第1章　電工基本計算

1.1　直流電路的計算

1.1.1　電路

電流通過的途徑叫電路。電氣元件或電氣設備用國家標準統一規定的圖形及文字符號，按一定的連接關系繪制的圖形叫電路圖，如圖1-1所示。

電路一般由電源、負載、開關和連接導線4個基本部分組成。

電源是把非電能轉換成電能的裝置，如干電池、發電機等。

負載是把電能轉換成其他形式能量的裝置，如電燈、電動機等。

開關是接通或斷開電路的控制元件，如刀開關、自動空氣開關等。

連接導線把電源、負載及開關連接起來，組成一個閉合回路，起傳輸和分配電能的作用。

電路通常有通路、開路及短路三種狀態。

通路：電路構成閉合回路，電路中有電流流過。

開路：電路斷開，電路中無電流通過，開路又稱為斷路。

短路：短路是電源未經負載而直接由導體構成閉合回路。短路時電源輸出的電流比允許的通路工作電流大很多倍，電源損耗大量的能量，一般不允許短路。當然短路狀態也可以應用，如保護接零時，使電路形成短路，導致保護電器動作而切斷電源，達到保護人身安全的目的。

1.1.2　電路中的幾個物理量

（1）電流　電荷有規則地定向移動稱作電流。

電流的大小取決于在一定時間內通過導體橫截面電荷量的多少，電流用符號I表示，其數學表達式為：

式中，Q為電荷量，C；t為時間，s；I為電流，A。

常用的電流單位還有千安（kA）、毫安（mA）和微安（μA）。換算關系為：1kA=10³A，1mA=10^-3A，1μA=10^-3mA=10^-6A。

電流不僅有大小，而且有方向，習慣上規定正電荷移動的方向為電流的方向。導體中移動的是電子，電子是負電荷，所以電子流的方向與電流方向相反。

（2）電流密度　當電流在導體的截面上均勻分布時，該電流與導體橫截面積的比值為電流密度，用字母J表示，其數學表達式為：

式中，I為電流，A；S為橫截面積，mm²； J為電流密度，A/ mm²。

【例1】某照明電路需要通21A的電流，問應采用多粗的銅導線（設J=6A/mm²）？

【解】

（3）電壓　電壓又稱電位差，是衡量電場力做功本領的物理量。如圖1-2所示，在電場中若電場力將點電荷Q從A點移動到B點，所做的功為W_AB，則功W_AB與點電荷Q的比值就稱為該兩點之間的電壓。電壓用符號U表示，其數學表達式為：

式中，U為電壓，V；W_AB為功，J；Q為電荷量，C。

常用的電壓單位還有千伏（kV）、毫伏（mV）和微伏（μV）。換算關系為：1kV=10³V，1mV=10^-3V，1μV=10^-3mV=10^-6V。

電壓亦有方向，即有正負。對于負載來說，規定電流流進端為電壓的正端，電流流出端為電壓的負端，電壓的方向由正指向負。

電壓的方向在電路圖中有兩種表示方法：一種用箭頭表示，如圖1-3（a）所示；另一種用正（+）、負（-）極性符號表示，如圖1-3（b）所示。

（4）電動勢　電動勢是衡量電流將非電能轉換成電能本領的物理量。電動勢的定義為：在電源內部外力將單位正電荷從電源的負極移動到電源正極所做的功。電動勢用符號E表示，其數學表達式為：

電動勢的單位與電壓相同，也是伏特（V）。電動勢的方向規定為：在電源內部由負極指向正極。電源中的電流與電動勢同向。

對于一個電源來說，既有電動勢，又有端電壓。電動勢只存在于電源內部；而端電壓則是電源加在外電路兩端的電壓，其方向由正極指向負極。電源開路時，電源的端電壓與電源的電動勢相等。

