第2章　空間和時(shí)間的卷曲

赫爾曼·閔可夫斯基

統(tǒng)一了空間和時(shí)間，

而愛(ài)因斯坦令它們發(fā)生卷曲

閔可夫斯基的絕對(duì)時(shí)空

我要擺在你們面前的空間和時(shí)間的觀點(diǎn)，已經(jīng)從實(shí)驗(yàn)物理學(xué)的土壤中萌芽了，那里積蓄著它們的力量。它們是基本的。從今往后，空間和時(shí)間本身都將注定在黑暗中消失，只有二者的一種結(jié)合能保持為一個(gè)獨(dú)立的實(shí)體。[98]

1908年9月，赫爾曼·閔可夫斯基用這樣的話向世界宣布了關(guān)于空間和時(shí)間本性的新發(fā)現(xiàn)。

愛(ài)因斯坦已經(jīng)證明，空間和時(shí)間是“相對(duì)的”。物體的長(zhǎng)和時(shí)間的流從不同參照系看來(lái)是不同的。如果我相對(duì)于你運(yùn)動(dòng)，那么我的時(shí)間就不同于你的，我的空間也不同于你的。我的時(shí)間是你的時(shí)間和空間的混合，我的空間是你的空間和時(shí)間的混合。

現(xiàn)在，閔可夫斯基在愛(ài)因斯坦工作的基礎(chǔ)上發(fā)現(xiàn)，宇宙是由一種絕對(duì)的而不是相對(duì)的四維“時(shí)空”結(jié)構(gòu)構(gòu)成的，這種四維結(jié)構(gòu)在所有參照系看來(lái)（當(dāng)然，我們得學(xué)會(huì)怎么去“看”）都是一樣的，它的存在獨(dú)立于參照系。

下面的故事（根據(jù)泰勒和惠勒1992年的書(shū)改編）說(shuō)明了閔可夫斯基發(fā)現(xiàn)的基本思想。

從前，在遙遠(yuǎn)的東方的大海上有個(gè)名叫蒙里迪那的島，島上居民有著奇特的風(fēng)俗和禁忌。每年6月，在一年中最長(zhǎng)的那個(gè)白天，所有蒙里迪那島的男人都要乘著一艘大帆船，到遙遠(yuǎn)的一個(gè)叫塞羅那的圣島去朝覲一只巨大的蟾蜍，蟾蜍將整夜地用恒星和星河、脈沖星和類星體的離奇故事來(lái)蠱惑他們。第二天，這些男人會(huì)帶著神的啟示回到蒙里迪那，在未來(lái)的一年里，這啟示將一直伴隨著他們。

每年12月，在一年中最長(zhǎng)的那個(gè)夜晚，蒙里迪那的女人向塞羅那遠(yuǎn)航。第二天，她們白天朝覲那只大蟾蜍，夜里回去，滿懷著恒星和星河、類星體和脈沖星的幻境。

不過(guò)，蒙里迪那的女人絕對(duì)不能向島上的任何一個(gè)男人講她們到塞羅那圣島的經(jīng)歷，也不能講蟾蜍告訴她們的任何故事。蒙里迪那的男人也得遵守這個(gè)禁令，從不向女人透露他們每年一度的航行。

1905年夏天，蒙里迪那島一個(gè)名叫阿爾伯特的激進(jìn)青年，他才不管什么文明的禁忌。他發(fā)現(xiàn)了兩張神圣的地圖，并將圖泄露給島上所有的男人和女人。有一張地圖是蒙里迪那的女祭司在女人的冬夜遠(yuǎn)航時(shí)用來(lái)指引帆船的，另一張是祭司在男人夏日航行時(shí)用的。圣圖暴露了，島上的男人是多么羞愧！女人也多么羞愧！但地圖擺在那兒，每個(gè)人都看到了——太令人吃驚了，塞羅那的位置在兩張圖上不一樣！女人是先向東航行210浪[1浪=201.76米]，然后向北100浪；而男人是先向東航行164.5浪，再向北164.5浪。我們知道，宗教習(xí)俗是嚴(yán)厲的，女人和男人都必須在同一個(gè)塞羅那圣島向同一只神圣的蟾蜍乞求每年的靈光。但事情怎么會(huì)這樣呢？

大多數(shù)蒙里迪那人為了遮羞，說(shuō)暴露的地圖是假的。但有一位名叫赫爾曼的聰明老人相信圖是真的。他為弄清地圖差錯(cuò)的秘密奮斗了3年。最后，在1908年的一個(gè)秋日，真相大白了：原來(lái)，蒙里迪那男人的航行用的是磁性羅盤，而女人靠的是恒星（圖2.1）。男人通過(guò)磁性確定北方和東方，女人則依靠由于地球自轉(zhuǎn)而在頭頂旋轉(zhuǎn)的恒星來(lái)確定這些方向，兩種定向方法偏離20°。當(dāng)男人向他們確定的北方航行時(shí)，在女人看來(lái)，他們實(shí)際航行在“北偏東20°”的方向上，即約80%的北和20%的東。在這個(gè)意義上，男人的北方是女人的北方和東方的混合；同樣，女人的北方也是男人的北方和東方的混合。

引導(dǎo)赫爾曼發(fā)現(xiàn)這一點(diǎn)的關(guān)鍵是畢達(dá)哥拉斯（Pythagoras）公式：取直角三角形的兩個(gè)腰，將一個(gè)腰的平方與另一個(gè)腰的平方加起來(lái)，取平方根，結(jié)果就是三角形斜邊的長(zhǎng)。

斜邊就是從蒙里迪那到塞羅那的直線路徑。在女人的地圖上，兩個(gè)腰沿真東和真北方向，照此，沿著這條直線路徑的絕對(duì)距離是。根據(jù)男人的地圖，腰在磁東和磁北方向，絕對(duì)距離為。向東和向北的距離是“相對(duì)”的，它依賴于地圖的參照系是磁方向的還是真方向的。但是，不論根據(jù)哪一組相對(duì)距離，我們都能計(jì)算出同一個(gè)絕對(duì)的直線距離。

蒙里迪那居民和他們的禁忌文化對(duì)這個(gè)絕妙的發(fā)現(xiàn)有什么反應(yīng)呢？歷史沒(méi)有記錄。

赫爾曼·閔可夫斯基的發(fā)現(xiàn)，類似于蒙里迪那的那位赫爾曼老人的發(fā)現(xiàn)：假設(shè)你相對(duì)于我運(yùn)動(dòng)（比如，在你超高速的賽車?yán)铮敲矗は翊疟笔钦姹焙驼鏂|的混合一樣，我的時(shí)間也是你的時(shí)間和你的空間的混合。

·像磁東是真東和真北的混合一樣，我的空間也是你的空間和你的時(shí)間的混合。

·正如磁北和磁東、真北和真東不過(guò)是為了在一個(gè)先存在的二維曲面，即地球表面上進(jìn)行測(cè)量的不同方式，我的空間和時(shí)間，以及你的空間和時(shí)間，也不過(guò)是為了在一個(gè)先存在的被閔可夫斯基稱為時(shí)空的四維“曲面”或“結(jié)構(gòu)”上進(jìn)行測(cè)量的不同方式。

·正如在地球表面存在一個(gè)從蒙里迪那到塞羅那的絕對(duì)直線距離——它可以根據(jù)畢達(dá)哥拉斯公式，用磁北和磁東方向的距離或用真北和真東方向的距離計(jì)算出來(lái)——在時(shí)空的任意兩個(gè)事件之間，也存在著一個(gè)絕對(duì)的直線間隔，它可以根據(jù)一個(gè)與畢達(dá)哥拉斯相類似的公式，用我的或你的參照系中測(cè)量的長(zhǎng)度和時(shí)間計(jì)算出來(lái)。

閔可夫斯基正是通過(guò)與畢達(dá)哥拉斯公式的類比（我稱它為閔可夫斯基公式），發(fā)現(xiàn)了他的絕對(duì)時(shí)空。

閔可夫斯基公式的細(xì)節(jié)對(duì)本書(shū)其余部分是不重要的，我們沒(méi)有必要掌握它（不過(guò)，我還是為好奇的讀者在卡片2.1中將它們寫(xiě)出來(lái)了）。惟一重要的是，時(shí)空的事件類似于空間的點(diǎn)，而且時(shí)空中任意兩個(gè)事件之間存在著一個(gè)絕對(duì)的間隔，完全類似于一張紙上任意兩點(diǎn)間的直線距離。間隔的絕對(duì)性（不論用誰(shuí)的參照系來(lái)計(jì)算，它的值都是一樣92的）說(shuō)明，時(shí)空有絕對(duì)的實(shí)在性，它是一個(gè)具有若干與運(yùn)動(dòng)無(wú)關(guān)的性質(zhì)的四維結(jié)構(gòu)。

