1.3　磁場(chǎng)與磁路的計(jì)算

1.3.1　磁場(chǎng)的基本物理量

（1）磁感應(yīng)強(qiáng)度　磁感應(yīng)強(qiáng)度是表示磁場(chǎng)中某點(diǎn)磁場(chǎng)的強(qiáng)弱和方向的物理量，它是一個(gè)矢量，磁感應(yīng)強(qiáng)度用符號(hào)R表示。磁場(chǎng)中某點(diǎn)磁感應(yīng)強(qiáng)度B的方向就是該點(diǎn)磁力線的切線方向，即放在該點(diǎn)的小磁針北極（N極）所指的方向，其大小的數(shù)學(xué)表達(dá)式為：

式中， l為與磁場(chǎng)方向垂直的導(dǎo)體在磁場(chǎng)中的有效長(zhǎng)度，m；I為通過(guò)導(dǎo)體的電流，A；F為通電導(dǎo)體受到的電磁力，N；B為磁感應(yīng)強(qiáng)度，T。

也就是說(shuō)，一根與磁力線垂直的1m直導(dǎo)體，如果通過(guò)1A電流時(shí)，所受到的電磁力為1N，則磁感應(yīng)強(qiáng)度就是1T。

磁感應(yīng)強(qiáng)度另一個(gè)較小的單位是高斯，用符號(hào)Gs表示。兩者的關(guān)系是：

如果磁場(chǎng)中各處的磁感應(yīng)強(qiáng)度B相同，則這樣的磁場(chǎng)叫做均勻磁場(chǎng)或勻強(qiáng)磁場(chǎng)。

（2）磁通　磁通是描述磁場(chǎng)在某一范圍內(nèi)分布情況的物理量，把磁感應(yīng)強(qiáng)度B和與它垂直的某一截面積S的乘積，稱(chēng)為通過(guò)該面積的磁通。磁通用符號(hào)Φ表示，其數(shù)學(xué)表達(dá)式為：

式中，B為磁感應(yīng)強(qiáng)度，T；S為垂直于磁場(chǎng)方向的截面積，m²；Φ為磁通，Wb。

磁通的數(shù)學(xué)表達(dá)式也可寫(xiě)成：

上式表明，磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小等于與磁場(chǎng)方向垂直的單位面積上的磁通，所以磁感應(yīng)強(qiáng)度B又稱(chēng)為磁通密度，簡(jiǎn)稱(chēng)磁密。

磁感應(yīng)強(qiáng)度單位的另一種等效形式是Wb/m²，它和T的關(guān)系是：

當(dāng)磁感應(yīng)強(qiáng)度B與作用平面S不垂直時(shí)，磁通的數(shù)學(xué)表達(dá)式為：

式中，α為磁感應(yīng)強(qiáng)度B與作用平面S的夾角。

【例43】在B=0.6T的均勻磁場(chǎng)中有一面積為10^-2m²的平面，求平面與B的夾角分別為0°、30°、60°、90°時(shí)通過(guò)此平面的磁通。

【解】因?yàn)?i>Φ=BSsin α，所以：

當(dāng)α=0°時(shí)

Φ=0.6×10^-2×0=0

當(dāng)α=30°時(shí)

Φ=0.6×10^-2×0.5=3×10^-3Wb

當(dāng)α=60°時(shí)

當(dāng)α=90°時(shí)

Φ=0.6×10^-2×1=6×10^-3Wb

（3）磁導(dǎo)率　線圈管的磁性強(qiáng)弱，即磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小，不但與電流、匝數(shù)有關(guān)，而且與磁場(chǎng)中的磁介質(zhì)有著密切的關(guān)系，不同的磁介質(zhì)具有不同的導(dǎo)磁性能，通常用磁導(dǎo)率來(lái)表示磁介質(zhì)的導(dǎo)磁性能，磁導(dǎo)率用符號(hào)u表示，不同的媒介質(zhì)具有不同的磁導(dǎo)率。

磁導(dǎo)率的單位是亨利/米（用符號(hào)H/m表示）。

由實(shí)驗(yàn)測(cè)得真空中的磁導(dǎo)率，用符號(hào)u₀表示，其大小為：

任一磁介質(zhì)的磁導(dǎo)率與真空中的磁導(dǎo)率的比值叫做相對(duì)磁導(dǎo)率，用符號(hào)u_r表示，其數(shù)學(xué)表達(dá)式為：

相對(duì)磁導(dǎo)率的物理意義是：在其他條件相同的情況下，磁介質(zhì)中的磁感應(yīng)強(qiáng)度是真空中磁感應(yīng)強(qiáng)度的若干倍。