（5）電壓源　具有不變的電動勢和較低內阻的電源稱為電壓源。

把具有不變電動勢且內阻為零的電源稱為理想電壓源，簡稱恒壓源，恒壓源的代表符號如圖1-4所示。

電壓源可等效為理想電壓源E和內阻R₀的串聯，如圖1-5所示。

一般用電設備所需的電源，多數需要輸出較為穩定的電壓，要求電源的內阻越小越好，即要求實際電源的特性與理想電壓源盡量接近。

（6）電流源　把內阻無限大，能輸出恒定電流I_s的電源稱為理想電流源或稱恒流源，恒流源輸出的恒定電流I_s稱為電激流。恒流源的代表符號如圖1-6所示。

把電激流為I_s的恒流源與內阻R₀并聯的電路定義為電流源，如圖1-7所示。

晶體三極管工作于放大狀態時，就接近于恒流源。

（7）電阻　導體對電流的阻礙作用稱為電阻，用符號R表示。電阻的單位為歐姆，簡稱歐，用符號Ω表示。常用的電阻單位還有千歐（kΩ）、兆歐（MΩ），換算關系為：1kΩ=10³Ω，1MΩ=10³kΩ=10⁶Ω。

導體的電阻是客觀存在的，即使沒有外加電壓，導體仍有電阻。金屬導體的電阻大小與其幾何尺寸及材料性質有關，可按下式計算：

式中，R為電阻，Ω；l為長度，m；S為橫截面積，mm²；ρ為電阻率，Ω·m。

電阻還與溫度有關，金屬導體的電阻隨溫度升高而增大；而碳的電阻卻隨溫度升高而減小。

1.1.3　歐姆定律

（1）部分電路歐姆定律　在不包含電源的電路中，如圖1-8所示，流過導體的電流與這段導體兩端的電壓成正比，與導體的電阻成反比，即

式中，I為導體中的電流，A；U為導體兩端的電壓，V；R為導體的電阻，Ω。

【例2】有一個量程為300V（即測量范圍是0～300V）的電壓表，它的內阻R₀為40kΩ，用它測量電壓時，允許流過的最大電流是多少？

【解】由于電壓表的內阻是一個定值，測量的電壓越高，通過電壓表的電流就越大。因此，當被測電壓為300V時，該電壓表中允許流過的最大電流為：

（2）全電路歐姆定律　電源內為內電路，電源外的負載電路為外電路，全電路是指由內電路和外電路組成的閉合電路的整體。

全電路歐姆定律的內容是：在全電路中電流強度與電源的電動勢成正比，與整個電路的內、外電阻之和成反比。其數學表達式為：

式中，I為電路中的電流，A；E為電源的電動勢，V；R為負載電阻，Ω；R₀為電源內阻，Ω。

由上式可得：

E=IR+IR₀=U_外+U_內

式中，U_內是電源內阻的電壓降；U_外是電源對外電路輸出的電壓，也稱電源的端電壓。

因此，全電路歐姆定律又可表述為：電源電動勢在數值上等于閉合電路中內外電路電壓降之和。

【例3】如圖1-9所示電路，已知E=10V，R₀=0.1Ω，R=9.9Ω。求開關SA在1、2、3不同位置時，電路各處于什么狀態及電流表和電壓表的讀數。

【解】SA在1位時，電路處于通路狀態

U=IR=1×9.9=9.9V

SA在2位時，電路處于開路狀態

I=0

U=E=10V，即電源的開路電壓等于電源電動勢。

SA在3位時，電路處于短路狀態

U=E-IR₀=10-100×0.1=0

短路時，短路電流極大，不僅會損壞導線、電源和其他電氣設備，甚至會引起火災，因此除了合理的應用外，應絕對避免短路狀態。

1.1.4　電功與電功率

（1）電功　電流流過負載時，負載將電能轉換成其他形式的能（如：磁能、熱能、機械能等）的這一過程，稱之為電流做功，簡稱電功。用符號W表示，其數學表達式為：

式中，U為加在負載上的電壓，V；I為流過負載的電流，A；t為時間，s；W為電功，J。

（2）電功率　電流在單位時間所做的功，稱為電功率，簡稱功率。用符號P表示，其數學表達式為：