在接下來(lái)的幾頁(yè)里我們將看到，引力是由時(shí)空的絕對(duì)的四維結(jié)構(gòu)的曲率（卷曲的結(jié)果）產(chǎn)生的，黑洞、蟲(chóng)洞、引力波和奇點(diǎn)都完全而且惟一地由這個(gè)結(jié)構(gòu)形成，也就是說(shuō)，它們都是時(shí)空卷曲的一個(gè)特殊類型。

時(shí)空的絕對(duì)結(jié)構(gòu)關(guān)聯(lián)著那么迷人的現(xiàn)象，而你和我卻不能在日常生活中經(jīng)歷，真令人灰心。問(wèn)題還是出在我們的低速技術(shù)（例如，比光慢得多的賽車）。因?yàn)楸舜说南鄬?duì)運(yùn)動(dòng)太慢，我們所經(jīng)歷的空間和時(shí)間是分離的兩家，我們從來(lái)沒(méi)有發(fā)現(xiàn)你和我測(cè)量的長(zhǎng)度和時(shí)間有什么不同（我們從來(lái)沒(méi)有發(fā)現(xiàn)空間和時(shí)間是相對(duì)的），也從來(lái)沒(méi)有發(fā)現(xiàn)我們相對(duì)的空間和時(shí)間統(tǒng)一形成了一個(gè)絕對(duì)的四維時(shí)空結(jié)構(gòu)。

你可能記得，閔可夫斯基就是在愛(ài)因斯坦讀書(shū)時(shí)叫他懶狗的那位數(shù)學(xué)教授。1902年，俄國(guó)出身的閔可夫斯基離開(kāi)了蘇黎世ETH，到德國(guó)哥廷根（它那時(shí)跟現(xiàn)在一樣有國(guó)際聲譽(yù)）去擔(dān)任更有吸引力的教授。在哥廷根，閔可夫斯基研究了愛(ài)因斯坦關(guān)于狹義相對(duì)論的論文，印象很深，這引導(dǎo)他發(fā)現(xiàn)了四維時(shí)空的絕對(duì)性質(zhì)。

愛(ài)因斯坦聽(tīng)說(shuō)閔可夫斯基的發(fā)現(xiàn)時(shí)，并不在意。閔可夫斯基只是用一種新的更數(shù)學(xué)化的語(yǔ)言重寫(xiě)了狹義相對(duì)論的定律，而對(duì)愛(ài)因斯坦來(lái)說(shuō)，數(shù)學(xué)掩蓋了定律背后的物理意義。因?yàn)殚h可夫斯基不斷宣揚(yáng)他的時(shí)空觀如何美妙，愛(ài)因斯坦開(kāi)始笑話哥廷根的數(shù)學(xué)家：他們用那么復(fù)雜的語(yǔ)言來(lái)描述相對(duì)論，物理學(xué)家簡(jiǎn)直弄不懂了。

事實(shí)上，笑話落到了愛(ài)因斯坦自己身上。在4年后的1912年，他將認(rèn)識(shí)到，為了在狹義相對(duì)論中納入引力，閔可夫斯基的絕對(duì)時(shí)空是根本性的基礎(chǔ)。遺憾的是，閔可夫斯基沒(méi)能活著看到這一點(diǎn)。1909年，他死于闌尾炎，那年他45歲。

在本章后面，我還會(huì)回來(lái)談閔可夫斯基的絕對(duì)時(shí)空。不過(guò)現(xiàn)在，我得先引出我的故事的另一條線索：牛頓的引力定律和愛(ài)因斯坦為了協(xié)調(diào)它與狹義相對(duì)論而邁出的笫一步，這是走在他借鑒閔可夫斯基成果之前的一步。

牛頓的引力定律，愛(ài)因斯坦協(xié)調(diào)它與相對(duì)論的第一步

牛頓將引力想象為一種作用在宇宙中每一對(duì)物體間的力，一種將物體相互拉近的力。物體的質(zhì)量越大、距離越近，這個(gè)力就越強(qiáng)。更精確地說(shuō)，這個(gè)力正比于物體質(zhì)量的乘積，反比于它們之間的距離的平方。

這個(gè)引力定律是理性的巨大勝利。它與牛頓的運(yùn)動(dòng)定律結(jié)合，解釋了行星繞太陽(yáng)的軌道，衛(wèi)星繞行星的軌道，海洋潮汐的漲落和巖石的崩落；讓牛頓和他17世紀(jì)的同胞們學(xué)會(huì)了如何去稱量太陽(yáng)和地球。[99]

在從牛頓到愛(ài)因斯坦之間的兩個(gè)世紀(jì)中，天文學(xué)家對(duì)天體軌道的測(cè)量有了多方面的進(jìn)步，牛頓的引力定律經(jīng)受了越來(lái)越嚴(yán)格的檢驗(yàn)。偶爾會(huì)出現(xiàn)一些新的天文測(cè)量不符合牛頓定律，但最終也發(fā)現(xiàn)這些觀測(cè)或?qū)λ鼈兊慕忉屖清e(cuò)誤的。牛頓定律一次又一次地戰(zhàn)勝了實(shí)驗(yàn)或理性的錯(cuò)誤。例如，當(dāng)天王星（1781年發(fā)現(xiàn)）的運(yùn)動(dòng)似乎違背了牛頓引力定律的預(yù)言時(shí)，人們猜想，很可能是因?yàn)橐活w尚未發(fā)現(xiàn)的行星的引力作用在天王星上，干擾了它的軌道。完全依據(jù)牛頓的引力和運(yùn)動(dòng)定律以及對(duì)天王星的觀測(cè)所進(jìn)行的計(jì)算，預(yù)言了新行星應(yīng)該在天空的某個(gè)地方。1846年，當(dāng)勒維耶（U.J.J.Leverrier）將他的望遠(yuǎn)鏡瞄準(zhǔn)那個(gè)位置時(shí)，預(yù)言的行星果然在那兒出現(xiàn)了，盡管對(duì)肉眼而言太模糊，用望遠(yuǎn)鏡看卻很光亮。這顆捍衛(wèi)牛頓定律的行星被命名為“海王星”。

20世紀(jì)初，牛頓的引力定律還有兩個(gè)小小的卻令人困惑的矛盾。一個(gè)是水星軌道的古怪行為，這最終預(yù)示了牛頓定律的失敗；另一個(gè)是月球軌道的異常，后來(lái)發(fā)現(xiàn)這是天文學(xué)家對(duì)測(cè)量的解釋錯(cuò)了。[100]跟精確測(cè)量的通常情形一樣，很難在這兩個(gè)矛盾中判別應(yīng)該憂慮哪一個(gè)。

愛(ài)因斯坦正確地猜想，水星的古怪行為（它的近日點(diǎn)的反常移動(dòng)，見(jiàn)卡片2.2）是真的，而月亮的異常不是真的。水星的古怪“聞起來(lái)”是真的，而月亮不是。然而，對(duì)愛(ài)因斯坦來(lái)說(shuō)，實(shí)驗(yàn)與引力定律的這個(gè)可疑的矛盾并沒(méi)有多大意思，也不太重要。他相信，更重要也更有意思的是，牛頓定律將違反他新建立的相對(duì)性原理（即那個(gè)要求一切物理學(xué)定律在每個(gè)慣性參照系中必須相同的“形而上原理”）。由于愛(ài)因斯坦堅(jiān)信他的相對(duì)性原理，所以牛頓定律如果違反了它，就意味著有問(wèn)題。[101]

愛(ài)因斯坦的理由很簡(jiǎn)單：照牛頓的觀點(diǎn)，引力依賴于兩個(gè)吸引物體（如太陽(yáng)和水星）之間的距離，但根據(jù)相對(duì)論，這個(gè)距離在不同參照系中是不同的。例如，愛(ài)因斯坦的相對(duì)論定律預(yù)言，太陽(yáng)與水星間的距離依賴于我們是在水星表面測(cè)量還是在太陽(yáng)表面測(cè)量，兩者會(huì)產(chǎn)生大約十億分之一的差別。如果水星和太陽(yáng)的這兩個(gè)參照系在物理學(xué)定律看來(lái)都一樣好，那么應(yīng)該用哪個(gè)參照系來(lái)測(cè)量出現(xiàn)在牛頓引力定律中的距離呢？不論選擇水星的還是太陽(yáng)的參照系，都會(huì)違反相對(duì)性原理。這種進(jìn)退兩難的境地，使愛(ài)因斯坦確信，牛頓的引力定律一定有問(wèn)題。