根據(jù)相對(duì)磁導(dǎo)率u_r的大小，可以把物質(zhì)分為三類(lèi)：

①反磁物質(zhì)，其相對(duì)磁導(dǎo)率u_r≤1，如銅、銀等。反磁物質(zhì)僅受到磁體非常微弱的排斥。

②順磁物質(zhì)，其相對(duì)磁導(dǎo)率u_r<1，如空氣、錫、鋁等。

③鐵磁物質(zhì)，其相對(duì)磁導(dǎo)率u_r?1，如鐵、鎳、鈷及其合金等。在相同條件下，鐵磁物質(zhì)中產(chǎn)生的磁場(chǎng)要比真空中產(chǎn)生的磁場(chǎng)強(qiáng)幾千甚至上萬(wàn)倍，如坡莫合金的相對(duì)磁導(dǎo)率u_r可高達(dá)幾萬(wàn)到十萬(wàn)以上。根據(jù)鐵磁物質(zhì)的磁性能，可以分為軟磁材料、硬磁材料和矩磁材料三類(lèi)。

軟磁材料的磁滯回線很窄（鐵磁材料在反復(fù)磁化過(guò)程中，磁感應(yīng)強(qiáng)度B的變化總是滯后于磁場(chǎng)強(qiáng)度H的變化，這一現(xiàn)象為磁滯，所得到的B-H曲線叫做磁滯回線），剩磁和矯頑力都很小，容易磁化也容易去磁，磁滯損耗小，如硅鋼片、坡莫合金、鐵淦氧等。

硅鋼片主要用于電動(dòng)機(jī)、變壓器、電磁鐵中。

坡莫合金用于高精度的交流儀表及小型變壓器中。

鐵淦氧磁體（鐵氧體）和磁介質(zhì)（鐵粉芯）被廣泛用于無(wú)線電電子工業(yè)和計(jì)算機(jī)技術(shù)方面，如收音機(jī)中的磁性天線（磁棒），電視機(jī)中的偏轉(zhuǎn)線圈的磁芯都屬于這種材料。

硬磁材料的磁滯回線較寬，具有很強(qiáng)的剩磁和較大的矯頑力，必須采用較強(qiáng)的外磁場(chǎng)才能使它們磁化，但一經(jīng)磁化，取消外磁場(chǎng)后，磁性不易消失，主要用于制造各種形狀的永久磁鐵和恒磁（如揚(yáng)聲器磁鋼）。

矩磁材料的磁滯回線呈矩形，在很小的外磁場(chǎng)作用下就能被磁化，并達(dá)到飽和，去掉外磁場(chǎng)后，磁性仍保持與飽和時(shí)一樣，主要用于制造記憶元件（如電子計(jì)算機(jī)中的磁芯）。

（4）磁場(chǎng)強(qiáng)度　為了消除磁介質(zhì)的影響，使磁路計(jì)算方便，引入了磁場(chǎng)強(qiáng)度這個(gè)物理量，磁場(chǎng)強(qiáng)度用符號(hào)H表示。磁場(chǎng)中任一點(diǎn)磁場(chǎng)強(qiáng)度的大小與磁介質(zhì)的性質(zhì)無(wú)關(guān)，只與產(chǎn)生磁場(chǎng)的電流及載流導(dǎo)體的空間布置情況有關(guān)。

磁場(chǎng)強(qiáng)度是一個(gè)矢量，其大小定義為磁場(chǎng)中某點(diǎn)的磁感應(yīng)強(qiáng)度B與磁介質(zhì)磁導(dǎo)率u的比值，其數(shù)學(xué)表達(dá)式為：

磁場(chǎng)強(qiáng)度的單位是安/米（用符號(hào)A/m表示）。

磁場(chǎng)強(qiáng)度H的方向和所在的磁感應(yīng)強(qiáng)度B的方向相同。

1.3.2　電感及電感元件的串聯(lián)和并聯(lián)

（1）電感　用導(dǎo)線繞制的線圈叫做電感元件。當(dāng)通過(guò)線圈本身的電流發(fā)生變化時(shí)，穿過(guò)線圈回路的磁通發(fā)生變化，則線圈中產(chǎn)生一種阻礙電流變化的感生電動(dòng)勢(shì)，這種現(xiàn)象叫做自感。由自感產(chǎn)生的感生電動(dòng)勢(shì)叫做自感電勢(shì)，用符號(hào)e_L表示。