式中，P為電功率，W。

常用的電功率的單位還有千瓦（kW）、毫瓦（mW）等。換算關系為：1kW=10³W，1W=10³mW。

（3）電功的另一個單位——度　1度=1千瓦時（kW·h），1度表示功率為一千瓦的用電設備在1小時內所消耗的電能。

度與焦耳的換算關系如下：

1度=3.6×10⁶J

【例4】某電器的功率為150W，平均每天開機2h，若每度電費為0.61元，則一年（以365天計算）消耗多少度電，要交納多少電費？

【解】耗電W=Pt=150×10^-3×2×365=109.5（kW·h）=109.5度

電費為109.5×0.61=66.795元

1.1.5　電阻的串聯、并聯和混聯

（1）電阻的串聯　把兩個或兩個以上的電阻依次連接，組成一條無分支電路，這樣的連接方式叫做電阻的串聯，如圖1-10所示。

電阻串聯具有以下性質：

①電阻串聯電路中流過每個電阻的電流都相等，即

I=I₁=I₂=…=I_n

式中，腳標1，2，…，n分別代表第1，第2，…，第n個電阻（以下出現的含義相同）。

②電阻串聯電路兩端的總電壓等于各電阻兩端的分電壓之和，即

U=U₁+U₂+…+U_n

③電阻串聯電路的等效電阻（即總電阻）等于各串聯電阻值之和，即

R=R₁+R₂+…+R_n

根據歐姆定律U=IR，U₁=I₁R₁，…，U_n=R_nI_n及電阻串聯性質①可得下式：

上式表明，在電阻串聯電路中，各電阻上分配的電壓與電阻值成正比，即阻值越大的電阻分配到的電壓越大，反之越小。

若在兩個電阻串聯的電路中，已知總電壓U及電阻R₁、R₂，可得分壓公式如下：

在實際工作中，電阻串聯有如下應用：

①用幾個電阻串聯以獲得較大的電阻值；

②采用幾個電阻串聯構成分壓器，使同一電源能供給幾種不同數值的電壓；

③限制和調節電路中電流的大小；

④擴大電壓的量程。

【例5】圖1-11是一個萬用表表頭，它的等效內阻R_n=10kΩ，滿刻度電流（即允許通過的最大電流）I_s=50μA，若改裝成量程（即測量范圍）為10V的電壓表，則應串聯多大的電阻？

【解】按題意，當表頭滿刻度時，表頭兩端電壓U_s為

U_s=I_sR_s=50×10^-6×10×10³=0.5V

顯然用這個表頭測量大于0.5V的電壓會使表頭燒壞，需要串聯分壓電阻，以擴大測量范圍。設量程擴大到10V需要串入的電阻為R_x，則

由于電壓表的等效內阻很大，一般電路計算時不考慮其對計算結果的影響。

（2）電阻的并聯　兩個或兩個以上電阻接在電路中相同的兩點之間，承受同一電壓，這樣的連接方式叫做電阻的并聯，如圖1-12所示。

電阻并聯具有以下性質：

①電阻并聯電路的總電流等于流過各電阻的電流之和，即

I=I₁+I₂+…+I_n

②電阻并聯電路中各電阻兩端的電壓相等，且等于電路兩端的電壓，即

U=U₁=U₂=…=U_n

③電阻并聯電路的等效電阻（即總電阻）的倒數等于各并聯電阻的倒數之和，即

根據電阻并聯電路性質可得下式：

上式表明，在電阻并聯電路中通過各支路的電流與該支路的電阻值成反比，即阻值越大的電阻所分配到的電流越小，反之電流越大。

如果已知兩個電阻R₁、R₂并聯，并聯電路的總電流為I，則總電阻

兩個電阻中的電流I₁、I₂分別為

上式通常被稱為兩個電阻并聯時的分流公式。

在實際工作中，電阻并聯有如下應用：

①用幾個電阻并聯以獲得較小的電阻值。

②凡是額定工作電壓相同的負載都采用并聯的工作方式，這樣每個負載都是一個可獨立控制的回路，任一負載的正常啟動或關斷都不影響其他負載的使用。例如：工廠中的電動機、電爐以及各種照明燈具均并聯工作。