愛(ài)因斯坦的膽識(shí)令人驚訝。他已經(jīng)在幾乎沒(méi)有實(shí)驗(yàn)證據(jù)的情況下拋棄了牛頓的絕對(duì)空間和絕對(duì)時(shí)間，現(xiàn)在他又要在更缺少實(shí)驗(yàn)證據(jù)的情況下拋棄牛頓獲得過(guò)巨大成功的引力定律了。不過(guò)，激勵(lì)他的并不是實(shí)驗(yàn)，而是他對(duì)物理學(xué)定律應(yīng)該怎樣的深刻的直覺(jué)的洞察。

1907年，在一個(gè)寫(xiě)作計(jì)劃的激發(fā)和引導(dǎo)下，愛(ài)因斯坦開(kāi)始尋找新的引力定律。盡管這時(shí)他在專利局還只是一個(gè)“二級(jí)技術(shù)員”（剛從三級(jí)提升的），但全世界的大物理學(xué)家都很尊重他，所以有人請(qǐng)他為年刊《放射學(xué)與電子學(xué)年鑒》寫(xiě)一篇關(guān)于他的相對(duì)論物理學(xué)定律及其結(jié)果的綜述。[102]愛(ài)因斯坦在寫(xiě)作時(shí)發(fā)現(xiàn)了一條對(duì)科掌研究很有價(jià)值的思路：當(dāng)我們要把一個(gè)主題以一種自洽的、一致的、適于教學(xué)的方式向公眾展開(kāi)時(shí)，我們被迫以新的方式來(lái)思考這個(gè)題目，被迫去考察它的所有缺陷和問(wèn)題，并找尋彌補(bǔ)的辦法。

在他的主題中，引力是最大的缺陷。狹義相對(duì)論和它不受引力作用的慣性系完全忽略了引力的作用。所以，愛(ài)因斯坦在寫(xiě)作中，一直在尋找將引力納入他的相對(duì)論定律的途徑。像大多數(shù)被問(wèn)題困惑的人一樣，即使在沒(méi)有直接考慮這個(gè)問(wèn)題時(shí)，他的內(nèi)心也還在想著它。于是，在1907年11月的某一天，用愛(ài)因斯坦自己的話說(shuō)，“我正坐在伯爾尼專利局的桌旁時(shí)，突然出現(xiàn)一個(gè)想法：‘如果一個(gè)人自由下落，他將感覺(jué)不到自己的重量。’”

你我今天也能有這種想法，但引不出什么結(jié)果。愛(ài)因斯坦卻不同，他會(huì)追到思想的盡頭，向它們索求每一點(diǎn)靈感。落體的想法是關(guān)鍵的，它指向了引力的革命性的新觀點(diǎn)。他后來(lái)說(shuō)它是“我一生中最快樂(lè)的思想”。

這個(gè)思想的結(jié)論滾滾而來(lái)，成為愛(ài)因斯坦那篇綜述中的不朽篇章。假如你自由落下（如從懸崖上跳下），你不僅感覺(jué)不到自己的重量，而且還會(huì)在所有方面都感到，似乎引力完全從你的鄰近消失了。例如，你在下落時(shí)從手上放落一些石塊，你和石塊將肩并肩地下落。如果你看著石塊而忽略周圍的其他事物，你不能判斷自己和石塊是在向著地面落下，還是遠(yuǎn)離引力物而在空中自由飄浮。事實(shí)上，在你的鄰近，引力是沒(méi)有作用的，不可能觀測(cè)到。愛(ài)因斯坦認(rèn)識(shí)到，在下落時(shí)所攜帶的小參照系（實(shí)驗(yàn)室）里，物理定律與在無(wú)引力宇宙中自由運(yùn)動(dòng)時(shí)必須是相同的。換句話說(shuō)，你自由下落的小參照系“等效于”無(wú)引力宇宙中的慣性參照系，你所經(jīng)歷的物理學(xué)定律與在無(wú)引力慣性系中的是一樣的，它們也就是狹義相對(duì)論的定律。（以后我們將知道，為什么參照系必須是小的，“小”的意思是，與地球的大小相比，它很小——或者，更一般地說(shuō)，與引力在強(qiáng)度和方向上發(fā)生改變的范圍相比，它很小。）

我們來(lái)看一個(gè)無(wú)引力慣性系與自由下落的小參照系等效的例子，考慮在無(wú)引力宇宙中自由運(yùn)動(dòng)物體（假定它是一顆炮彈）行為的狹義相對(duì)論定律。從那個(gè)理想化宇宙中的任何慣性系看，炮彈一定沿直線以均勻速度運(yùn)動(dòng)。現(xiàn)在將它與在我們真實(shí)的引力宇宙中的運(yùn)動(dòng)進(jìn)行比較：如果炮彈從地球的草地上的大炮中發(fā)射出來(lái)，從坐在草地上的一只狗來(lái)看，它將沿弧線向上，飛到空中，然后落回地球（圖2.2）。在狗的參照系中，它沿一條拋物線（黑實(shí)線）運(yùn)動(dòng)。愛(ài)因斯坦請(qǐng)你在一個(gè)自由下落的小參照系中觀察同一顆炮彈，如果草地有一個(gè)懸崖的邊緣，這是很容易做到的。你可以在大炮發(fā)射時(shí)從懸崖跳下去，一邊下落一邊觀察。

為了幫你描繪你下落時(shí)所看到的景象，想象你在面前舉著一扇有12格玻璃的窗戶，你透過(guò)玻璃觀察炮彈（圖2.2中間）。在下落中你會(huì)看到像圖2.2畫(huà)的順時(shí)針圖像序列。在看這個(gè)序列時(shí)，要忽略狗、大炮、樹(shù)木和懸崖，只注意你的窗戶格子和炮彈。在你看來(lái)，炮彈相對(duì)于你的窗戶格子以不變的速度沿點(diǎn)畫(huà)的直線運(yùn)動(dòng)。

這樣，在狗的參照系里，炮彈服從牛頓定律，沿拋物線運(yùn)動(dòng)。在你自由下落的小參照系里，炮彈服從無(wú)引力的狹義相對(duì)論定律，沿直線勻速運(yùn)動(dòng)。而在這個(gè)例子中真實(shí)的事情在一般情況下也應(yīng)該是真實(shí)的，從這個(gè)思想邁出一大步，愛(ài)因斯坦認(rèn)識(shí)到：在我們真實(shí)的引力宇宙的任何地方的任何自由下落的小參照系中，物理學(xué)定律必須與它們?cè)诶硐牖臒o(wú)引力宇宙的慣性參照系中相同。愛(ài)因斯坦稱它為等效原理，因?yàn)樗鼣嘌裕谝Υ嬖跁r(shí)自由下落的小參照系與沒(méi)有引力的慣性系是等效的。

愛(ài)因斯坦發(fā)現(xiàn)，這一斷言有一個(gè)極其重要的結(jié)論：它意味著，只要我們把真實(shí)的引力宇宙中的每一個(gè)自由下落的小參照系（例如，你從懸崖上落下時(shí)帶著的小實(shí)驗(yàn)室）都稱做“慣性參照系”，那么，狹義相對(duì)論在理想的無(wú)引力宇宙中的慣性系的一切結(jié)果，在真實(shí)的宇宙中自然也將是正確的。最重要的是，“相對(duì)性原理必須正確：我們真實(shí)的引力宇宙中的慣性的（自由下落的）小參照系必須“構(gòu)造成為等效的”，在物理學(xué)定律看來(lái)，沒(méi)有哪個(gè)參照系會(huì)比其他任何一個(gè)更優(yōu)越，或者，我們可以更準(zhǔn)確地說(shuō)（見(jiàn)第1章）：

以在一個(gè)慣性的（自由下落的）小參照系中所進(jìn)行的測(cè)量來(lái)建立任何物理學(xué)定律，那么當(dāng)以任何其他慣性的（自由下落的）小參照系中所進(jìn)行的測(cè)量來(lái)重建這些定律時(shí)，它們必須具有與在原來(lái)的參照系中完全相同的數(shù)學(xué)形式和邏輯形式。而且，不論（自由下落的）慣性系是在無(wú)引力的星際空間，或者是從地球的懸崖上落下，或者處在我們的銀河中心，或者落下來(lái)穿過(guò)黑洞的視界，它都是正確的。

