diǎn)ξ，使

證明　構(gòu)造輔助函數(shù)

由f（x）的可導(dǎo)性，得

易驗(yàn)證φ（x）滿足定理1的三個(gè)條件，故至少存在一點(diǎn)ξ：a<ξ<b，使φ′（ξ）=0.即

定理2的幾何意義見(jiàn)圖3-1.過(guò)曲線y=f（x）上兩點(diǎn)A（a，f（a）），B（b，f（b））做割線.只要在區(qū)間（a，b）內(nèi)每一點(diǎn)，曲線y=f（x）都有不垂直于x軸的切線，則通過(guò)平移割線AB，一定能在曲線y=f（x）上至少找到一點(diǎn)ξ，使過(guò)點(diǎn)ξ的切線與割線AB平行.即（a，b）內(nèi)至少存在一點(diǎn)ξ，使ξ點(diǎn)處切線的斜率==割線AB的斜率.

特別地，如果還有f（a）=f（b），則有f′（ξ）=0，曲線y=f（x）在此處的切線與x軸平行.這就是定理1的情形，故定理1是定理2的特例.

推論1　若x∈（a，b）時(shí)f′（x）≡0，則f（x）≡c（c為常數(shù)，a<x<b）.

推論2　若x∈（a，b）時(shí)f′（x）≡g′（x），則f（x）=g（x）+c（c為常數(shù)，a<x<b）.

例1　證明：.

證　設(shè)f（x）=arcsin x+arccos x，則從

知f（x）≡c.取x=0，

例2　證明：當(dāng)x>0時(shí)，

證明　設(shè)f（t）=ln（1+t），則f（t）在[0，x]上滿足拉格朗日中值定理?xiàng)l件，因此應(yīng)有

f（x）-f（0）=f′（ξ）（x-0）（0<ξ<x）

定理3[柯西（Cauchy）中值定理]　如果函數(shù)f（x）和g（x）在閉區(qū)間[a，b]上連續(xù)，在開(kāi)區(qū)間（a，b）內(nèi)可導(dǎo)，且f′（x）和g′（x）不同時(shí)為零，g（a）≠g（b），則在（a，b）內(nèi)至少存在一點(diǎn)ξ，使

證明從略.