③擴大電流表的量程。

【例6】求圖1-12所示電阻并聯電路的等效電阻R、總電流I、各負載電阻上的電壓及各負載電阻中的電流。

【解】等效電阻

總電流

各負載上的電壓

U₁=U₂=U=12V

各負載中的電流

或

I₂=I-I₁=6-2=4A

（3）電阻的混聯　既有電阻串聯又有電阻并聯的電路叫電阻混聯，如圖1-13所示。電阻混聯電路的串聯部分具有串聯電路的性質，并聯部分具有并聯電路的性質。

電阻混聯電路的分析，計算方法和步驟如下：分析電阻混聯電路時，應把混聯電路分解為若干個串聯和并聯關系的電路，然后在電路中各電阻的連接點上標注不同字母，再根據電阻串、并聯的關系逐一化簡，計算等效電阻，并作出等效電路圖。

【例7】已知圖1-13中的R₁=R₂=R₃=R₄=R₅=1Ω，求A、B間的等效電阻R_AB等于多少？

【解】通過對圖1-13所示電阻混聯電路的分析，可畫出如圖1-14所示的一系列等效電路，然后計算。

圖1-14（a）中R₁和R₂依次相連，中間無分支，它們是串聯的，共等效電阻為：

R'=R₁+R₂=1+1=2Ω

圖1-14（b）中R₃和R'都接在相同的兩點BC之間，它們是并聯的，其等效電阻為：

圖1-14（c）中R₄和R″串聯，其等效電阻為：

圖1-14（d）中R₅和R?并聯，其等效電阻為：

【例8】求圖1-15所示電阻混聯電路的等效電阻R，總電流I，各負載電阻上的電壓U₁、U₂及各負載電阻中的電流I₁、I₂及I₃。

【解】

U₂=U-U₁=12-8=4V

I₁=I=2A

1.1.6　電阻的星形連接和三角形連接的等效變換

（1）電阻的星形連接等效變換成三角形連接　將圖1-16（a）所示的電阻的星形連接等效變換成圖1-16（b）所示的電阻的三角形連接，已知R₁、R₂、R₃，求等效的R₁₂、R₂₃、R₃₁的公式為：

其中，若R₁=R₂=R₃=R_Y，則R₁₂=R₂₃=R₃₁=3R_Y。

（2）電阻的三角形連接等效變換成星形連接　將圖1-16（b）所示的電阻的三角形連接等效變換成圖1-16（a）所示的電阻的星形連接，已知R₁₂、R₂₃、R₃₁，求等效的R₁、R₂、R₃的公式為：

若R₁₂=R₂₃=R₃₁=R_△

則

【例9】求圖1-17所示的橋式電路1、5兩端的等效電阻R₁₅。

有兩種求解方法。

【解Ⅰ】將圖1-17（a）中三角形電阻連接1、2、3用等效星形電阻連接代替，如圖1-17（b）所示，得

然后用電阻的串并聯公式可求出

【解Ⅱ】將圖1-17（a）整理成圖1-18（a）所示的形式，以節點3為公共點，三個端鈕分別為1、2、4的星接電阻連接用等效三角形電阻連接代替，如圖1-18（b）所示，得

然后用電阻的串并聯公式可求出

1.1.7　電壓源與電流源的等效變換

圖1-19（a）為電壓源，圖1-19（b）為電流源，兩者可以等效變換。

具有電動勢E和內阻R₀的電壓源，可以等效變換為具有相同內阻的電流源，它的電流I_s為

具有電激流I_s和內阻R₀的電流源，可以等效變換為具有相同內阻的電壓源，它的電動勢E等于已知電流源的開路電壓，即

E=R₀I_s

【例10】圖1-19（a）中，已知E₁=10V，E₂=6V，I_s3=0.5A，R₀₁=1Ω，R₀₂=3Ω，R₀₃=10Ω，R=5Ω，求R中的電流I。

【解】

以上解題過程是把圖1-19（a）中的電壓源E₁、E₂轉變為電流源I_s1、I_s2，電流源I_s3轉變為電壓源E₃，得等效電路圖1-19（b）所示，再把圖1-19（b）中的電流源I_s1、I_s2求和得電流源I_s12，其等效電路為圖1-19（c），然后把圖1-19（c）中的電流源轉變為電壓源E₁₂，得等效電路圖1-19（d），最后應用歐姆定律求得電阻R上的電流I。

