§2.2　矩陣的運算

通過本節的學習，學生應掌握矩陣的加法、數乘、乘法、轉置及它們的運算法則，了解方陣的方冪和方陣乘積的行列式.

矩陣的意義不僅在于把一些數據按一定的順序排列成表，而且還在于對它定義了一些運算，從而使它成為進行理論研究和解決實際問題的重要工具.本節將介紹矩陣的加法、矩陣與數的乘法、矩陣與矩陣的乘法以及矩陣的轉置等運算.

2.2.1　矩陣的加法

例1　某工廠生產甲、乙、丙三種產品，各種產品每月所需各類成本（單位：萬元）

三種產品每月所需的各類成本可列成如下矩陣：

這樣甲、乙、丙三種產品2016年5月、6月兩個月所用各類產品成本的和可以表示成矩陣

我們把矩陣C稱為矩陣A與矩陣B的和矩陣.

定義1　設矩陣

為同型矩陣，則矩陣

稱為矩陣A與矩陣B的和，記作C=A+B.

注意　兩個矩陣只有在同型的情況下才能相加.

矩陣的加法滿足下列運算律：（設A，B，C都是m×n矩陣）

（1）交換律A+B=B+A；

（2）結合律（A+B）+C=A+（B+C）.

顯然　　　　　A+O=A.

設矩陣A=（aij）m×n，稱矩陣（-aij）m×n為A的負矩陣，記作-A，即

-A=（-aij）m×n.

顯然有

A+（-A）=O.

由此規定矩陣的減法為

A-B=A+（-B）

例2　求矩陣X，使A=B+X，其中

解　X=A-B

2.2.2　數與矩陣的乘法

例3　在例1的問題中，由于進行了各項改進，甲、乙、丙三種產品在6月的各類成本都降為5月的70％，這時6月的各類成本可用矩陣表示為

我們把C稱為數0.7與矩陣A的乘積.

定義2　設A=（aij）m×n，λ是數，稱

為數λ與矩陣A的乘積，簡稱數乘.簡記為λA= λ（aij）m×n.

數乘矩陣運算滿足下列的運算律：（設A，B都是m×n矩陣，λ，μ是數）

（1）結合律（λμ）A=λ（μA）；

（2）分配律（λ+μ）A=λA+μA；λ（A+B）=λA+λB；

（3）1A=A；（-1）A=-A；

（4）若λA=O，則λ=0或A=O.

注意　矩陣的加法和矩陣數乘統稱為矩陣的線性運算.

例4　設，且有2A+X=B-2X，求X.

解　由2A+X=B-2X得

所以.

2.2.3　矩陣的乘法

定義3　設A=（aik）m×s，B=（bkj）s×n，則矩陣C=（Cij）m×n為矩陣A與B的乘積，其中并把此乘積記為

C=AB.

注意　（1）只有左邊矩陣A的列數等于右邊矩陣B的行數時，A與B才能相乘，且乘積矩陣C的行數等于A的行數，列數等于B的列數，即Am×sBs×n=Cm×n.

（2）AB=C的第i行第j列位置上的元素cij就是A的第i行與B的第j列對應元素乘積的和，即

按定義，一個1×n行矩陣與一個n×1列矩陣的乘積為一個1階方陣，它是一個數.

例5　設A=（a1，a2，…，an），，求AB與BA.

解　

例6　設，求AB.

注意　這里BA是無法計算的.

例7　設，求AB及BA.

解　；

例8　設，求AB及AC.

解；

但是B≠C.

由上述例子可知：

（1）一般情況下，矩陣的乘法不滿足交換律.因為AB與BA可能一個有意義，一個沒有意義；也可能二者都有意義，但AB≠BA.當AB=BA時，稱A與B是可交換的.

由定義可知，EA=AE=A，BE=EB=B，即單位矩陣和任何矩陣都可交換.

（2）矩陣中存在A≠O，B≠O，有BA=O；反之，BA=O，不一定有A=O或B=O.

（3）矩陣乘法不滿足消去律，即AB=AC，且A≠O，不能導出B=C.

矩陣的乘法運算滿足下列的運算律：（假定運算是可行的，λ是數）

（1）結合律A（BC）=（AB）C；

（2）分配律A（B+C）=AB+AC；（A+B）C=AC+BC；

（3）數乘結合律λ（AB）=（λA）B=A（λB）.

例9　證明n階數量矩陣與所有n階方陣都可交換.

證明　設n階數量矩陣為，

又設

則

同樣可得AK=kA，所以有AK=KA，即n階數量矩陣與n階方陣可交換.

有了矩陣的乘法，就可以定義方陣的冪.

定義4　設A是n階方陣，k是正整數，定義

A1=A，A2=AA，…，Ak=AAk-1.

即Ak是k個A的連乘積.

特別規定，A0=E.