隨著相對(duì)性原理向引力的擴(kuò)張，愛(ài)因斯坦向他的新引力定律邁出了第一步——從狹義相對(duì)論到廣義相對(duì)論的第一步。

親愛(ài)的讀者，請(qǐng)耐心些，這可能是全書(shū)最難的一章。在下一章我們開(kāi)始黑洞歷險(xiǎn)時(shí)，我的故事就不會(huì)這么專業(yè)了。

在建立了等效原理以后的幾天里，愛(ài)因斯坦用它得到了一個(gè)令人驚愕的預(yù)言，被稱為引力的時(shí)間膨脹：如果誰(shuí)相對(duì)于引力物體靜止，那么，離物體越近，他的時(shí)間流越慢。例如，在地球的一間屋子里，時(shí)間在地板附近比在天花板附近流得更慢。不過(guò)，地球上的快慢差異確實(shí)太小了（只有3/1016，即億億分之三），探測(cè)起來(lái)是極端困難的。相反（如我們將在下一章看到的），黑洞附近的引力時(shí)間膨脹是巨大的；如果黑洞有10個(gè)太陽(yáng)重，那么在離黑洞視界1厘米的高度上的時(shí)間流將比遠(yuǎn)離視界的時(shí)間流慢600萬(wàn)倍，而剛好在視界面上的時(shí)間流則完全停止了。（想象一下，有沒(méi)有可能作時(shí)間旅行：假如你正好落到一個(gè)黑洞的視界上，在那兒經(jīng)歷一年的視界附近的時(shí)間流，然后返回地球，你將發(fā)現(xiàn)，在你那一年的時(shí)間里，地球已經(jīng)過(guò)干百萬(wàn)年了！）

愛(ài)因斯坦發(fā)現(xiàn)引力時(shí)間膨脹的論證多少有些復(fù)雜，但后來(lái)他找到了一種簡(jiǎn)單而優(yōu)美的證明，漂亮地體現(xiàn)了他的物理學(xué)思想方法。這一證明在卡片2.4，[103]它所依賴的光的多普勒頻移的解釋在卡片2.3。

開(kāi)始寫(xiě)1907年的綜述時(shí)，愛(ài)因斯坦希望它描述無(wú)引力宇宙的相對(duì)論，但在寫(xiě)作過(guò)程中，他發(fā)現(xiàn)了三條線索，可能會(huì)使引力與他的相對(duì)論相吻合——等效原理、引力時(shí)間膨脹和他的相對(duì)性原理向引力的擴(kuò)張——所以，他把這些線索也寫(xiě)進(jìn)去了。大概在12月初，他把文章寄給了《放射學(xué)與電子學(xué)年鑒》編輯，然后，全身心地去迎接為引力找一個(gè)完全的相對(duì)論描述的挑戰(zhàn)。[104]

12月24日，他給朋友寫(xiě)信說(shuō)，“我現(xiàn)在正忙著考慮與引力定律相聯(lián)系的相對(duì)論……我希望弄清至今還沒(méi)能解釋的水星近日點(diǎn)移動(dòng)的長(zhǎng)期變化……但似乎還沒(méi)得到什么結(jié)果。”到1908年初，還是沒(méi)有任何實(shí)際的進(jìn)展，愛(ài)因斯坦失望了，放棄了，而將注意力轉(zhuǎn)到了原子、分子和輻射的領(lǐng)域（“小東西的天地”），那里的未解之謎在當(dāng)時(shí)看來(lái)更容易，也更有趣。[105]

在“小東西的天地”里，愛(ài)因斯坦度過(guò)了1908年（那年，閔可夫斯基統(tǒng)一了空間和時(shí)間，而愛(ài)因斯坦卻一笑了之），在1909年至1911年期間，他離開(kāi)了伯爾尼的專利局，在蘇黎世大學(xué)當(dāng)過(guò)副教授，然后到布拉格——那是奧（地利）—匈（牙利）帝國(guó)文化生活的中心——當(dāng)教授。

愛(ài)因斯坦的教授做得不容易。他不得不上一些常規(guī)的與他研究不相干的課，這令他惱火。他既沒(méi)有把講義備好的勁頭，也沒(méi)有讓課程生輝的熱情。不過(guò)，在講他心愛(ài)的題目時(shí)，他卻是精彩絕倫的。[106]這個(gè)時(shí)候，愛(ài)因斯坦在歐洲學(xué)術(shù)界已經(jīng)完全成熟起來(lái)了，但他也在付出代價(jià)。盡管代價(jià)不小，他在微觀領(lǐng)域的研究卻在令人矚目地推進(jìn)著，產(chǎn)生了后來(lái)為他贏得諾貝爾獎(jiǎng)獎(jiǎng)金的大發(fā)現(xiàn)（見(jiàn)卡片4.1）。

后來(lái)，1911年中期，愛(ài)因斯坦對(duì)微觀的興趣消退了，他又將精力轉(zhuǎn)向引力的戰(zhàn)場(chǎng)，幾乎把全部時(shí)間都用上了，到1915年11月，他終于成功地建立了廣義相對(duì)論。

愛(ài)因斯坦在引力問(wèn)題上斗爭(zhēng)的第一個(gè)焦點(diǎn)是潮汐引力。

潮汐引力和時(shí)空曲率

想象你是一個(gè)正在遙遠(yuǎn)太空的宇航員，自由地向著地球赤道落下。盡管你在下落中感覺(jué)不出自己的重量，事實(shí)上你還是可以感覺(jué)某些小小的剩余的引力效應(yīng)。這些剩余效應(yīng)叫“潮汐引力”。我們先以地球上的某個(gè)觀察者的觀點(diǎn)，然后以你自己的觀點(diǎn)來(lái)考慮你所感覺(jué)的引力。

從地球上看[圖2.3（a）]，作用在你身上不同部位的引力有微小差別。因?yàn)槟愕哪_離地球更近，引力對(duì)它們的作用比對(duì)頭的作用更強(qiáng)，所以會(huì)從頭到腳將你拉長(zhǎng)。又因?yàn)橐ψ饔每偸侵赶虻匦模@個(gè)方向在你的右側(cè)偏左，在你的左側(cè)偏右，于是，作用在你右側(cè)的引力有點(diǎn)兒向左，而左側(cè)的向右，也就是說(shuō)，引力把你的兩側(cè)擠向中央。

從你的觀點(diǎn)看[圖2.3（b）]，巨大的向下的引力沒(méi)有了，消失了。你覺(jué)得自己失重了。然而，消失的那部分引力只是拉你向下的部分，從頭到腳的拉伸和兩肋的擠壓依然存在著，原因是作用在你身體較外的部分與作用在你身體中心的引力之間的差異，是你自由下落也擺脫不掉的。

你在下落過(guò)程中所感覺(jué)的垂向拉伸和側(cè)向擠壓，叫潮汐引力或引潮力，因?yàn)椋?dāng)引力源是月球而讓地球代替你來(lái)感覺(jué)時(shí)，它們會(huì)產(chǎn)生海洋潮汐。見(jiàn)卡片2.5。

愛(ài)因斯坦在演繹他的等效原理時(shí)，沒(méi)有考慮潮汐引力，他假定它們不存在。（回想一下他論證的基本內(nèi)容：當(dāng)你自由下落時(shí)，你“不僅感覺(jué)不到自己的重量”，而且“你還會(huì)在所有方面都感到，似乎引力完全從你的鄰近消失了”。）愛(ài)因斯坦忽略潮汐引力之所以是正當(dāng)?shù)模且驗(yàn)樗胂竽悖ê湍愕膮⒄障担┖苄　＠纾偃缒阆裎浵伳敲葱』蛘吒。敲茨闵眢w的各部分會(huì)彼此靠得很近，從而作用在身體外部和中心的引力方向幾乎是一樣的，引起潮汐拉伸和擠壓的引力差異會(huì)極端地微弱。反過(guò)來(lái)講，如果你是5 000千米高的巨人，那么地球作用在你身體外部和中心的引力在方向和強(qiáng)度上都將產(chǎn)生巨大的差異，當(dāng)你下落時(shí)，你會(huì)經(jīng)受劇烈的潮汐拉伸和擠壓。