為了得到e_L和外電流i之間的定量關(guān)系，把線圈的磁鏈（N匝線圈的磁通為線圈的磁鏈，用符號(hào)Φ表示）和電流的比值叫做自感系數(shù)，又叫電感，用符號(hào)L表示，其數(shù)學(xué)表達(dá)式為：

式中，Φ為電流i通過(guò)線圈時(shí)產(chǎn)生的自感磁鏈，Wb；i為通過(guò)線圈的電流，A；L為電感，H。

常用的電感單位還有毫亨（mH）和微亨（μH）。換算關(guān)系為：

1mH=10^-3H，1μH=10^-3mH=10^-6H。

電感是表示線圈產(chǎn)生自感磁鏈本領(lǐng)大小的物理量，其大小取決于線圈的結(jié)構(gòu)（匝數(shù)、尺寸）和鐵芯的磁導(dǎo)率。幾種典型結(jié)構(gòu)電感元件電感的計(jì)算公式如下。

長(zhǎng)螺管線圈（線圈長(zhǎng)度l與線圈骨架半徑R之比即>40）：

式中，u為磁介質(zhì)的磁導(dǎo)率，H/m；N為線圈的匝數(shù)；S為螺管線圈的截面積，m²；l為線圈的長(zhǎng)度，m；L為電感，H。

短螺管線圈：

式中，D為線圈直徑，m；d為線圈圓形導(dǎo)線直徑，m。

矩形線圈：

式中，r為線圈圓形導(dǎo)線半徑（r?a，r?b），m；a為矩形線圈中心寬，m；b為矩形線圈中心長(zhǎng)，m；。

圓環(huán)：

式中，r為圓環(huán)導(dǎo)線截面的半徑，m；R為圓環(huán)中心環(huán)圓的半徑，m。

圓截面直導(dǎo)線：

式中，r為圓形導(dǎo)線截面積的半徑（r?l），m；l為導(dǎo)線的長(zhǎng)度，m。

（2）電感元件的串聯(lián)　圖1-47為電感元件無(wú)互感效應(yīng)時(shí)的串聯(lián)電路及其等效電路。

等效電感計(jì)算的數(shù)學(xué)表達(dá)式為：

當(dāng)n個(gè)電感元件串聯(lián)時(shí)，其等效電感計(jì)算的數(shù)學(xué)表達(dá)式為：

有互感效應(yīng)時(shí)的電感元件異名端串聯(lián)等效電感的計(jì)算。

圖1-48為有互感效應(yīng)時(shí)的電感元件異名端串聯(lián)電路及其等效電路。

圖1-48中“·”為兩線圈的同名端（同名端：線圈繞向一致且感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)極性相同的端點(diǎn)叫做同名端，用符號(hào)“·”表示；反之為異名端）；M為兩線圈的互感（一個(gè)線圈中的電流發(fā)生變化，使另一個(gè)線圈中產(chǎn)生感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)的電磁感應(yīng)現(xiàn)象叫做互感現(xiàn)象。M為互感系數(shù)，簡(jiǎn)稱(chēng)互感；其大小取決于兩線圈的匝數(shù)、幾何尺寸、相對(duì)位置和磁介質(zhì)）。

