（二）分?jǐn)?shù)方程

16．財(cái)主買虎皮

從前，有父、子兩個(gè)財(cái)主進(jìn)城買虎皮，兩個(gè)人看好了同一張虎皮，都掏出錢要買。賣主看看兩個(gè)財(cái)主的錢后，搖頭說：“這張虎皮價(jià)值180吊，你們倆誰也買不成，我有個(gè)辦法，把父親的錢的給兒子，兒子可以買成；把兒子錢的給父親，父親也可以買成。”父、子倆都搖搖頭不肯。問兩個(gè)財(cái)主各帶了多少錢？

解析：

設(shè)兒子帶的錢數(shù)為x吊，根據(jù)把父親的錢的給兒子，兒子可以買成，知父親帶錢數(shù)為吊；根據(jù)把兒子錢的給父親，父親也可以買成，得：

解得兒子帶錢數(shù)：（吊）

父親帶的錢數(shù)：（吊）

答：兒子帶了120吊錢，父親帶了90吊錢。

17．寶物數(shù)量

某人從寶庫取走了寶物的，另一人又從剩下的寶物中取走了，寶庫中還剩下寶物160件，求原本寶物有幾件？（選自《萊因德紙草書》）

解析：設(shè)原本寶物有x件，則

x=255（件）

18．獻(xiàn)神蓮花

有蓮花若干朵，以其，，，分獻(xiàn)四神，還剩六朵。問原來有蓮花多少朵？（選自《計(jì)算法綱要》）

解析：設(shè)原來有蓮花x朵，則獻(xiàn)四神的花分別有，，，朵。

19．行經(jīng)三城

古時(shí)，一人經(jīng)商回家，行經(jīng)三城。甲、乙、丙三城征稅金額均為其所帶的錢的一半又。若此人到家僅剩11元，求他原來帶多少錢？

解析：設(shè)所帶的錢為x，則甲城征稅，乙城征稅（x-，丙城征稅。

所以

（元）

20．兩支蠟燭

房間里電燈突然不亮了，小明點(diǎn)燃了書桌里備用的兩支蠟燭，在蠟燭光下繼續(xù)做他的事，直到電燈修好。

第二天，小明需要確定昨晚斷電的時(shí)間。他當(dāng)時(shí)沒有注意斷電開始的時(shí)刻，也沒有注意是什么時(shí)候來的電，也不知道蠟燭的原始長(zhǎng)度。小明只記得兩支蠟燭長(zhǎng)短一樣，但粗細(xì)不同，其中粗的一支5小時(shí)燃燒完，細(xì)的一支4個(gè)小時(shí)燃燒完。兩支蠟燭都是經(jīng)小明點(diǎn)燃的新蠟燭，但小明沒找到蠟燭的剩余部分。他只知道一支殘燭的長(zhǎng)度等于另一支殘燭的四倍。

小明無法知道得更多了，只能根據(jù)上述有限的資料計(jì)算蠟燭的點(diǎn)燃時(shí)間。

請(qǐng)你也算一算。

解析：解答這個(gè)問題，需要列一個(gè)簡(jiǎn)單的方程式。用x表示點(diǎn)燃蠟燭的小時(shí)數(shù)。每一小時(shí)燒掉粗蠟燭長(zhǎng)度的，細(xì)蠟燭長(zhǎng)度的。因此，粗蠟燭殘余部分的長(zhǎng)度應(yīng)是，細(xì)蠟燭殘余部分的長(zhǎng)度應(yīng)是。我們知道兩支蠟燭開始時(shí)長(zhǎng)度相等，并知細(xì)蠟燭殘余長(zhǎng)度的四倍等于粗蠟燭殘余長(zhǎng)度的：

