第1章 數學建模基本知識

1.1 數學建模簡介

1.1.1 什么是數學建模

提到數學，也許你的腦海里會浮出這樣一幅畫面：鴉雀無聲的教室，監考老師用警惕的目光掃視著全場，考生們分秒必爭，瘋狂地寫下心中那一道道數學難題的答案。

那什么是“數學建模”？

數學建模是指對現實世界的某一特定對象，為了特定的目的，做出一些重要的簡化和假設，運用適當的數學工具得到一個數學結構，用它來解釋特定現象的現實性態，預測對象的未來狀況，提供處理對象的優化決策和控制，設計滿足某種需要的產品等。

你玩過“人鬼過河”的游戲嗎？三個人和三個鬼要過河，只有一條船，船上最多可以乘兩個人或兩個鬼或一人一鬼，但河岸上鬼的數量不能大于人的數量，否則人會被鬼所吞噬。那么，怎樣合理設計過河路線才能保證這三個人安全渡到河的對岸呢？顯然這是一個鍛煉人的邏輯思維的游戲，也許你會一遍遍地嘗試，尋找合理的過河方法。而它，從邏輯思維角度分析就是一道數學建模題目。因此，我們可以通俗地說，數學建模是生活中的智力游戲。

你喜歡旅游嗎？你想把全中國的每個省市的名勝景點都走一遍嗎？那么怎樣設計一條旅行路線才能讓我們的行程最短，所需費用最少呢？或許你會打開百度地圖，一遍遍地計算，尋找最短行程。但是走進數學建模的世界，你會發現只需要在電腦上敲出幾行代碼，做一個小程序，就可以輕松地計算出最短距離。這就是數學建模里面著名的“TSP”問題。顯然，我們也可以說數學建模是幫助我們解決生活中的小問題，讓我們更好地享受生活。

你們班有60人，現有一個出國留學的名額，那么你能夠擁有這個機會的可能性有多少？也許你會不假思索地給出答案：1/60。也許你的答案是正確的，但是從數學建模的角度分析，你的答案就不是那么有說服力了，因為你忽略了事情的前提條件。考慮到每個同學的家庭經濟狀況及同學的性別、年齡、意愿等諸多因素，你出國留學的概率又會是多少呢？數學建模可以幫助我們解決這些學習或工作中的問題。

講述了這三個生活中常見的小事，不知你對建模是否有了更進一步的了解。從理論上講，數學建模，雖名曰數學，但又與純數學競賽有著天壤之別。它既不是純粹的數學競賽，也不是純粹的計算機競賽，而是涉及多學科、多領域，考查學生處理實際問題的綜合能力。它不像考試，更像是一個課題小組在規定的時間內完成一項任務。

鄭州大學的石東洋教授解釋道：“數學建模就是以各學科知識為基礎，利用計算機和網絡等工具，來解決實際問題的一種智力活動。它既不是傳統的解題，也不同于其他賽事，而是更重視應用與創新，以及動手能力的考查。”

隨著社會的發展，數學在社會各領域中的應用越來越廣泛，不僅運用于自然科學的各個領域，而且滲透到經濟、軍事、管理及社會活動的各個領域。但社會對數學的需求并不只是需要專門從事數學研究的人才，而且需要在各部門中從事實際工作的人善于運用數學的思維方法來解決他們每天面臨的大量的實際問題。對于生活中復雜的實際問題，發現其內部規律，用數學語言將其描述出來，進而把這個復雜的實際問題轉化為一個簡化的數學問題，這就是數學模型，建立數學模型的過程就是數學建模。當然，復雜的實際問題中有許多因素，在建立模型中不可能毫無遺漏地將其全部考慮在內，只考慮其中最主要的因素就可以了，這樣就可以用數學工具和數學方法去解答工作生活中的實際問題。

那么你見過數學建模競賽的場面是什么樣的嗎？它和常規的數學競賽一樣兩個小時一張試卷嗎？當然不是。有人這樣描述：全國乃至世界范圍內的大學生，來自不同學院、不同專業的建模愛好者們，三人一隊，一起參加歷時三天三夜或四天四夜的建模比賽。他們有的在嫻熟地操作著電腦，聚精會神地凝視著電腦屏幕上的一篇篇文獻；有的兩眼緊緊盯著屏幕上來回滾動的數字和符號，仿佛在看武俠小說、偵探片、世界杯；有的則在堆積如山的建模書里翻來覆去地搜索著。每位建模者都有對賽題的獨特觀點和見解，他們彼此交流，只為找到自己建模思路中的某個“元件”，從而完善自己的建模大廈。當然，數學建模競賽并沒有一個固定的答案，完成數學建模賽題的關鍵在于團隊的創新能力。而人的創造力是沒有頂峰的，每個團隊都應竭盡全力，沒有最好，只有更好。因此每年全國評出的優秀答卷幾乎都有不足之處，這并不奇怪，因為答卷的優秀與否是相對而言的。