等效電感計(jì)算的數(shù)學(xué)表達(dá)式為：

有互感效應(yīng)時(shí)的電感元件同名端串聯(lián)等效電感的計(jì)算。

圖1-49為有互感效應(yīng)時(shí)的電感元件同名端串聯(lián)電路及其等效電路。

等效電路計(jì)算的數(shù)學(xué)表達(dá)式為：

（3）電感元件的并聯(lián)　無(wú)互感效應(yīng)時(shí)的電感元件并聯(lián)等效電感的計(jì)算。

圖1-50為電感元件無(wú)互感效應(yīng)時(shí)的并聯(lián)電路及其等效電路。

等效電路計(jì)算的數(shù)學(xué)表達(dá)式為：

當(dāng)n個(gè)電感元件并聯(lián)時(shí)，其等效電路計(jì)算的數(shù)學(xué)表達(dá)式為：

有互感效應(yīng)時(shí)的電感元件異名端并聯(lián)等效電感的計(jì)算。

圖1-51為有互感效應(yīng)時(shí)的電感元件異名端并聯(lián)電路及其等效電路。

等效電感計(jì)算的數(shù)學(xué)表達(dá)式為：

有互感效應(yīng)時(shí)的電感元件同名端并聯(lián)等效電感的計(jì)算。

圖1-52為有互感效應(yīng)時(shí)的電感元件同名端并聯(lián)電路及其等效電路。

等效電感計(jì)算的數(shù)學(xué)表達(dá)式為：

1.3.3　磁路

工程上把能約束在鐵芯及其氣隙所限定的范圍內(nèi)的磁通路徑稱(chēng)為磁路。

磁路可分為無(wú)分支磁路和有分支磁路。

由勵(lì)磁電流產(chǎn)生的磁通可分為主磁通和副磁通兩部分。

全部在磁路中閉合的磁通稱(chēng)為主磁通。

部分經(jīng)過(guò)磁路，部分經(jīng)過(guò)磁路周?chē)奈镔|(zhì)而閉合的磁通以及全部不經(jīng)過(guò)磁路的磁通都稱(chēng)為漏磁通。由于漏磁通只占總磁通很小一部分，所以常將漏磁通略去不計(jì)。

1.3.4　磁路的歐姆定律

磁路中的磁通與磁通勢(shì)成正比，與磁阻成反比，這與電路中的歐姆定律相似，故稱(chēng)為磁路的歐姆定律。其數(shù)學(xué)表達(dá)式為：

式中，Φ為磁通，Wb；F為磁通勢(shì)，A；R_m為磁阻，H^-1；N為線圈匝數(shù)；I為通過(guò)線圈的勵(lì)磁電流，A；l為磁路長(zhǎng)度，m；S為磁路截面積，m²；u為磁介質(zhì)的磁導(dǎo)率，H/m。

磁路中的磁通Φ相當(dāng)于電路中的電流I；磁通勢(shì)F相當(dāng)于電動(dòng)勢(shì)E；磁阻R_m相當(dāng)于電阻R。

磁阻，即與磁路長(zhǎng)度、磁路截面積和磁介質(zhì)的磁導(dǎo)率有關(guān)。磁路越長(zhǎng)，磁阻越大；截面積越大，磁阻越小；且磁阻與磁路磁介質(zhì)的磁導(dǎo)率u成反比。

通常磁路由幾段截面積不同的鐵磁物質(zhì)組成，鐵磁物質(zhì)的磁導(dǎo)率u又不是常數(shù)，所以用磁路歐姆定律計(jì)算磁路很不方便，一般用磁路歐姆定律對(duì)磁路進(jìn)行定性分析。

1.3.5　磁路的基爾霍夫第一定律

對(duì)于有分支磁路，如圖1-53所示，任意取一個(gè)閉合面S，根據(jù)磁的連續(xù)性原理，進(jìn)入閉合面的磁通取負(fù)號(hào)，離開(kāi)閉合面的磁通取正號(hào)，通過(guò)閉合面的磁通的代數(shù)和等于零，這就是磁路的基爾霍夫第一定律，即：

或

即

式中，Φ為磁通，Wb。

1.3.6　磁路的基爾霍夫第二定律

磁路往往由多種材料制成，有時(shí)磁路中還包含氣隙，不同的材料其磁導(dǎo)率也就不同，因而磁路各部分的磁場(chǎng)強(qiáng)度H也會(huì)有所不同；由于各段的截面積可能不同，所以各段的磁感應(yīng)強(qiáng)度B有可能不同。但磁路中沿任意閉合回路的磁壓降Hl（即沿著磁路的磁場(chǎng)強(qiáng)度和磁路的平均長(zhǎng)度的乘積）的代數(shù)和等于沿該回路磁通勢(shì)NI的代數(shù)和，這就是磁路的基爾霍夫第二定律。即：

式中，Hl為磁壓降，A；NI為磁通勢(shì)，A。

上式中，若H的方向與閉合回路l的方向一致，則Hl前取正號(hào)，否則取負(fù)號(hào)；電流I的方向與閉合回路的方向符合右手螺旋法則（即安培定則），則NI前取正號(hào)，否則取負(fù)號(hào)。磁通勢(shì)F=NI是通過(guò)線圈的勵(lì)磁電流產(chǎn)生的。

1.3.7　恒定磁通無(wú)分支磁路的計(jì)算

已知磁通Φ求磁通勢(shì)NI，在漏磁通忽略不計(jì)時(shí)，無(wú)分支磁路的計(jì)算可按下述步驟進(jìn)行。

將磁路進(jìn)行分段，把材料相同、截面積相同的部分算作一段。

根據(jù)磁路尺寸算出各段的截面積平均長(zhǎng)度。

當(dāng)磁路中有氣隙存在時(shí)，磁通經(jīng)過(guò)氣隙，將向外擴(kuò)張形成邊緣效應(yīng)。當(dāng)空氣氣隙長(zhǎng)度δ很短時(shí)，空氣氣隙有效面積可用下面的經(jīng)驗(yàn)公式近似計(jì)算。

