三 數系的擴充

流血的數字：0中隱藏的秘密

原來，它就是我們常用的數字0．我們日常使用的1、2、3、4這些數字，被稱作阿拉伯數字．所謂阿拉伯數字，也不是阿拉伯人發明的，而是印度人發明的，只不過后來是被阿拉伯人傳到了歐洲，才逐漸在全世界范圍內流行起來的．那么，在阿拉伯數字使用之前呢？各個國家和地區都有自己的數字，比如中國就用一橫、兩橫、三橫分別表示一、二、三，而歐洲常用的數字就是羅馬數字，他們用一豎、兩豎、三豎來表示一、二、三．但是問題在于：無論是中國數字還是印度數字里面，很早就有了0，但是羅馬數字呢？從來就沒有0的概念．他們把“0”稱作魔鬼數字，說它是魔鬼撒旦發明的．所以你就明白，那位數學家為什么會因為數字0被夾斷手指了．

不過，既然數字0很重要，為什么羅馬人沒有早一點發現0呢？為什么教皇不懲罰使用數字1、2、3的人呢？同時，我要告訴你的是，在我們中國早期的時候，雖然我們使用0，但是我們并不把0通過文字寫出來，而是用一個空白位置代替0，用一個圓圈代表0是很晚的時候才出現的．接下來我們就討論一下，0的存在有意義嗎．

你可能會說：0存在有意義啊，比如老師出了道題1－1等于幾？我一看，結果是0，于是我就什么都不寫了，那老師非罵我一頓不可．我不寫的話，老師怎么知道我的作業做沒做．可是你再仔細想想：如果世界上沒有0，老師根本就不會給你出1－1等于幾的問題了．這時候，你可能又會想到：這不僅僅是一道數學題，平時自己記賬可能遇到錢花光的時候，這時候就只能寫上一個數字0；如果什么都不寫，這賬就沒法記了．可是你再想想，也不一定沒法記啊，你可以寫一個漢字“無”．那你可能會繼續反駁我說：“0”這個字寫起來比“無”更簡單．可是你要知道，在漢字中，比“無”復雜的字有很多，比如常用的“你”“我”“他”，筆畫都很多，如果把“無”字寫成“0”字也算有意義的話，那些更常用、更復雜的文字早就應該簡化了，根本就輪不到去簡化“無”這個字．而且我們更要知道的是，世界上哪里會有完全沒有用處的東西呢？無論看起來多么蠢笨的東西，只要我們仔細找，總能發現一點點的用處；反過來說，如果任何一個有點用的東西都要保留的話，這個世界上早就被垃圾填滿了，一個東西要想被人接受，不僅僅要有用，而且用處要大于它帶來的麻煩才可以．接下來讓我們通過幾個問題看看0帶來的麻煩．

第一題：我原來有3個蘋果，又買了0個，現在有幾個蘋果？答案是3＋0＝3對不對？第二題：我要把蘋果分給0個小朋友，每個小朋友分3個蘋果，一共需要幾個蘋果？也很簡單3×0＝0．第三題：我手里有3個蘋果，要全部分給0個小朋友，平均每個小朋友分幾個？因為在這個題目里面0要做除數了，所以結果沒有意義．那么，這個問題就有點奇怪了，如果0表示沒有的話，3＋0相當于不用加，不用加結果還應該等于3；但是3×0不也相當于不用乘嗎？為什么不用加等于3，不用乘的結果卻是0呢？更奇怪的事情還在后面呢，3×0和3÷0都是在處理分蘋果的問題，為什么3×0就等于0，而3÷0就變得沒有意義了呢？3÷0為什么不能等于0呢？

現在我們要用細致入微的手法，為你揭開0的秘密，要知道0中隱藏的秘密遠遠比1＋1＝2大得多．那么，一個知識點存在的意義是什么？也就是說，評價一個知識點有沒有意義的標準是什么？

評價知識有沒有意義，至少要考慮三到五個方面的問題：第一，這個知識點在理論上存在的意義是什么？就是說這個知識點是怎么推導計算出來的，或者它是如何歸納總結出來的；第二，這個知識點在實際生活中有沒有具體的用途；第三，這個知識點和現有知識是不是相容的？也就是新知識和所有舊知識之間有沒有相互的矛盾沖突，是否能夠解釋和包容舊的知識；第四，這個知識點是否能夠解釋某些歷史的遺留問題；第五，這個知識點能夠對人類的未來產生哪些幫助．在最理想的條件下：一個新的知識點，必須連接理論和實際，必須面向歷史與未來，同時必須能夠和舊有的知識融洽地相處．但有時候，這五點不能全部滿足，那么它至少也要滿足其中最重要的三點：第一，從理論中產生；第二，解決實際問題；第三，面向未來．新的知識有可能暫時和舊有的知識產生矛盾，有可能暫時解決不了部分歷史遺留問題，也有可能產生一些新的問題，這些問題可以留待以后解決．只要是面向未來，能夠給我們帶來實際好處的，也可以暫時接納它．

剛才總結了評價一個新知識點是否有存在意義的五個標準，希望你在學習任何新知識的時候，按照這五個標準進行縝密的思考和鑒別，因為只有這樣才能得到真知，只有這樣掌握的知識才更加扎實、牢靠．現在，按照這個標準判斷一下0的存在有沒有意義：

首先，任何數字減去它自身都可以等于0，因此0在理論上有實際意義；其次，0可以解決在錢花完了的條件下的記賬問題，有實際用途；然而，0在處理加減乘除的時候，不能妥善地處理，尤其是0作為除數，產生了沒有任何意義的結果，可見0和舊有的知識之間是有矛盾的；最后，0能解決什么歷史問題嗎？不能！歷史上早就有了1、2、3，歷史上沒有0的時候我們也沒有遇到什么麻煩．那么，0能夠解決未來的問題嗎？這一點也是未知的，在以后記賬的時候我們可以寫0，但是也可以用文字來代替0．經過這些分析可以發現，0的存在只能滿足其中的兩個半條件：即0的存在有理論價值和實用價值．然而，0的存在與我們已知的除法產生了矛盾．所以，我認為：在1500年前的那個歷史條件下，0的存在是可有可無的，它的存在沒有必然意義，它的存在更不會推動人類文明的發展．

結論居然是0的存在可有可無！別著急，這個結論是有前提的，1500年前的0是可有可無的，并不是說現在的0沒有意義．也就在1500年前，就在歐洲人爭論0的存在有沒有意義的時候，一種比0更奇怪的數字開始流行起來了．它的出現，不僅讓商人的賺錢速度增加了10倍，更是推動了整個人類文明的發展，同時，也讓0這個數字的存在成為必然．