根據(jù)這樣的推理，愛(ài)因斯坦相信，在自由下落的足夠小的參照系（與引力作用變化的范圍相比很小的參照系）中，我們不可能探測(cè)到任何潮汐引力的影響，也就是說(shuō)，在我們的引力宇宙中，自由下落的小參照系與無(wú)引力宇宙中的慣性系是等效的，但對(duì)大參照系就不是這樣了。而大參照系所感覺(jué)的潮汐力對(duì)1911年的愛(ài)因斯坦來(lái)說(shuō)，似乎是最終認(rèn)識(shí)引力本質(zhì)的一個(gè)關(guān)鍵。

牛頓引力定律怎樣解釋潮汐力，現(xiàn)在清楚了：它們是作用在不同地方的引力在強(qiáng)度和方向上產(chǎn)生差異的結(jié)果。但牛頓的定律卻因?yàn)樗囊σ蕾囉诰嚯x而必將是錯(cuò)的，它違反了相對(duì)性原理（“這個(gè)距離應(yīng)在誰(shuí)的參照系中測(cè)量呢？”）。愛(ài)因斯坦的挑戰(zhàn)是建立一個(gè)全新的引力定律，它可以同時(shí)滿足相對(duì)性原理并以一種簡(jiǎn)單而令人信服的新方法來(lái)解釋潮汐引力。

從1911年中期到1912年中期，愛(ài)因斯坦試圖通過(guò)假設(shè)時(shí)間卷曲而空間平直來(lái)解釋潮汐引力。這個(gè)聽(tīng)起來(lái)很極端的想法是引力時(shí)間膨脹的自然產(chǎn)物；天花板附近與地板附近時(shí)間流的不同速率可以想象為時(shí)間的卷曲。愛(ài)因斯坦猜測(cè)，也許更復(fù)雜的時(shí)間卷曲模式能產(chǎn)生從潮汐引力到行星橢圓軌道甚至水星近日點(diǎn)反常移動(dòng)的所有已知的引力效應(yīng)。

在追尋這個(gè)有趣的想法12個(gè)月后，愛(ài)因斯坦把它放棄了，當(dāng)然他有很好的理由。時(shí)間是相對(duì)的，你的時(shí)間是我的時(shí)間和空間的混合（假如我們彼此相對(duì)運(yùn)動(dòng)），于是，如果你的時(shí)間是卷曲的而你的空間是平直的，那么我的時(shí)間和空間將都是卷曲的，其他任何人的也一樣。你而且只有你才有平直的空間，所以物理學(xué)定律一定會(huì)將你的這個(gè)與其他參照系根本不同的參照系驅(qū)逐出去——因?yàn)樗`反了相對(duì)性原理。

不過(guò)，憑愛(ài)因斯坦的感覺(jué)，時(shí)間卷曲“味道不錯(cuò)”，那么，也許——他想——每個(gè)人的時(shí)間都是卷曲的，相應(yīng)的不可避免的是，每個(gè)人的空間也是卷曲的。也許這樣聯(lián)合的卷曲可以解釋潮汐引力。

時(shí)間和空間兩個(gè)都卷曲的想法是很嚇人的。因?yàn)橛钪嬖试S有無(wú)窮多個(gè)不同的參照系，每一個(gè)都以不同速度運(yùn)動(dòng)，那么將不得不有無(wú)窮多個(gè)卷曲的時(shí)間和無(wú)窮多個(gè)卷曲的空間！幸運(yùn)的是，愛(ài)因斯坦認(rèn)識(shí)到，閔可夫斯基已經(jīng)為簡(jiǎn)化這個(gè)復(fù)雜的狀態(tài)提供了有力的工具：“從今往后，空間和時(shí)間本身都將注定在黑暗中消失，只有二者的一種結(jié)合能保持為一個(gè)獨(dú)立的實(shí)體。”在我們的宇宙中，只有一個(gè)惟一的絕對(duì)的四維時(shí)空，而每個(gè)人的時(shí)間和空間的卷曲，必然表現(xiàn)為閔可夫斯基單獨(dú)的惟一的絕對(duì)時(shí)空的一種卷曲。

這是愛(ài)因斯坦在1912年夏天被迫得到的結(jié)論（不過(guò)他更喜歡說(shuō)“曲率”，不說(shuō)“卷曲”）。4年來(lái)，他一直在嘲笑閔可夫斯基的絕對(duì)時(shí)空，最后，他終于被迫接受了它，并讓它發(fā)生卷曲。

時(shí)空會(huì)彎曲（或卷曲），是什么意思？為了講清楚，我們先問(wèn)，二維面的彎曲（或卷曲）意味著什么？圖2.4畫(huà)了一個(gè)平面和一個(gè)曲面。在平面（一張普通的紙）上畫(huà)了兩條絕對(duì)直的線，兩條線并列延伸，是平行的。古希臘數(shù)學(xué)家歐幾里得（他創(chuàng)立了現(xiàn)在稱為“歐幾里得幾何”的學(xué)科）曾將兩條初始平行的直線永不相交的要求作為他的一個(gè)幾何假設(shè)。對(duì)平行直線所在的面來(lái)說(shuō)，永不相交是確認(rèn)面的平直性的鐵證。如果空間是平直的，那么初始平行的直線永遠(yuǎn)不會(huì)相交。如果我們找到一對(duì)原先平行的直線確實(shí)相交了，那么我們將知道，空間不是平直的。

圖2.4中的曲面是地球的球面。我們?cè)谇蛎嫔险业蕉蚬隙酄柺锥蓟啵湓诔嗟郎稀幕喑霭l(fā)，畫(huà)一條指向北方的完全直線，直線將在同一經(jīng)度上向北延伸，穿過(guò)北極。

在什么意義上說(shuō)它是一條直線呢？有兩種意義。一種意義對(duì)航空公司來(lái)說(shuō)是極其重要的：直線是一個(gè)大圓，而地球球面上的大圓是兩點(diǎn)間的最短路線，也就是航空公司愿意飛行的路線。任意另畫(huà)一條聯(lián)結(jié)基多與北極的路線，一定會(huì)比大圓長(zhǎng)。

第二種平直性的意義我們?cè)谙旅嬗懻摃r(shí)空時(shí)還會(huì)用到：在球面上沿大圓路徑足夠小的區(qū)域內(nèi)，球面的曲率幾乎測(cè)不出來(lái)。在這個(gè)區(qū)域，大圓看來(lái)是直的，就像我們通常在平坦的紙上所說(shuō)的直線那樣——這也是專業(yè)測(cè)量員在用經(jīng)緯儀或激光束確定地產(chǎn)邊界時(shí)所用的直線意義。在測(cè)量員的這個(gè)意義上，在沿大圓路徑的每個(gè)區(qū)域內(nèi)，大圓都是直線。

在彎曲或卷曲面上的任何路徑，如果在這兩種意義（航空上“最短路徑”的意義和測(cè)量員的意義）上是直線，數(shù)學(xué)家就稱它們是測(cè)地線。

現(xiàn)在，讓我們?cè)谇蛎嫔蠌幕喑霭l(fā)向東移動(dòng)幾厘米，畫(huà)一條在赤道上完全與通過(guò)基多的那條線平行的新直線（大圓，測(cè)地線）。這條直線跟第一條一樣，將經(jīng)過(guò)球的北極。令這兩條原先平行的直線后來(lái)在北極點(diǎn)相交的，正是球面的曲率。

明白了二維面上的曲率效應(yīng)，我們就可以轉(zhuǎn)向四維時(shí)空，去看看那里的曲率。

在理想化的無(wú)引力宇宙中，既沒(méi)有空間的卷曲，也沒(méi)有時(shí)間的卷曲，時(shí)空沒(méi)有曲率。根據(jù)愛(ài)因斯坦的狹義相對(duì)論，在這個(gè)宇宙中自由下落的粒子必然沿絕對(duì)的直線運(yùn)動(dòng)，在任何一個(gè)慣性參照系看來(lái)，它們都必然保持相同的方向和相同的速度。這是狹義相對(duì)論的基本原則。

現(xiàn)在，愛(ài)因斯坦的等效原理保證，引力不會(huì)改變自由運(yùn)動(dòng)的這一基本原則：當(dāng)在我們真實(shí)的引力宇宙中自由運(yùn)動(dòng)的粒子進(jìn)入并穿過(guò)一個(gè)小慣性（自由下落的）參照系時(shí)，它必然沿直線穿過(guò)參照系。然而，穿過(guò)小參照系的直線運(yùn)動(dòng)，顯然類似于測(cè)量員在地球表面的一個(gè)小區(qū)域內(nèi)所觀測(cè)的直線行為；正如這種在地球小區(qū)域內(nèi)的直線意味著直線實(shí)際上是地球表面的測(cè)地線一樣，粒子在時(shí)空小區(qū)域內(nèi)的直線運(yùn)動(dòng)也意味著粒子沿時(shí)空中的測(cè)地線運(yùn)動(dòng)。而這一個(gè)粒子經(jīng)歷的事情，對(duì)所有粒子也一定是正確的：每個(gè)自由運(yùn)動(dòng)的粒子（每個(gè)不受引力之外的任何力作用的粒子），沿時(shí)空測(cè)地線運(yùn)動(dòng)。