答：兩支蠟燭各點(diǎn)燃了3小時(shí)45分鐘。

21．船上打牌

在乘船外出旅行時(shí)，小張想玩撲克牌，便約了D男爵和C伯爵。

第一局，小張輸給了D男爵和C伯爵，他們兩個(gè)人的錢數(shù)都翻了一番。

第二局，小張與D男爵贏了，他們兩個(gè)人手中的錢都翻了倍。最后，C伯爵同小張蠃了第三局，又使錢翻了一倍。

游戲結(jié)束后，每人都贏了兩局而輸?shù)粢痪郑詈笕耸种械腻X數(shù)完全相等。

最終小張發(fā)現(xiàn)自己輸?shù)袅?00美元，非常懊惱。試問：在游戲開始時(shí)，小張有多少錢？

解析：用倒推法很容易解出本題。

贏了后的錢數(shù)較前一局的錢數(shù)翻了一番。前一局的錢數(shù)是其錢數(shù)的一半，從而，可計(jì)算另一個(gè)人的錢數(shù)。

設(shè)第三局結(jié)束時(shí)三人手中的錢為x美元，我們使用表格進(jìn)行倒推。

x=160

游戲開始時(shí)，小張的錢數(shù)：×160=260（美元）

D男爵的錢數(shù)：×160=80（美元）

C伯爵的錢數(shù)：×160=140（美元）

22．賣雞蛋

王老太太到集市上去賣雞蛋，第一個(gè)人買走籃子里雞蛋的一半又一個(gè)，第二個(gè)人買走剩下雞蛋的一半又一個(gè)，這時(shí)籃子里還剩一個(gè)雞蛋，請(qǐng)問王老太共賣出多少個(gè)雞蛋？

解析：設(shè)雞蛋總數(shù)為x，第一個(gè)人買走個(gè)，第二個(gè)人買走[x-個(gè)。

x=10

王老太太賣出雞蛋：10-1=9（個(gè)）

23．五個(gè)報(bào)童

五個(gè)聰明的報(bào)童合伙賣報(bào)，他們按照下面的方式賣掉了他們的報(bào)紙。湯姆·史密斯賣掉了總數(shù)的再加上1張報(bào)紙，比利·瓊斯賣掉的報(bào)紙數(shù)是余下的再加上1張，內(nèi)德·史密斯又賣掉余下報(bào)紙的再加1張，查利·瓊斯再賣掉余下的再加1張。現(xiàn)在，史密斯家的孩子們比瓊斯家的孩子們要多賣出100張報(bào)紙，最后，最年輕的成員小吉米·瓊斯把所有剩下的報(bào)紙都賣光了。

瓊斯家3個(gè)孩子賣出的報(bào)紙要比史密斯家2個(gè)孩子賣出的報(bào)紙多。現(xiàn)在的問題是兩家的孩子各賣了多少?gòu)垐?bào)紙。

解析：設(shè)原來的報(bào)紙數(shù)為x張，則：

湯姆·史密斯賣報(bào)紙：（張）

比利·瓊斯賣報(bào)紙：（張）

內(nèi)德·史密斯賣報(bào)紙：（張）

查利·瓊斯賣報(bào)紙：（張）

x=1020

史密斯家2個(gè)孩子賣出的報(bào)紙：（張）

瓊斯家3個(gè)孩子賣出的報(bào)紙：1020-400=620（張）

24．黑蛇進(jìn)洞

一條長(zhǎng)80安古拉（古代印度長(zhǎng)度單位）的大蛇用每天爬安古拉的速度爬進(jìn)一個(gè)洞，而蛇尾每天卻要長(zhǎng)安古拉。請(qǐng)問黑蛇需要幾天才能完全爬進(jìn)洞？

解析：這是來自公元9世紀(jì)印度數(shù)學(xué)家摩坷毗羅的趣題。

在數(shù)學(xué)的發(fā)展史上，希臘數(shù)學(xué)的后續(xù)者是印度人。雖然印度的數(shù)學(xué)只是在受到希臘數(shù)學(xué)成就的影響后，才形成了頗為可觀的景象，但是，印度早期具有本地特色的數(shù)學(xué)非常值得一提。