數學建模的益處當然不僅僅在于比賽的過程使人增長知識，開闊視野，更在于對我們日后的學習或工作也有很大幫助。中國科學院攻讀空間物理博士學位的一位建模愛好者說：“我目前的工作是分析衛星數據，從中抽取相關物理規律。這是個非常煩瑣的過程，并且還需要學習一些計算機語言、編程序、看大量英文文獻、和導師及一些專家合作討論。可以說，在數學建模活動中鍛煉的這幾年，讓我對目前的這些困難能夠應付自如。”

畢業后走入工作崗位的一位建模愛好者這樣描述：“目前我在一家大型電子商務公司做平臺運營，負責七個店鋪在四個平臺中的日常銷售。電子商務中無數的數據之間相互影響、相互依托，讓我更樂于用建模的思維去思考因子之間的相關性，進行客戶的行為分析、地域分析，分析訪客量、瀏覽量、轉化率對成交金額的影響，提升店鋪DSR評分，提高轉化率，促進成交金額，使我在平凡的工作中表現得更加自信，在復雜的數據之間更加從容。”

21世紀以來，人類已經進入到以計算機、網絡、數碼、光纖、多媒體為主要標志的信息時代，定量化、數字化的技術得到了飛速發展，并應用于各個領域，培養應用型數字人才已迫在眉睫。數學建模，不僅豐富了大學生的課余生活，開拓了他們的視野，讓全國乃至世界的大學生站在同一個平臺上角逐，更為他們以后順利走入工作崗位奠定了基礎。

現在，你該知道什么是數學模型和數學建模了吧！從錯綜復雜的實際問題中，經過合理的分析、假設，抓住主要矛盾、忽略次要矛盾，得到一個用數學的符號和語言描述的表達式，這就是數學模型。綜合運用所學知識，選擇適當的方法加以解決就是數學模型的求解。這種從實際中提出問題、建立數學模型到模型求解的完整過程就是數學建模。

1.1.2 初等數學模型案例

數學模型是將現象加以歸納、抽象的產物，它源于現實，又高于現實；只有當數學建模的結果經受住現實對象的檢驗時，才可以用來指導實際，完成實踐——理論——實踐這一過程。

現實世界中有很多問題，它的機理比較簡單，一般用靜態、現態、確定性模型描述就能達到建模的目的，基本上可以用初等數學模型的方法來構造和求解模型。

初等數學模型中的大多數問題都是很早就提出來了，這些問題簡直像天方夜譚似的極其有趣，表面上看無從下手。而數學建模則是將原型進行適當的簡化、提煉而構成的一種原型代替物。這種代替物并不是原型原封不動的復制品。原型有各個方面和各種層次的特征，模型只反映了與某種目的有關的那些方面和層次的特征，從而達到解決某個具體問題的目的。

例1：人、貓、鳥、米均要過河，船上除1人劃船外，最多還能運載1物，而人不在場時，貓要吃鳥，鳥要吃米，問人、貓、鳥、米應如何過河？

模型假設

人、貓、鳥、米要從河的南岸到河的北岸，由題意，在過河的過程中，兩岸的狀態要滿足一定條件，所以該問題為有條件的狀態轉移問題。

模型建立

我們用（w,x,y,z），w,x,y,z=0或1，表示南岸的狀態，例如（1,1,1,1）表示它們都在南岸，（0,1,1,0）表示貓、鳥在南岸，人、米在北岸；很顯然有些狀態是允許的，有些狀態是不允許的，用窮舉法可列出全部10個允許狀態向量，(1,1,1,1)(1,1,1,0)(1,1,0,1)(1,0,1,1)(1,0,1,0)(0,0,0,0)(0,0,0,1)(0,0,1,0)(0,1,0,0)(0,1,0,1)。

模型求解

將10個允許狀態用10個點表示，并且僅當某個允許狀態經過一個允許決策仍為允許狀態，則這兩個允許狀態間存在連線，從而構成一個圖，如圖1-1所示。在其中尋找一條從（1,1,1,1）到（0,0,0,0）的路徑，這樣的路徑就是一個解，可得下述路徑圖。