認(rèn)識(shí)到這一點(diǎn)后不久，對(duì)愛(ài)因斯坦來(lái)說(shuō)，潮汐引力是時(shí)空曲率的一個(gè)表現(xiàn)，就成為顯然的事實(shí)了。

為說(shuō)明這是為什么，我們來(lái)看下面的（我的，不是愛(ài)因斯坦的）思想實(shí)驗(yàn)。你一只手拿一個(gè)小球站在北極的冰層上（圖2.5），同時(shí)將兩球拋向空中，使它們沿精確的平行軌道上升，然后觀察它們落回地球。現(xiàn)在，在我們這個(gè)思想實(shí)驗(yàn)中，你可以做你愿意做的任何事情，只要它不違反物理學(xué)定律。你不但想觀察引力作用下的球在地球表面以上的軌跡，還想觀察它在地表下的軌跡。為此，你可以假想球是特殊材料制成的，可以毫不減速地穿過(guò)地球的土壤和巖石（小黑洞可能具有這種性質(zhì)），你還可以假想，你和一個(gè)站在地球另一端觀察的朋友，可以通過(guò)“X射線圖像”跟蹤球在地球內(nèi)部的運(yùn)動(dòng)。

球落入地球后，會(huì)因地球的潮汐引力而擠到一起，就像下落的宇航員兩肋被擠壓一樣（圖2.3）。潮汐引力的強(qiáng)度正好使兩球幾乎精確地落向地心，并在那兒相撞。

現(xiàn)在我們來(lái)總結(jié)一下這個(gè)思想實(shí)驗(yàn)：每個(gè)球在時(shí)空中沿完全的直線（測(cè)地線）運(yùn)動(dòng)，兩條直線初始是平行的，后來(lái)相交了（球發(fā)生碰撞）。原先平行的直線相交了，這是時(shí)空曲率的標(biāo)志。從愛(ài)因斯坦的觀點(diǎn)看，時(shí)空曲率導(dǎo)致平行線相交，即導(dǎo)致兩球相撞，就像圖2.4中地球的曲率導(dǎo)致直線相交一樣。從牛頓的觀點(diǎn)看，潮汐引力導(dǎo)致兩球相撞。

這樣，因?yàn)樵诳臻g和時(shí)間本性上存在迥然不同的觀點(diǎn)，愛(ài)因斯坦和牛頓對(duì)導(dǎo)致平行線相交的原因有完全不同的說(shuō)法，愛(ài)因斯坦說(shuō)它是時(shí)空曲率，牛頓說(shuō)它是潮汐引力。但只有一個(gè)原因在起作用，因此，時(shí)空曲率和潮汐引力必然完全是以不同語(yǔ)言表達(dá)的同一件事情。

我們?nèi)祟惖念^腦很難想象高于二維的曲面的圖像，于是，幾乎不可能形象地表現(xiàn)四維時(shí)空的曲率。不過(guò)，從不同的二維時(shí)空碎片，我們還是能看出一些事情。圖2.6用兩個(gè)時(shí)空碎片來(lái)解釋時(shí)空曲率如何產(chǎn)生引起海洋潮汐的潮汐拉伸和擠壓。

圖2.6（a）描繪的是地球附近的時(shí)空碎片，包括時(shí)間和朝月球方向的空間。月球使這塊時(shí)空彎曲，曲率以圖中所示的方式將兩條測(cè)地線拉開(kāi)。相應(yīng)地，我們看到兩個(gè)沿測(cè)地線旅行的自由運(yùn)動(dòng)粒子被拉開(kāi)了，我們將這個(gè)拉開(kāi)的作用解釋為潮汐引力。拉伸作用的潮汐力（時(shí)空曲率）不僅影響自由運(yùn)動(dòng)粒子，也影響地球海洋，它像我們?cè)诳ㄆ?.5中所看到的那樣，在地球離月球最近和最遠(yuǎn)的一端掀起浪潮。浪潮也試圖沿著彎曲時(shí)空的測(cè)地線運(yùn)動(dòng)[圖2.6（a）]，從而也試圖飛起來(lái)分開(kāi)，但地球的引力（地球產(chǎn)生的時(shí)空曲率，沒(méi)畫(huà)在圖中）不讓它們飛起來(lái)，所以海洋只能在地球上洶涌。

圖2.6（b）是地球附近的另一塊時(shí)空碎片，包括時(shí)間和沿垂直于月球方向的空間。月球使這塊時(shí)空發(fā)生彎曲，曲率像圖中那樣將測(cè)地線擠壓在一起。相應(yīng)地，我們看到兩個(gè)沿著垂直于月球方向的測(cè)地線旅行的自由運(yùn)動(dòng)粒子被曲率（月球的潮汐引力）擠在一起，同樣，我們也看到地球海洋在垂直于月球的方向上被擠扁了。這種潮汐的擠壓作用導(dǎo)致我們?cè)诳ㄆ?.5中所看到的海洋的橫向壓縮。

1912年夏，愛(ài)因斯坦發(fā)現(xiàn)潮汐引力與時(shí)空曲率是同一樣?xùn)|西時(shí)，是布拉格的教授。這是一個(gè)驚人的發(fā)現(xiàn)——盡管，他還不是那么肯定，理解也不像我描述的那么完全，也沒(méi)有為引力提出一個(gè)完全的解釋。它告訴愛(ài)因斯坦，時(shí)空曲率決定了自由粒子的運(yùn)動(dòng)，掀起了海洋的潮汐，但沒(méi)有告訴他曲率是怎么產(chǎn)生的。愛(ài)因斯坦相信，太陽(yáng)、地球和行星內(nèi)部的物質(zhì)以某種方式?jīng)Q定著曲率，但那是什么方式呢？物質(zhì)如何使時(shí)空卷曲，卷曲的具體情況又是怎樣的呢？尋找卷曲的定律，成了愛(ài)因斯坦最關(guān)心的事情。

在“發(fā)現(xiàn)”時(shí)空曲率幾個(gè)星期后，愛(ài)因斯坦離開(kāi)布拉格回到蘇黎世，到他的母校ETH當(dāng)教授。1912年8月，愛(ài)因斯坦剛到蘇黎世就去請(qǐng)教老同學(xué)格羅斯曼（Marcel Grossmann），現(xiàn)在是那兒的數(shù)學(xué)教授。愛(ài)因斯坦向他解釋了潮汐引力是時(shí)空曲率的思想，然后問(wèn)他，有沒(méi)有什么數(shù)學(xué)家已經(jīng)建立的數(shù)學(xué)方程能幫他發(fā)現(xiàn)卷曲的定律，也就是描述物質(zhì)如何令時(shí)空彎曲的定律。格羅斯曼沒(méi)把握，他的專業(yè)在幾何的其他方面。不過(guò)，去圖書(shū)館瀏覽后，他回來(lái)說(shuō)，有的，確實(shí)有需要的方程。這些方程主要是德國(guó)數(shù)學(xué)家黎曼（Bernhard Riemann）在19世紀(jì)60年代、意大利的里奇（Gregorio Ricci）在80年代以及里奇的學(xué)生勒維—契維塔（Tullio Levi-Civita）在19世紀(jì)90年代和20世紀(jì)初建立起來(lái)的，叫“絕對(duì)微分計(jì)算”（或者，用1915～1960年間物理學(xué)家的語(yǔ)言說(shuō)，“張量分析”）。不過(guò)，格羅斯曼告訴愛(ài)因斯坦，微分幾何太亂了，物理學(xué)家不應(yīng)該卷進(jìn)來(lái)。還有別的可以用來(lái)揭示卷曲定律的幾何嗎？沒(méi)有。