值得注意的是：在電壓源與電流源等效變換時，如某點是電壓源的參考正極性，變換后電流源其電流的參考方向應指向該點，如圖1-19所示。

1.1.8　復雜電路及相關名詞

（1）復雜電路　凡運用歐姆定律和電阻串并聯公式就能求解的電路稱為簡單電路；否則，就是復雜電路。復雜電路由多個電源和多個電阻復雜連接而成。

（2）相關名詞

①支路：電路中具有兩個端鈕且通過同一電流的每個分支（至少包含一個元件）叫支路。

②節點：三條和三條以上支路的連接點叫做節點。

③回路：電路中任一閉合路徑叫做回路，只有一個回路的電路叫單回路電路。

④網孔：在回路內部不含有支路的這種回路叫網孔。

【例11】指出圖1-20所示復雜電路中的支路、節點、回路和網孔。

【解】圖中有a1b、a2b兩條有源支路和ab一條無源支路。圖中有a、b兩個節點。圖中有a2b1a、a2ba、ab1a三個回路。圖中有a2ba、ab1a兩個網孔。

1.1.9　基爾霍夫定律

（1）基爾霍夫第一定律　基爾霍夫第一定律也稱節點電流定律，其內容是：流進一個節點的電流之和恒等于流出這個節點的電流之和。或者說流過任意一個節點的電流的代數和為零，其數學表達式為：

或

∑I=0

基爾霍夫第一定律表明電流具有連續性，在電路的任一節點上，不可能發生電荷的積累，即流入節點的總電量恒等于同一時間內從這個節點流出去的總電量。

【例12】圖1-21表示某復雜電路中的一個節點a。已知I₁=5A，I₂=2A，I₃=-3A，試求通過R的電流I₄。

【解】假設通過R的電流I₄的參考方向如圖1-21所示，根據基爾霍夫第一定律，列出節點電流方程為：

I₄為負值，說明I₄的實際方向和圖示的參考方向相反，即I₄的實際方向是從節點a流出的。

通過本例可見，在運用基爾霍夫第一定律時，常需和兩種符號打交道。一種是方程中各項電流前的正負號，其正負決定于電流參考方向對節點的相對關系。“流入為正，流出為負”；另一種是電流本身數值的正負號，如本例中各括號內的正負號。

（2）基爾霍夫第二定律　基爾霍夫第二定律也稱回路電壓定律，其內容是：在任意回路中，電動勢的代數和恒等于各電阻上電壓降的代數和，其數學表達式為：

∑E=∑IR

【例 13】求圖1-22所示電路中的回路電流I。

【解】列回路電壓方程前首先要確定電動勢及電壓降極性的正負。其方法是：若在圖中選擇一個回路方向。回路的方向可以任意選取，但一旦確定后，在解題的過程中不得改變，并以這個回路方向為標準來確定電動勢和電壓降極性的正負。其原則是：當電動勢的方向與回路方向一致時為正，反之為負；當支路電流方向與回路方向一致時，電壓降為正，反之為負。

例如，在圖1-22中，選定虛線所示方向為回路方向，E₂的方向與回路方向一致而取正，E₁的方向與回路方向相反而取負；電流方向與回路方向一致，所以電壓降全部取正。

根據基爾霍夫第二定律，列出回路電壓方程為：

∑E=∑IR

E₂-E₁=IR₁+IR₂

則該回路的電流

1.1.10　電流法求解復雜電路

（1）支路電流法求解復雜電路　對于一個復雜電路，先假設各支路的電流方向，再根據基爾霍夫定律列出方程進行計算的方法稱支路電流法。其步驟如下。

①先標出各支路的電流方向和電路的回路方向。對于具有兩個以上電動勢的回路，通常取電動勢大的方向為回路方向；支路電流方向也可參照此法來假設。

②用基爾霍夫第一定律列出節點電流方程。一個具有n條支路、m個節點（n>m）的復雜電路，需列出n個方程來聯立求解。由于m個節點只能列出m-1個獨立方程，這樣還缺n-（m-1）個方程，可由基爾霍夫第二定律補足。