鐵芯截面是a×b矩形時(shí)：

鐵芯截面是半徑為r的圓形時(shí)：

當(dāng)δ很小時(shí)，δ²項(xiàng)忽略不計(jì)。

由已知磁通Φ，算出各段磁路的磁感應(yīng)強(qiáng)度B：

根據(jù)每一段的磁感應(yīng)強(qiáng)度，對(duì)于鐵磁性材料可查基本磁化曲線（見(jiàn)圖1-54），對(duì)于空氣氣隙可用公式算出。

根據(jù)每一段的磁場(chǎng)強(qiáng)度和平均長(zhǎng)度求出磁壓降H₁l₁、H₂l₂、H₃l₃…

根據(jù)磁路的基爾霍夫第二定律，求出所需的磁通勢(shì)，即

【例44】圖1-55所示磁路中，鐵芯用D11硅鋼片疊成，尺寸注明在圖上，單位為mm，勵(lì)磁繞組的匝數(shù)N=1000匝，求在該磁路中獲得Φ=1×10^-3Wb所需的勵(lì)磁電流是多少（片間絕緣忽略不計(jì)）？

【解】磁路雖然只由硅鋼片和空氣兩種材料構(gòu)成，但硅鋼片部分有兩種截面積，因此應(yīng)分為三段。

每段平均長(zhǎng)度和截面積：

每段的磁感應(yīng)強(qiáng)度：

每段的磁場(chǎng)強(qiáng)度：

在圖1-54中查得

H₁=250A/m

H₂=700A/m

空氣氣隙中的磁場(chǎng)強(qiáng)度

每段的磁壓降

【例45】磁路中E形鐵芯用D11硅鋼片疊成，磁軛用鑄造鋼制成，尺寸注明在圖上，單位為mm。求鐵芯中柱的磁通Φ=6×10^-4Wb時(shí)，所需磁通勢(shì)為多少（片間絕緣忽略不計(jì)）？

【解】根據(jù)材料和截面積的不同，將磁路分為5段。

各段磁路的平均長(zhǎng)度及截面積：

由于氣隙很小，故氣隙的截面積近似等于所對(duì)應(yīng)的鐵芯截面積，即

計(jì)算各段磁路的磁感應(yīng)強(qiáng)度：

求各段的磁場(chǎng)強(qiáng)度：

在圖1-54中查得

所需磁通勢(shì)

1.3.8　恒定磁通一般分支磁路的計(jì)算

計(jì)算方法類(lèi)似用支路電流法求解復(fù)雜電路，具體的計(jì)算步驟如下。

①畫(huà)出磁通的參考方向，勵(lì)磁電流的參考方向及回路循行方向。

②算出各段的截面積S和各段磁路的平均長(zhǎng)度l。

③用磁路的基爾霍夫第一定律??Φ=0列方程。

④用磁路的基爾霍夫第二定律??NI=??Hl列方程。

⑤根據(jù)已知磁通Φ，采用計(jì)算法或試探法進(jìn)行Φ—B—H—Hl次序計(jì)算。

1.3.9　交流鐵芯線圈

當(dāng)鐵芯線圈（其電阻忽略不計(jì)）的入端電壓按正弦規(guī)律變化時(shí)，則鐵芯中的磁也按正弦規(guī)律變化，即

式中， 。

兩邊除以得

在相位關(guān)系上，端電壓超前磁通90°，在量值關(guān)系上，端電壓有效值U=4.44NfΦ_m。

式中，f為外加交流電源電壓的頻率，Hz；N為線圈匝數(shù)；Φ_m為鐵芯中磁通的最大值，Wb；U為外加交流電源電壓的有效值，V。

【例46】要繞制一個(gè)鐵芯線圈，已知電源電壓是220V，頻率是50Hz，硅鋼片的厚度是0.5×10^-3m，磁路平均長(zhǎng)度是1m，線圈匝數(shù)為500。要想使鐵芯中的磁感應(yīng)強(qiáng)度為1.2T，問(wèn)鐵芯的截面積S應(yīng)多大？電流的最大值應(yīng)為多少（設(shè)線圈電阻和漏磁通可以忽略）？

【解】U=4.44NfΦ_m

當(dāng)B_m=1.2T時(shí)，鐵芯的截面積為：

在圖1-54中查得

當(dāng)B_m=1.2T時(shí)，H_m=250A/m。