就這樣，在格羅斯曼的大力協(xié)助下，愛(ài)因斯坦決定掌握復(fù)雜的微分幾何，格羅斯曼教愛(ài)因斯坦數(shù)學(xué)，愛(ài)因斯坦也教格羅斯曼一些物理學(xué)的東西。后來(lái)，愛(ài)因斯坦引格羅斯曼的話說(shuō)，“我承認(rèn)，我畢竟還是通過(guò)物理學(xué)習(xí)得到了一些相當(dāng)重要的東西。以前，當(dāng)我坐在椅子上感覺(jué)到‘前坐者’的余溫時(shí)，總有點(diǎn)兒不舒服，現(xiàn)在這種感覺(jué)完全沒(méi)有了。因?yàn)椋谶@一點(diǎn)上物理學(xué)家已經(jīng)告訴了我，熱是完全與個(gè)人無(wú)關(guān)的東西。”

學(xué)微分幾何對(duì)愛(ài)因斯坦并不是件容易的事情。這門學(xué)科的精神同他那自然的直覺(jué)的物理學(xué)論證是格格不入的。1912年10月底，他給索末菲（Arnold Sommerfeld，一個(gè)德國(guó)大物理學(xué)家）寫(xiě)信說(shuō)，“我自己現(xiàn)在完全被引力問(wèn)題占據(jù)了，我也相信，在當(dāng)?shù)氐囊粋€(gè)數(shù)學(xué)家朋友[格羅斯曼]的幫助下，我會(huì)有能力克服所有的困難。但有一點(diǎn)是肯定的，在我的一生中，還從來(lái)沒(méi)有這么艱難地奮斗過(guò)，而且我已經(jīng)對(duì)數(shù)學(xué)充滿了敬佩，它那精妙的部分至今在我簡(jiǎn)單的頭腦中還只能認(rèn)為是一種奢望！同這個(gè)問(wèn)題比起來(lái)，原先的相對(duì)性理論[狹義相對(duì)論]不過(guò)是兒童游戲。”

面對(duì)物質(zhì)如何令時(shí)空彎曲的疑惑，愛(ài)因斯坦同格羅斯曼一道，從秋天奮斗到冬天，但不論多大的努力，都沒(méi)能使數(shù)學(xué)與愛(ài)因斯坦的想象相吻合，卷曲的定律在躲著他們。

愛(ài)因斯坦確信，卷曲的定律應(yīng)該服從推廣（擴(kuò)大）形式的相對(duì)性原理：對(duì)每一個(gè)參照系——不僅是慣性（自由下落的）系，還包括非慣性系，它都應(yīng)該是一樣的。卷曲的定律不應(yīng)為了自己的形式而依賴于任何特殊的參照系或者什么特殊類型的參照系。[107]痛苦的是，微分幾何的方程似乎不允許有這樣的定律。在暮冬時(shí)候，愛(ài)因斯坦和格羅斯曼最終放棄了尋找，發(fā)表了他們所能發(fā)現(xiàn)的最好的卷曲定律——為了某種確定性而依賴于一類特殊參照系的定律。

永遠(yuǎn)樂(lè)觀的愛(ài)因斯坦努力使自己相信，簡(jiǎn)單說(shuō)，就是相信這不是什么災(zāi)難。1913年初，他在給朋友物理學(xué)家埃倫費(fèi)斯特（Paul Ehrenfest）的信中說(shuō)，“還有什么能比從[能量和動(dòng)量守恒的數(shù)學(xué)方程]得到的必然限制更美妙的呢？”但進(jìn)一步考慮后，他認(rèn)為這是一個(gè)災(zāi)難。1913年8月，他寫(xiě)信給洛倫茲說(shuō)，“我對(duì)這個(gè)理論[‘卷曲的定律’]的可靠性的信心還在動(dòng)搖……[因?yàn)椴荒茏駨囊话愕南鄬?duì)性原理]，這個(gè)理論背離了它自己的出發(fā)點(diǎn)，一切都懸而未決。”

當(dāng)愛(ài)因斯坦和格羅斯曼在跟時(shí)空曲率斗爭(zhēng)時(shí)，遍布?xì)W洲大陸的其他物理學(xué)家擔(dān)起了統(tǒng)一引力定律和狹義相對(duì)論的挑戰(zhàn)。但是，他們——芬蘭赫爾辛基的諾德斯特勒姆（Gunnar Nordstrφsm）、德國(guó)格賴夫斯瓦爾德的米（Gustar Mie）、意大利米蘭的亞伯拉罕（Max Abraham）——沒(méi)有一個(gè)人采納了愛(ài)因斯坦的時(shí)空曲率觀點(diǎn)，而是像電磁那樣將引力當(dāng)成一種活動(dòng)在閔可夫斯基的平直的狹義相對(duì)論時(shí)空中的力場(chǎng)。他們采用這種方法也并不奇怪：愛(ài)因斯坦和格羅斯曼所用的數(shù)學(xué)嚇人地復(fù)雜，而且得到的卷曲定律違反了作者自己的原則。

在不同觀點(diǎn)的擁有者之間，發(fā)生了激烈的論戰(zhàn)。亞伯拉罕寫(xiě)道：“像本作者一樣曾不得不反復(fù)告誡要警惕[相對(duì)性原理]的誘惑的人，將滿意地歡迎這樣的事實(shí)：它的創(chuàng)始者現(xiàn)在已經(jīng)令自己相信它是不可能維持下去的。”愛(ài)因斯坦在答復(fù)中寫(xiě)道：“照我的意見(jiàn)，這種情況并不說(shuō)明相對(duì)性原理失敗了……沒(méi)有一點(diǎn)兒根據(jù)懷疑它的有效性。”私下里，他把亞伯拉罕的引力理論描述成“一匹缺了三條腿的高貴馬兒”。在1913年和1914年間寫(xiě)給朋友們的信中，愛(ài)因斯坦談了這場(chǎng)爭(zhēng)論，“我喜歡這個(gè)，至少事情有了必要的生氣，我欣賞這種爭(zhēng)論，費(fèi)加羅式的：他想跳舞，我愿為他伴奏。[108]”“我很高興，同行們都投身到這個(gè)[格羅斯曼和我發(fā)展起來(lái)的]理論中來(lái)了，盡管他們現(xiàn)在的目的是要抹煞它……從表面看，諾德斯特勒姆的理論……似乎合理得多，但它也是建立在[平直的閔可夫斯基時(shí)空]的，我感到，人們對(duì)[平直時(shí)空]的信仰，差不多像某種迷信了。”

1914年4月，愛(ài)因斯坦離開(kāi)蘇黎世，到柏林做一名不用講課的教授。他終于可以如愿地盡情工作了，甚至在柏林的大物理學(xué)家普朗克和能斯特（Walther Nernst）的影響里，他還是這么做。盡管在1914年爆發(fā)了第一次世界大戰(zhàn)，愛(ài)因斯坦在柏林仍然繼續(xù)追尋著一個(gè)能讓人接受的關(guān)于物質(zhì)如何使時(shí)空發(fā)生彎曲的描述，一個(gè)不依賴于任何特殊類型的參照系的描述——一個(gè)改進(jìn)的關(guān)于卷曲的定律。

從柏林坐3個(gè)小時(shí)火車就來(lái)到閔呵夫斯基曾經(jīng)工作過(guò)的哥廷根大學(xué)村，歷史上最偉大的數(shù)學(xué)家之一，大衛(wèi)·希爾伯特（David Hilbert）就在那里。在1914和1915年間，他對(duì)物理學(xué)產(chǎn)生了強(qiáng)烈的興趣。愛(ài)因斯坦發(fā)表的思想令他著迷。于是，1915年6月底，他邀請(qǐng)愛(ài)因斯坦來(lái)訪問(wèn)。愛(ài)因斯坦去了約一個(gè)星期，為希爾伯特和他的同事們作了6次兩個(gè)小時(shí)的演講。訪問(wèn)過(guò)了幾天以后，愛(ài)因斯坦給朋友寫(xiě)信說(shuō)，“看到[關(guān)于我工作的]每件事情在哥廷根都能得到最徹底的理解，我真太高興了。希爾伯特也令我著迷。”

回柏林幾個(gè)月后，愛(ài)因斯坦—格羅斯曼卷曲定律令他比以前更痛苦。它不但違反了他的引力定律應(yīng)在所有參照系相同的理想，而且，經(jīng)過(guò)艱難計(jì)算后，他還發(fā)現(xiàn)，得到的水星軌道近日點(diǎn)的異常移動(dòng)值是錯(cuò)的。他原希望這個(gè)理論能夠解釋這個(gè)近日點(diǎn)移動(dòng)，從而勝利解決移動(dòng)與牛頓定律的偏差，這個(gè)成果至少能帶來(lái)一點(diǎn)實(shí)驗(yàn)證據(jù)，證明他的引力定律是對(duì)的，而牛頓的是錯(cuò)的。然而，他在愛(ài)因斯坦—格羅斯曼卷曲定律基礎(chǔ)上的計(jì)算卻只得到了觀察到的近日點(diǎn)移動(dòng)的一半。