由圖1-1可見，以上兩個解都是經過7次運算完成的，均為最優解。

模型推廣

這里講述的是一種規格化的方法，所建立的多步決策模型可以用計算機求解，從而具有推廣的意義，適當地設置狀態和決策，確定狀態轉移律，建立多步決策模型，是有效解決很廣泛的一類問題的方法。

例2：某新婚夫婦急需一套屬于自己的住房。他們看到一則房產廣告：“名流花園之高尚住宅公寓，供工薪階層選擇。一次性付款優惠價40.2萬元。若不能一次性付款也沒關系，只付首期款為15萬元，其余每月1977.04元等額償還，15年還清（公積金貸款月利息為3.675‰）。問貸款額為多少？

模型假設

貸款期限內利率不變；銀行利息按復利計算。

符號定義

A（元）：貸款額（本金）；n（月）：貨款期限；r：月利率；B（元）：月均還款額；Ck：第k個月還款后的欠款。

模型建立

將該遞推數列變形為：

利用等比數列得到一般項公式為：

由有：

模型求解

帶入：=180、=0.003675、=1977.04

則：=260000（元）（因每月還款1977.04只能精確到分，實際計算結果為259999.4元）。

例3：世界紀錄的賽跑數據如表1-1所示。

研究運動員跑過的距離長度是怎么影響其成績的？

模型假設

運動員的成績僅與跑過的距離長度相關，即不考慮運動員的自身差異及場地、環境等差異的影響。

模型建立

在坐標系上將數據對應的點一一標出來，如圖1-2所示，這些點大致分布在一條直線附近，猜想兩者之間有線性關系。

模型修正

由于數據點并不嚴格在一條線上，設想其誤差由長度以外的其他因素所導致，因此，模型修改為

模型求解

利用二元函數最小值的方法，不難求得：

例4：投擲鉛球的最佳角度問題。

用數學方法研究體育運動是從20世紀70年代開始的。1973年，美國的應用數學家J·B·開勒發表了賽跑的理論，并用他的理論訓練中長跑運動員，取得了很好的成績。幾乎同時，美國的計算專家艾斯特運用數學和力學，并借助計算機研究了當時鐵餅投擲世界冠軍的投擲技術，從而提出了他自己的研究理論，據此改進了投擲技術的訓練措施，并使這位世界冠軍在短期內將成績提高了4?m。這些都說明了數學在體育訓練中發揮著越來越明顯的作用。

在鉛球投擲訓練中，教練關心的核心問題是投擲距離。而距離的遠近主要取決于兩個因素：速度和角度。在這兩個因素中，哪個更為重要呢？

模型假設

鉛球投擲訓練涉及的變量很多，為簡化問題，我們在下面的模型中，將不考慮鉛球運動員在投擲區域內身體的轉動，只考慮鉛球的出手速度與投射角度這兩個因素。并作如下假設：

（1）忽略鉛球在運行過程中的空氣阻力作用；

（2）投射角度與投射初速度是相互獨立的兩個量；

（3）將鉛球視為一個質點。

模型建立

先考慮鉛球從地平面以初速度ν和角度θ投擲出的情形。如圖1-3所示，鉛球在點P處落地。

先來求鉛球的運動方程。

設鉛球在時刻t的動點坐標為(x,y)，得運動方程：

消去方程中的參變量t，得到關于x,y的關系式：

為了求出鉛球落地處的坐標，只需令y=0，解得：

其中x1是鉛球起點的坐標，x2是鉛球落地時點P的坐標。

若ν固定，則投擲距離是投射角θ的函數。當時，投擲距離達到最大值，這時的投擲距離為。這就是說，按角投擲時，投擲的距離最遠。

然而，上述模型與實際是有差距的。這是因為，鉛球不是從地面上出手的，而是從一定的高度處出手的。因而上面的方程應調整為：

消去t，得到：

令y=0，得方程：

解之得：

舍去負根，得到點P的坐標為：

即鉛球的射程為：

數值模擬：

取g=10?m/s2，h=1.6?m，利用這一公式，列表給出速度與角度對投擲距離的影響，如表1-2所示。

從表1-2可以看出，當ν =11.5?m/s時，最佳角度為（可用微積分知識得到）。當角度在到之間變化時，產生的距離差是0.097?m，角度%的偏差引起距離0.06%的偏差。速度從11m/s變到12m/s引起了距離從14.032?m到16.359?m的偏差，也就是說，速度9%的增加導致了距離16.8%增加。這個結果表明，教練在訓練運動員時，應集中主要精力來增加投擲的初始速度。