由于乘法分配律和結合律成立，所以關于方陣的冪滿足以下運算規律：

（1）AλAμ=Aλ+μ；

（2）（Aλ）μ=Aλμ.

注意　由于矩陣乘法不存在交換律，故一般情況下（AB）λ≠AλBλ（A，B為n階方陣）

例10　計算，

解　設

則，

假設，

則

于是由歸納法知，對于任意正整數n，有

設f（x）=a0xm+a1xm-1+…+am-1x+am為m次多項式，A為n階方陣，則f（A）=a0Am+a1Am-1+…+am-1A+amE，

仍為一個n階方陣，稱為方陣多項式.

例11　設，求f（A）.

解　

f（A）=A2-2A-3E

在矩陣運算中公式（A+B）（A-B）=A2-B2；（A+B）2=A2+2AB+B2未必成立（為什么？），這是在運算中需要特別注意的.

2.2.4　矩陣的轉置

1.轉置矩陣

定義5　設A=（aij）m×n是一個m×n矩陣

把矩陣A的行與列互換，得到一個n×m矩陣，稱此矩陣為A的轉置矩陣，記作AT，即

或簡記為AT=（aji）n×m.

例如，設，則.

矩陣的轉置也是一種運算，滿足以下運算律（假設運算都是可行的）：

（1）（AT）T=A；

（2）（A+B）T=AT+BT；

（3）（kA）T=kAT；

（4）（AB）T=BΤAT

證明　我們僅證明性質（4），其余證明讀者自行完成.

設A=（aij）m×s，B=（bij）s×n，記AB=C=（cij）m×n，BTAT=D=（dij）n×m，于是按矩陣乘法公式

而BT的第i行為（b1i，…，bsi），AT的第j列為，因此

即D=CT，亦即BTAT=（AB）T.

性質（4）可以推廣到有限多個矩陣相乘，即有

例12　已知，求（AB）T.

解法1　

所以

解法2　

2.對稱矩陣和反對稱矩陣

定義6　設A=（aij）是n階方陣，若滿足

aij=aji（i，j=1，2，…，n），

則稱A為對稱矩陣.

顯然，對稱矩陣的特點是：它的元素是以對角線為對稱軸，對應元素相等

例如均為對稱矩陣.

定義7　設A=（aij）是n階方陣，若滿足

aij=-aji（i，j=1，2，…，n），

則稱A為反對稱矩陣.

反對稱矩陣的特點是：

（1）它的元素以對角線為對稱軸，對應元素互為相反數；

（2）對角線上的元素為零，即aii=0（i=1，2，…，n）.

例如均為反對稱矩陣.

例13　證明：任一n階矩陣都可以表示為一個對稱矩陣和一個反對稱矩陣之和.

證明　設A為n階矩陣.

因顯然是對稱矩陣是反對稱矩陣，所以結論成立.

2.2.5　方陣的行列式

定義8　由n階方陣

所確定的行列式

稱為n階方陣A的行列式，記為|A|或detA.

注意　方陣與行列式是兩個不同的概念，n階方陣是n2個數按一定的方式排成的數表，而n階行列式則是這些數按一定的運算法則所確定的一個數.

方陣A的行列式|A|滿足下列的運算規律：（A，B均為n階方陣）

（1）|AT|=|A|；

（2）|λA|=λn|A|（λ是數）；

（3）|Aλ|=|A|λ；

（4）|AB|=|A||B|.

證明　我們僅證明性質（4），其余證明讀者自行完成.

設A=（aij）n×n，B=（aij）n×n，AB=C=（cij）n×n，其中

考慮2n階行列式

根據第1章可得，D=|A||B|.另一方面

綜上即得|AB|=|A|B|

顯然，若A1，A2，…，Am為n階方陣，則|A1A2…Am|=|A1||A2|…|Am|.

例14　設|A|=3，且AB+2E=O，E為2階單位陣，求|B|.

解　由AB+2E=O，得

AB=-2E

所以　　　　　　|AB|=|-2E|，

|A||B|=（-2）2|E|=4，

因此

習題2.2　

1.設

（1）求3A-B；

（2）若X滿足X-A=2B，求X；

（3）若X滿足2A-X+2（B-X）=O，求X.

2.計算下列矩陣的積：

3.已知矩陣

求：（1）AB，BA；（2）（A+B）（A-B）；（3）A2-B2；（4）（AB）T，ATBT.

4.設矩陣.

求：（1）|A|；（2）|-2A|；（3）|3A-2B|.

5.計算（其中n為正整數）：

6.設A是n階矩陣，且AAT=E，|A|=1，n為奇數，求|E-A|.

7.設有n階矩陣A與B，證明（A-B）（A+B）=A2-B2的充分必要條件是AB=BA.

8.設n階矩陣A，B滿足A2=A，B2=B，（A+B）2=A+B，證明AB=O.

9.（1）設f（x）=x2-5x+3，求f（A）.

（2）設f（x）=x2+x-1，求f（A）.