愛(ài)因斯坦徹底檢查了他和格羅斯曼過(guò)去的計(jì)算，發(fā)現(xiàn)幾個(gè)關(guān)鍵性的錯(cuò)誤。整個(gè)10月，他都在滿懷激情地工作。11月4日，他在柏林的普魯士科學(xué)院周末全體會(huì)議上提交了關(guān)于他的錯(cuò)誤和修正的卷曲定律的報(bào)告——定律對(duì)一類特殊的參照系仍存在一定依賴性，不過(guò)不像以前那么強(qiáng)。

愛(ài)因斯坦還是不滿意，他又同11月4日的定律斗爭(zhēng)了一個(gè)星期，發(fā)現(xiàn)了錯(cuò)誤，向11月11日的科學(xué)院大會(huì)又提出一個(gè)卷曲定律的建議。但是，定律還是依賴于特殊參照系，仍然違背他的相對(duì)性原理。

就讓它違背下去吧。接下來(lái)的一個(gè)星期里，愛(ài)因斯坦計(jì)算了他的新定律的可以通過(guò)望遠(yuǎn)鏡觀測(cè)的結(jié)果。他發(fā)現(xiàn)定律預(yù)言，經(jīng)過(guò)太陽(yáng)邊緣的星光應(yīng)被引力偏轉(zhuǎn)1.7弧秒的角度（4年以后在一次日食中進(jìn)行的精確測(cè)量將證實(shí)這個(gè)預(yù)言）。而對(duì)愛(ài)因斯坦最重要的是，新定律給出了正確的水星近日點(diǎn)移動(dòng)！他欣喜若狂，興奮得3天做不了事情。在11月18日的科學(xué)院大會(huì)上，他報(bào)告了這個(gè)勝利。

但是，他的定律違背相對(duì)性原理，這仍令他煩惱。于是，他在下個(gè)星期又檢查了計(jì)算，發(fā)現(xiàn)了另外的錯(cuò)誤——最關(guān)鍵的一個(gè)。終于，一切都明白了，整個(gè)數(shù)學(xué)體系現(xiàn)在都擺脫了對(duì)特殊參照系的任何依賴：在任意一個(gè)參照系中定律都有相同的形式（見(jiàn)下面的卡片2.6），因此服從相對(duì)性原理。愛(ài)因斯坦1914年的理想完全實(shí)現(xiàn)了！新的公式對(duì)水星近日點(diǎn)進(jìn)動(dòng)和光的引力偏折給出相同的預(yù)言，而且把他1907年的引力時(shí)間膨脹的預(yù)言也包括進(jìn)來(lái)了。11月25日，愛(ài)因斯坦向普魯士科學(xué)院報(bào)告了他這些結(jié)果和他的廣義相對(duì)論的最終確定形式。[109]

3天后，愛(ài)因斯坦給朋友索末菲寫(xiě)信說(shuō)：“在過(guò)去的一個(gè)月里，我度過(guò)了一生中最興奮、最艱苦但也最成功的時(shí)光。”接著，在[1916年]1月給埃倫費(fèi)斯特的信中，他說(shuō)：“你能想象我有多快樂(lè)[我的新的卷曲定律遵從相對(duì)性原理]，它還預(yù)言了正確的水星近日點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)。我狂喜了幾天。”后來(lái)，他談了這個(gè)時(shí)期的感受：“在黑暗中找尋我們感覺(jué)得到卻表達(dá)不出的真理的年月里，那強(qiáng)烈的欲望和動(dòng)搖的信心以及成功前的焦慮，只有親身經(jīng)歷過(guò)的人才能體會(huì)。”

值得注意的是，愛(ài)因斯坦并不是第一個(gè)發(fā)現(xiàn)卷曲定律的正確形式（服從相對(duì)性原理的形式）的人，第一個(gè)發(fā)現(xiàn)者應(yīng)該是希爾伯特。1915年秋，當(dāng)愛(ài)因斯坦還在向正確定律努力，數(shù)學(xué)錯(cuò)誤接連不斷時(shí)，希爾伯特也在考慮他從愛(ài)因斯坦夏季來(lái)哥廷根訪問(wèn)時(shí)學(xué)來(lái)的東西。他在波羅的海的陸根島度假時(shí)，突然產(chǎn)生一個(gè)關(guān)鍵的想法，幾個(gè)星期后，他得到了正確的定律——他沒(méi)有走愛(ài)因斯坦那條艱難的試錯(cuò)路線，而是走一條優(yōu)美而簡(jiǎn)捷的數(shù)學(xué)道路。1915年11月20日，希爾伯特向哥廷根的皇家科學(xué)院報(bào)告了他的推導(dǎo)和最后的定律，正好比愛(ài)因斯坦在柏林向普魯士科學(xué)院報(bào)告相同定律早5天。

不過(guò)，最后的卷曲定律很快被稱為愛(ài)因斯坦場(chǎng)方程（卡片2.6），而沒(méi)有用希爾伯特的名字來(lái)命名，這是很自然的，也符合希爾伯特自己對(duì)事情的看法。希爾伯特獨(dú)立并幾乎與愛(ài)因斯坦同時(shí)完成了這個(gè)發(fā)現(xiàn)的最后幾個(gè)數(shù)學(xué)步驟，但愛(ài)因斯坦發(fā)現(xiàn)了這些步驟之前的幾乎一切東西：認(rèn)識(shí)了潮汐引力與時(shí)空卷曲必須是同一件事情，設(shè)想卷曲定律必然服從相對(duì)性原理，它們是這個(gè)定律（愛(ài)因斯坦場(chǎng)方程）的90%。事實(shí)上，如果沒(méi)有愛(ài)因斯坦，引力的廣義相對(duì)論定律可能會(huì)晚發(fā)現(xiàn)幾十年。

當(dāng)我瀏覽愛(ài)因斯坦發(fā)表的科學(xué)論文時(shí)（很遺憾，我只能看1965年的俄文本選集，因?yàn)槲也欢挛模拇蠖鄶?shù)論文到1993年才開(kāi)始譯成英文）[111]，我驚訝地發(fā)現(xiàn)他的研究風(fēng)格在1912年發(fā)生了巨大的改變。1912年前，他的文章以優(yōu)美的文筆、深刻的直覺(jué)和簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)而令人賞心悅目，其中許多論證跟我們?cè)?0年代講相對(duì)論時(shí)所用的是一樣的，沒(méi)入想去改進(jìn)它們。相反，1912年以后，愛(ài)因斯坦的論文里出現(xiàn)了大量復(fù)雜的數(shù)學(xué)——盡管通常結(jié)合著他對(duì)物理學(xué)定律的洞察。這種數(shù)學(xué)與物理學(xué)洞察的結(jié)合，在1912～1915年間所有在引力領(lǐng)域工作的物理學(xué)家中，只有愛(ài)因斯坦才有，它最終將他引向了引力定律的完全形式。

但是，愛(ài)因斯坦的數(shù)學(xué)工具用得有點(diǎn)兒笨拙，像希爾伯特后來(lái)說(shuō)的，“哥廷根街上的每個(gè)小孩兒都比愛(ài)因斯坦更理解四維幾何。不過(guò)，盡管如此，愛(ài)因斯坦還是做成了這件事[建立引力的廣義相對(duì)論定律]，而數(shù)學(xué)家沒(méi)有。”他之所以做成了，是因?yàn)檫@件事僅有數(shù)學(xué)是不夠的，還需要他那獨(dú)特的物理學(xué)洞察。

實(shí)際上，希爾伯特說(shuō)得過(guò)分了。愛(ài)因斯坦是一個(gè)很不錯(cuò)的數(shù)學(xué)家，盡管，他在數(shù)學(xué)技巧上不像在物理學(xué)洞察中那樣算得上是一個(gè)大師。結(jié)果，我們現(xiàn)在很少用愛(ài)因斯坦1912年以后提出的形式來(lái)討論他當(dāng)時(shí)的論證，我們已經(jīng)學(xué)會(huì)了更好的形式。而且，隨著1915年過(guò)后，物理學(xué)定律的數(shù)學(xué)味道越來(lái)越濃，愛(ài)因斯坦當(dāng)年那個(gè)巨人的身影也越來(lái)越淡，火炬已經(jīng)傳給了別人。