首先，早期印度數(shù)學(xué)家們給出了1到9的記號(hào)，出色之處在于每個(gè)數(shù)字都有單獨(dú)的記號(hào)，這里沒有0，那個(gè)時(shí)候，印度的數(shù)學(xué)家們還沒有發(fā)現(xiàn)這樣標(biāo)記數(shù)字的好處。公元200～1200年，是印度數(shù)學(xué)發(fā)展的第二階段。他們?yōu)榱搜芯刻煳呐c占星術(shù)而研究數(shù)學(xué)，那時(shí)沒有專門的數(shù)學(xué)書，數(shù)學(xué)材料是混在天文與占星術(shù)資料的篇章里講述的。值得提的是，在這個(gè)時(shí)期里，印度人把0看成一個(gè)完全的數(shù)，一個(gè)數(shù)乘0得0，減0并不使一個(gè)數(shù)變小，一個(gè)數(shù)除以0后不變。在談到分母為0的分?jǐn)?shù)時(shí)，婆什迦羅說不管加減多少，這個(gè)分?jǐn)?shù)是不變的。

其次，印度人引用負(fù)數(shù)表示欠債，正數(shù)表示財(cái)產(chǎn)。公元628年婆羅摩笈使用了負(fù)數(shù)，并提出了負(fù)數(shù)的四種運(yùn)算，但他沒有給出定義、公理或是定理。印度人并不是毫無保留地接受負(fù)數(shù)，當(dāng)給出一個(gè)問題的兩個(gè)解10與-3時(shí)，他們會(huì)說，這里不要第二個(gè)值，因?yàn)樗恍小Ｈ藗冸m然不贊成負(fù)數(shù)，但負(fù)數(shù)還是被人們逐漸接受。

再次，印度人在算術(shù)上的另一重大發(fā)展是正視了無理數(shù)的問題，他們開始按正確的方式來運(yùn)算無理數(shù)，這種做法雖然沒有給出證明，但這種正視可以獲得一些有用的結(jié)論，例如，無理數(shù)相加的法則。在代數(shù)、幾何及三角形方面，印度人也做出了貢獻(xiàn)，但他們不注重演繹結(jié)構(gòu)，他們有好多好的計(jì)算方法，但都沒考慮過如何證明它，而且在數(shù)學(xué)領(lǐng)域也沒有得出過一般方法或是提出新的觀點(diǎn)。

設(shè)黑蛇爬x天，才完全進(jìn)入洞中。按已知條件可知：黑蛇每天爬：

（安古拉）

它的尾巴每天要長(zhǎng)：（安古拉）

列方程：21x=80+11x

x=8

25．波斯國(guó)王的難題

古代波斯有個(gè)國(guó)王認(rèn)為自己是世界上最聰明的人。有一天，國(guó)王出了一張告示，宣布半個(gè)月以后他要在皇宮里出一道難題，誰要能準(zhǔn)確地回答出來，就重重地獎(jiǎng)賞他。

那一天，皇宮里聚集了文武百官，還有許多老百姓，十分熱鬧。國(guó)王命令侍從取來三只大金碗，他向皇宮里的人們掃了一眼，然后說出了他的難題。

三只金碗里放著數(shù)目不同的珍珠，我把第一只金碗里的一半珍珠給我的大兒子；第二只金碗里的三分之一珍珠給我的二兒子；第三只金碗里的四分之一給我的小兒子。然后，再把第一只金碗里的4顆珍珠給我的大女兒，第二只金碗里的6顆珍珠給我的二女兒，第三只金碗里的2顆珍珠給我的小女兒，這樣分完之后，第一只金碗里還剩下38顆珍珠，第二只金碗里還剩下12顆珍珠；第三只金碗里還剩下19顆珍珠。你們誰能回答，這三只金碗里原來各有多少顆珍珠？

解析：設(shè)x為第一只金碗里的珍珠數(shù)，根據(jù)“我把第一只金碗里的一半珍珠給我的大兒子……再把第一只金碗里的4顆珍珠給我的大女兒……這樣分完之后，第一只金碗里還剩下38顆珍珠”可列方程：

解得：x=84

同理，設(shè)y為第二只金碗里的珍珠數(shù)：

解得：y=27

設(shè)z為第三只金碗里的珍珠數(shù)：

解得：z=28