③用基爾霍夫第二定律列出回路電壓方程。關于電動勢和電壓降正負極性的確定方法，如前所述。

④代入已知數，解聯立方程求出各支路的電流，并確定各支路電流的實際方向。其原則是：計算結果為正值時，實際方向和假設方向相同；計算結果為負值時，實際方向和假設方向相反。

【例14】用支路電流法求圖1-23所示電路中的各支路電流。

【解】假設各支路電流方向和回路方向如圖1-23所示。

電路中只有2個節點，所以只能列出一個節點電流方程。對節點A其節點電流方程為：

∑I=0

I₁+I₂-I₃=0

電路中有三條支路，需列三個方程，現已列出一個節點電流方程，其余兩個方程可由基爾霍夫第二定律列出，對于回路1和回路2其回路電壓方程分別為：

∑E=∑IR

R₁I₁+R₃I₃=E₁

R₂I₂+R₃I₃=E₂

代入已知數值，解聯立方程

用行列式分別求得：

所以

⑤確定各支路電流的實際方向。因為I₁和I₃為正值，所以它們的實際方向與假設方向相同；I₂為負值，其實際方向與假設方向相反。

（2）回路電流法求解復雜電路　先把復雜電路分成若干個最簡單的回路（即網孔），并假設各回路的電流方向，然后根據基爾霍夫第二定律列出各回路的電壓方程來求解，這種方法稱回路電流法。其步驟如下：

①先假設各網孔的回路電流方向。為了區別回路電流和支路電流，一般回路電流符號用雙腳標，如I₁₁、I₂₂等。

②根據基爾霍夫第二定律列出回路電壓方程（有幾個網孔，就得列幾個回路電壓方程）。必須指出，在列回路電壓方程時，應使在任意一個回路內，所有電動勢的代數和等于本回路電流在各電阻上的電壓降以及相鄰回路電流在公共支路電阻上的電壓降的代數和。

電動勢的正負方向規定為：當電動勢的正方向與回路電流方向一致時為正，反之為負。

電壓降的正負方向可分兩種情況來處理：本回路電流在本回路所有電阻上產生的電壓降都為正；如相鄰回路電流與本回路電流在通過公共支路時的方向一致，則相鄰回路電流在公共支路電阻上的電壓降為正，反之為負。

代入已知數，解聯立方程組，求回路電流。

先定各支路電流的參考方向，根據單獨支路的電流就是本回路電流，公共支路的電流等于相鄰回路電流代數和的原則，求出各支路電流（當回路電流的假設方向與支路電流的參考方向一致時，回路電流的符號前取正號，反之取負號）。

最后確定各支路電流的實際方向，其原則是當計算結果為正值時，表示實際方向與選定的參考方向相同；計算結果為負值時，表示實際方向與選定的參考方向相反。

【例15】用回路電流法求圖1-24所示電路中的各支路電流。

【解】假設回路電流方向如圖1-24所示。

根據基爾霍夫第二定律列出兩個網孔的回路電壓方程為：

（R₁+R₃）I₁₁+R₃I₂₂=E₁

（R₂+R₃）I₂₂+R₃I₁₁=E₂

代入已知數，解聯立方程

5I₁₁+4I₂₂=18

4I₁₁+5I₂₂=9

9I₁₁=54

I₁₁=6A

將I₁₁=6A代入得

I₂₂=-3A

選定各支路電流的參考方向如圖1-24所示。各支路電流為有關回路電流的代數和，即

I₁=I₁₁=6A

I₂=I₂₂=-3A

I₃=I₁₁+I₂₂=6-3=3A

I₁、I₃均為正值，表示它們的實際方向與圖中假設的方向一致。I₂為負值，其實際方向與假設方向相反。

1.1.11　疊加原理求解復雜電路

疊加原理能將復雜電路簡化為簡單電路，其內容是：當線性電路中有幾個電源共同作用時，各支路的電流（或電壓）等于各個電源單獨作用時在該支路上產生的電流（或電壓）的代數和（疊加）。