模型評價

（1）上面的模型比較粗糙，還有許多因素沒有考慮到，例如運動員的身體轉動，投擲者的手臂長度，肌肉的爆發力、鉛球的質量，等等。加上以上諸因素后，得出的公式自然會更精確，但處理起來會復雜得多。

（2）關于速度與角度的偏差百分率的計算，是否可以比較還值得商榷。

（3）鉛球投擲問題的數學模型，可以應用于鐵餅、標槍或籃球投籃等投擲問題，讀者不妨用類似上面的方法進行研究。

當實際問題需要我們對所研究的現實對象提供分析、預報、決策、控制等方面的定量結果時，往往都離不開數學的應用，而建立數學模型則是這個過程的關鍵環節。

1.1.3 數學建模的基本步驟與論文寫作

1.1.3.1 數學建模的基本步驟

通過以上幾個例子，我們發現，建立數學模型的基本步驟就是解決一個實際問題的基本步驟。由于實際問題的背景、性質、建模的目的等方面不同，因此，建模要經過哪些步驟并沒有固定的模式和標準。數學建模的基本步驟包括以下7個主要部分。

1.模型準備及問題分析

當看到競賽題目時，首先，需要剖析問題，抓住問題本質和主要因素，確定問題的關鍵詞，查閱資料和文獻，了解問題的實際背景、相關數據或相關研究進展情況，獲得關鍵資料，并初步確定研究問題的類型。競賽的問題都是來自實際生活中的各個領域，并沒有固定的方法和標準的答案。所以，要明確問題中所給的信息點，把握好解決問題的方向和目的，仔細分析問題關鍵詞和數據信息，可適當補充一些相關信息和數據（具有一定權威性），為接下來的模型建立奠定基礎。

2.模型假設

競賽題目都是來自實際生活，所涉及的方面較廣，受影響的因素較多，而在建模過程中不可能面面俱到，故需結合問題的實際意義，適當地將一些因素簡化，但不能對問題主要因素影響太大。抓住問題關鍵、忽略次要因素，進行合理化的簡要假設，這是為建模過程中排除一些較為難處理的情況，使建立的模型更趨優化和合理，也是評價一個模型優劣的重要條件。

3.模型建立

通過所做的分析和假設，結合相關的數學基本原理和理論知識，將實際問題轉化為數學模型，可以用數學語言、符號進行描述和表示問題的內在現象和規律。結合相關學科的專門知識，根據所提供的要求和信息，建立一個關于問題中主要變量與主要因素間的數學規律模型，可以以數學方程式、圖形、表格、數據和算法程序等形式表示。但在建模過程中應多創新，不要一味效仿，可以將多個知識點進行穿插和結合，如基于K-means的粒子群改進算法。還可以在算法程序上進行改進和優化，體現模型的創新性。

4.模型求解

在模型求解過程中，會用到傳統的數學方法，如解方程、公式證明、統計分析等，但目前更廣泛使用的是數學軟件和計算機技術，如MatLab、Lingo、SPSS等，有時還需要掌握一門編程語言。所以需要具備針對實際問題學習新知識的能力，靈活應用新知識并將其與實際問題結合以對模型求解。

5.結果分析與檢驗

對所求的結果，針對問題的實際情況和意義進行分析。可以通過誤差分析、靈敏度分析，來表現模型解決實際問題的效果及實際應用的范圍。通過誤差分析，可以適當調整模型，或提出出現誤差的可能原因或解決的方案；靈敏度分析是針對某些主要參數的，可以確定模型中主要變量和參數的誤差允許范圍。有時需要通過將所得數據進行方差、標準差、t檢驗或f檢驗等。通過分析和檢驗，充分表現模型的合理性和可行性。

6.論文寫作

數學建模比賽，不僅需要我們利用各種數學、物理、智能算法等來解決問題，還需要將研究成果撰寫成論文，以電子版形式上交。按照數學建模的基本步驟，建立一個恰當的數學模型并求解，使參賽者清晰明了地表達解題思路，以展示自己能力，也是評委評定一篇論文好壞的依據。所以完成一篇高質量的競賽論文不僅能展示自我才能，也能為競賽加分。

7.模型應用

以上是將實際問題轉化為數學模型進行求解并證明。在進行大量研究和演繹后，最終還需將其回歸到實際，看其是否具有合理性和可行性，這需要用實際信息或數據進行驗證。

以下為三種數學建模基本步驟，可根據個人所需對各個部分進行調節，如表1-3所列。

1.1.3.2 數學建模的論文寫作

下面按照第一種數學建模基本步驟，就論文寫作部分進行詳細敘述。

1.摘要

摘要是一篇建模比賽論文的整體面貌，評委對論文第一輪評審就是通過對摘要進行篩選，所以對于每個參賽隊來說，寫好摘要，是獲獎較為重要的一步，也是論文進一步得到評委審批的關鍵。

