四 代數架構和代數思維

我們在日常生活中接觸的一切，都是代數

什么是代數呢？有人說，代數就是用字母表示數，因為用字母代替了數字，所以叫代數，是這樣的嗎？這叫望文生義！如果用字母表示數叫作代數，那么我用漢字表示數就不叫代數了嗎？我用圖形符號表示數就不叫代數了嗎？我們小學的時候就學過：“甲、乙之和是18，甲、乙之差是6，請問甲、乙各多少？”誰能說這不是代數呢？我們還做過這樣的題目：“天平左側有2個桃子，右側有4個橘子，問一個桃子的重量相當于幾個橘子？”誰敢說這不是代數方程呢？其實代數根本沒有那么復雜，我們在日常生活中接觸的一切，都是代數．

比如，我問你：“一個蘋果加兩個蘋果等于什么？”那你馬上就會說三個蘋果．在這個問題里面，我們就是用蘋果來代表數字的．可是你說，那不對，剛才我們說的一、二、三才是數，蘋果是個東西，不是數字．那我再問你，一個蘋果是不是可能重300克？一個蘋果是不是可能值5角呢？那如果題目變成一個5角加兩個5角，結果是不是就等于三個5角了呢？對，這就是代數，代數就是這么簡單．只不過因為漢字、圖形寫起來比較麻煩，所以，我們就常用英文字母來表示數字．

比如1個蘋果加2個蘋果等于3個蘋果，如果我們用字母a來代替蘋果，那么，結果就是1個a加2個a等于3個a．在這里，3個a就表示3乘以a，我們可以寫成3·a，或者直接寫3a，如果是1個a呢？我們也常常把1忽略，直接寫成a．也就是說，以上這個算式的代數表達式應該是：a＋2a＝3a．

在小學階段，我們就曾經學過用字母x來表示未知數，那么用x和用a有什么區別嗎？如果嚴格地來說，還真沒什么區別，只是我們使用它們的習慣不同．在代數學里面，雖然a、b、c和x、y、z都是字母，都可以表示數字．但是，我們經常用前幾個字母a、b、c表示已經知道的數字，又叫常數或者常量；而用后面的x、y、z表示暫時還不知道的數字，又叫未知數或者變量．a、b、c也不是數字，怎么能用來表示已經知道的數字呢？這個意思就是，如果我們在做代數題的時候，你的計算結果寫成x＝a＋2，就算你把題目算出來了；但是如果你寫成了a＝x－2，那就算你沒算出來．雖然兩個式子的意思看起來差不多，但是，按照習慣會要求你把變量x寫成用常量a表達的方式．

那你會說，這題目里面有一大堆的字母，我怎么算得數啊，比如我知道3＋2等于5，那么a＋b我怎么知道等于多少呢？這個算式不需要計算，因為計算得到的最終結果，很可能就是一堆字母，我們不需要知道它等于3還是等于5，只要把一堆字母經過計算以后，不斷化簡，最后得到一個最簡單的表達式就行了．比如：2a＋3a＝5a，a＋3b－b＝a＋2．

雖然仍然不知道結果等于幾，但是算式已經被我們化簡到極簡的狀態，這就足夠了．絕大多數情況下，初中代數都是在跟一堆字母打交道，我們就是要通過加減乘除的計算規則把它們算過來又算過去，折騰到最簡單為止．那你又會說了，我為什么要折騰一堆字母呢，它有什么實際用途呢？這就問到點子上了，這些字母它們是怎么來的，剛才不是用a來代表蘋果嗎？所有這些字母代表的都是日常工作或者生活中的某個數量，只不過在一般情況下，這些數量之間的關系比較復雜，我們就是要通過計算，把它們之間的相互關系理清楚，只有弄清楚了它們之間的相互關系，才可能通過控制一個數量來控制其他的數量．

說了這么多，還是舉個生活中的例子吧．比如，一種商品的利潤和價格有關系嗎？什么叫利潤呢？利潤不就是賺了多少錢嗎？賺錢多少當然和價格有關系了，因為商品的利潤等于價格減去商品的進貨價．那么，商店賺錢的多少和商品數量的多少有關系嗎？這個不用算，憑直覺我們就知道了，商品賣得越多，那肯定就越賺錢了．如果讓列出代數算式呢？那就是商店的利潤等于單件商品的利潤乘以商品售出的數量，沒錯吧．那么問題來了，既然商品價格越貴賺錢越多，商品數量越多賺錢越多，我們就把一個超市全部堆滿了商品，然后把商品價格定得高高的，不就可以賺大錢了嗎？這樣的結論好像不對，如果商品價格定得太高了，客戶肯定不來買東西了；商品太多，把超市里的空地都占滿了，客戶也沒辦法進來挑東西了．那么結果為什么不對呢？為什么我們找到了正確的原因，卻得不出正確的結論呢？

因為我們剛才只考慮了商品的變化因素，沒有考慮客戶的變化．其實，超市賺錢的總數應該等于客戶數量乘以平均每個客戶購買的商品數量再乘以商品的利潤．同時，超市來的客戶數量和商品的價格和利潤是有關系的，商品越貴，客戶來得越少；商品越便宜，客戶來得越多．現在，這個算式是知道了，但是它卻仍然沒有用，為什么呢？因為這個算式不能告訴我們到底把商品價格定在多少才最賺錢．因此，我們還需要繼續分析下去．要想得出這個問題的正確答案，只有全面掌握了初中代數的內容以后才可以．在這里，只是通過這個問題來加深你對代數的理解，要知道我們之所以要折騰一堆字母，就是因為這些字母所代表的都是日常工作和生活中的某個數量．它可能代表利潤，可能代表客戶數；可能代表速度，可能代表路程；可能代表亮度，可能代表電量．總之，涉及生活和工作的方方面面，都是無數個變量相互作用的結果，我們只有認識了它們之間的相互關系，才能更好地工作、更好地生活．

在初中數學中，充滿了由字母數字和加減乘除運算符號組合成的代數表達式．如果說，小學數學是算數字的話，那么初中的代數就是算式子．那么，這些式子要怎么分類呢？我們又要從哪里學起呢？