使用疊加原理時，應注意下列幾點：

①只能用來計算線性電路的電流和電壓，對非線性電路，疊加原理不適用；

②疊加時要注意電流和電壓的參考方向，至于各電流和電壓前的正號或負號，由參考方向的選擇而定；

③疊加時，電路的連接及所有電阻不變，所謂電動勢不作用，就是用短路線代替該電動勢；電流源不作用，就是在該電流源處用開路代替。

由于功率不是電流或電壓的一次函數，所以不能用疊加原理來計算功率。

【例16】用疊加原理求圖1-25（a）所示電路中的支路電流I₁和I₂。

【解】根據疊加原理做出圖1-25（b）和圖1-25（c），圖1-25（b）中電流源I不作用，以開路代替；而圖1-25（c）中電動勢E不作用，以短路線代替。

在圖1-25（b）中

在圖1-25（c）中

最后，將各電源單獨作用時產生的各支路電流進行疊加，即可求出原電路中各支路電流。疊加時，圖1-25（b）和圖1-25（c）中各支路電流分量與圖1-25（a）中原支路電流假設方向一致時取正號，反之取負號，即

I₁為負值，其實際方向與假設方向相反；I₂為正值，其實際方向與假設方向相同。

1.1.12　戴維南定理求解復雜電路

戴維南定理又叫等效發電機定理、等效電源定理或有源二端網絡定理等。其內容是：任何一個有源二端線性網絡都可以用一個具有恒定電動勢和內阻的等效電源來代替，此恒定電動勢就等于有源二端網絡的開路電壓，而內阻等于網絡內所有電源都不起作用時的無源二端網絡的等效電阻（此時，網絡內所有的電動勢均應為零，即恒壓源處于短路狀態，而恒流源應處于開路狀態）。