摘要的字數一般在400～800字，但其內容卻包含了參賽隊對題意理解、模型類型、建模思路、采用的求解方法及求解思路、算法特點、靈敏度分析、模型檢驗、主要數值結果和結論等。

在摘要下面一行，還需列出3～5個關鍵詞，用來彰顯競賽論文的主要內容。

2.問題重述（或問題的提出與重述）

通過自己對題意的理解，用自己的語言重新描述問題。如果問題本身很簡短，可以抄題，一般情況下不建議抄題。需要時，可以結合問題的背景簡明扼要地說明解決問題的意義所在。

3.問題分析

需要抓住題目的關鍵詞和主要目的及要求，分析要中肯、確切。依據的原理要明確，描述要簡明扼要，可列出關鍵步驟，切記不要冗長，煩瑣。對問題的分析，可以作為第三部分，也可以將其針對每個問題寫在模型建立中。建議采用流程圖，使思路表述更清晰。

4.模型假設

在對問題進行分析后，針對問題的主要因素，舍棄次要因素的影響，采用假設的方式，使我們解決的問題簡化，模型更合理化。這部分內容，可以單獨寫，也可以在模型的建立時根據所需要情況再進行描述。

5.符號說明

對模型使用的變量加以說明，以簡要的文字表述各字母的意義，其中各個主要符號的大小寫、英語和阿拉伯文字，要與正文中的符號一致。符號說明太多時，建議采用表格形式。有時可將其分布在模型的建立中。

6.模型建立

明確題意后，簡述基本思路。首先，簡要介紹利用的基本原理和基本思想，再進行構建基本模型，如數學表達式、構建方案、構造圖、算法流程圖等，要明確說明解題的思路，有邏輯性、合理性、可行性，敘述完整。結合實際問題，改進和完善基本模型，使其能有效地解決問題。

7.模型求解

采用蟻群算法、模擬退火、遺傳算法、元胞自動機、蒙特卡洛等一些智能算法時，要簡要寫明算法步驟，要闡明使用理由。計算時將一些必要的步驟列出來，不用將中間的計算過程一一列出。

8.模型檢驗

在模型求解后，采用一些方法進行檢驗。可以采用原始數據和查找的數據處理效果進行對比檢驗；也可以采用對結果的t檢驗、f檢驗等，若誤差較大時，可分析原理，進行改進或修正。

9.模型評價和推廣

這里需要強調的是，衡量一個模型的優劣在于它的應用效果，而不是采用了多么高深的數學方法。進一步說，如果對于某個實際問題，我們用初等數學的方法和高等數學的方法建立了兩個模型，它們的應用效果相差無幾，那么受到人們歡迎并采用的一定是前者而非后者。

模型推廣，可以采用將原題要求進行擴展，進一步討論模型的實用性和可行性；還可以提出問題的展望。

10.參考文獻

論文提及或是直接引用的文獻、引用數據的出處等，需要在這部分進行羅列。常用的文獻表述形式如下[1]：

（1）公開發表的雜志。

［序號］作者，文章名字［文獻類型］，刊物名，出版年，出版單位，卷號（期號），起止頁碼。

如：［5］李海芳，楊紅云，張英等.四氧化三鐵/單壁碳納米管磁性復合納米粒子分散固相微萃取——高效液相色譜法測定牛奶中的香精添加劑［J］.色譜，2014，(4)413～418.

（2）公開出版的書籍。

［序號］作者，書名［M］，版次，出版地，出版單位，出版年；起止頁碼.

如：［3］唐煥文，賀明峰.數學模型引論［Ｍ］.北京：高等教育出版社，2001.

（3）網頁資料類。

［序號］作者，資源標題，網址，訪問時間（年月日）。

如：能斯特方程，http://baike.baidu.com/view/404720.htm?fromtitle=能斯特方程式&fromid=1214555&type=syn，2014-11-28.

英文寫作也有這樣的要求，一般我們可以采用上述格式。

其中的參考文獻類型標識字母有：J—期刊、M—專著、N—報紙、C—論文集、D—學士論文、P—專利、R—報告、S—標準。

11.附錄

這部分不屬于論文的正文內容，是一些很重要的計算過程、算法程序，以及一些數據表格等。

古訓有云：讀萬卷書，行萬里路。一個優秀的學習者不僅要掌握理論上的知識，更應將所學的知識應用到實際中，不斷在實踐中提升自我。