用戴維南定理求某一支路電流的步驟如下：

①把復雜電路分成待求支路和有源二端網絡兩部分。

②把待求支路斷開，求出有源二端網絡的開路電壓。

③將網絡內各恒壓源短路，恒流源開路，求出無源二端網絡的等效電阻。

④畫出等效電源圖，其電動勢等于有源二端網絡的開路電壓，內阻等于無源二端網絡的等效電阻，將等效電源重新接上待求支路，根據全電路歐姆定律即可求出該支路的電流。

【例17】用戴維南定理求圖1-26（a）所示電路中R₃上的電流。

【解】在圖1-26（b）中，有源二端網絡的開路電壓為：

在圖1-26（c）中，無源二端網絡的等效電阻為：

在圖1-26（d）中，電阻R₃上的電流為：

R₀=R_AB

E₀=U_AB

1.1.13　電容器及電容器的并聯、串聯和混聯

（1）電容器　由兩個導體，中間隔以介質構在的裝置叫電容器，此導體稱為電容器的極板。電容器是一種能夠儲存電場能量的元件，用符號C表示。

反映電容器儲存電場能量大小的物理量是電容量，簡稱電容，也用符號C表示。電容器的電容量等于它的任一極板所儲存的電荷量與兩極板間電壓的比值，即：

式中，Q為電荷量，C；U為兩極板間的電壓，V；C為電容量，F。

常用的電容量單位還有微法（μF）和皮法（pF）。換算關系為：1μF=10^-6F，1pF=10^-6μF=10^-12F。

電容器電容量的大小取決于本身的形狀、尺寸和介質。當電容器的結構和介質確定后，共電容量就是一個定值。幾種典型結構電容器電容量的計算公式如下。

①平板電容器：

式中，ε₀為真空介質電常數，其值為8.85×10^-12F/m；ε_r為相對介質常數；S為極板有效面積，m²；d為兩極板間的距離，m；C為電容量，F。

②球形電容器：

式中，r₁為內球外表面的半徑，m；r₂為外球內表面的半徑，m。

③圓柱形電容器：

式中，l為圓柱形電容器的長度，m；r₁為內柱外表面的半徑，m；r₂為外柱內表面的半徑，m。

電容器的指標有電容量、誤差范圍、耐壓、介質損耗、絕緣電阻和穩定性等。在一般情況下，電容器的主要指標是指電容量和耐壓。

耐壓也叫額定工作電壓，是電容器長期工作時所能承受的最大電壓。為保證電容器的安全使用，應使加在電容器兩端的實際工作電壓小于它的耐壓。

電容器的應用十分廣泛，其中最主要的就是電容器在一定條件下可以充電、放電以及起到隔直流通交流的作用。

（2）電容器的并聯　兩個或兩個以上的電容器，接在電路相同兩點之間，承受同一電壓的連接方式叫做電容器的并聯，如圖1-27所示。

電容器并聯具有以下性質：

①每個電容器兩端的電壓相同，并等于外加電壓U，即

U=U₁=U₂=…=U_n

②各并聯電容器的等效電容所帶的電荷量Q等于各并聯電容器所帶電荷量之和，即

Q=Q₁+Q₂+…+Q_n

③并聯電容器的等效電容量C等于各并聯電容器的電容量之和，即

C=C₁+C₂+…+C_n

上式說明并聯電容器的等效電容量總是大于其中任何一個并聯電容器的電容量，電容器并聯相當于加大了儲存電場能量的極板面積，所以在電容量不足的情況下，可將幾個電容并聯使用。

并聯電容器兩端所能承受的最大工作電壓（即等效電容的耐壓），由其中耐壓值最低的一個電容器來決定，如果外加電壓大于該電容的耐壓，它將被擊穿，使電路短路。

【例18】電容器C₁=200μF，其耐壓為25V；電容器C₂=1000μF，其耐壓為100V。試求它們并聯后的等效電容量及電路兩端允許加的最大工作電壓。

【解】C₁和C₂并聯后的等效電容量為：

C=C₁+C₂=200+1000=1200μF

電路兩端的最大工作電壓由耐壓最低的電容器決定，所以電路兩端允許加的最大工作電壓為25V。

（3）電容器的串聯　兩個或兩個以上的電容器依次連接，中間無分支的連接方式叫做電容器的串聯，如圖1-28所示。

電容器串聯具有以下性質：

①各個電容器上所帶的電荷量相等，并等于電容器串聯后的等效電容器上所帶的電荷量Q，即

Q=Q₁=Q₂=…=Q_n

②串聯電容器兩端的總電壓U等于各個電容兩端電壓之和，即

U=U₁+U₂+…+U_n

上式說明電容器串聯相當于儲存電場能量的極板之間的距離加長，所以，當一個電容器的耐壓不夠大時，可將幾個電容器串聯使用（這時還需考慮電容量的改變）。

③串聯電容器的等效電容量的倒數，等于各串聯電容器電容量的倒數之和，即

上式說明串聯電容器的等效電容量小于其中任何一個串聯電容器的電容量，而且串聯的電容器越多，總的等效電容量越小。

兩個串聯電容器的等效電容量為：

各串聯電容器兩端所承受的電壓與其電容量成反比，即

或

上式說明電容器在串聯時，電容量越小的電容器承受的電壓越高。

兩個串聯電容器的分壓公式為：

【例19】現有兩個電容器，其中C₁的電容量為2μF，耐壓為160V；C₂的電容量為10μF，耐壓為250V。如果將兩個電容器串聯后接在300V的直流電源上，問它們的總電容量是多少？這樣使用是否安全？

【解】總電容量

電源電壓在C₁、C₂上的分配為

由于C₁實際承受的電壓為250V，大于其耐壓160V，所以很快被擊穿。C₁一旦被擊穿，300V的電源電壓將全部加在C₂的兩端，大于C₂的耐壓250V（注意這時U₂不再是50V），C₂也被擊穿，所以這樣使用不安全。

（4）電容器的混聯　三個或三個以上的電容在連接時，既有并聯又有串聯的連接方式，叫電容器的混聯，如圖1-29所示。

計算混聯電容器的等效電容量時，應根據具體情況分別應用串聯和并聯的知識來求解。

【例20】圖1-29中，已知C₁=C₂=C₃=50μF，求等效電路。

【解】