4.4　二元線性回歸分析

在實(shí)際工作中，影響因變量（y）的自變量（x）往往不止一個(gè)，可能有多種因素，這就需要用多元回歸分析方法。多元回歸分析的基本原理與一元回歸方法相同，由于自變量多，計(jì)算較為復(fù)雜。二元線性回歸分析是多元線性回歸中最簡(jiǎn)單的情況。

4.4.1　二元線性回歸方程求解

設(shè)兩個(gè)自變量分別為x₁和x₂，因變量為y，二元線性回歸方程可表示為：

　?。?-61）

式中，a為常數(shù)項(xiàng)，b₁、b₂分別為x₁、x₂的偏回歸系數(shù)，反映x₁、x₂對(duì)因變量y的影響程度。通過一系列自變量（x₁₁，x₂₁）、（x₁₂，x₂₂）、…、（x_1n，x_2n），分別測(cè)量得因變量y₁、y₂、…、y_n，用最小二乘法確定常數(shù)項(xiàng)a和偏回歸系數(shù)b₁、b₂。

與一元線性回歸方程類似，二元線性回歸方程的變差平方和可表示為：

　　（4-62）

滿足變差平方和的條件是：

　?。?-63）

　　（4-64）

　　（4-65）

解式（4-63）得：

　?。?-66）

將式（4-66）代入式（4-64）、式（4-65），得：

　?。?-67）

　?。?-68）

令

解式（4-67）和式（4-68），整理得：

　?。?-69）

　?。?-70）

回歸方程中的a用式（4-66）計(jì)算。

4.4.2　二元線性回歸方程的顯著性檢驗(yàn)

4.4.2.1　方差分析

在求得二元線性回歸方程后，需要確認(rèn)y與x₁、x₂之間是否存在顯著的相關(guān)性，為此可進(jìn)行方差分析。

與一元線性回歸方程類似，可將y的總變差平方和Q_T分解成回歸變差平方和Q_R和剩余變差平方和Q_e，這樣：

式中，

計(jì)算方差分析統(tǒng)計(jì)量：

　　（4-71）

對(duì)給定顯著性水平α，當(dāng)，則認(rèn)為在顯著性水平下，y與x₁、x₂存在顯著的線性關(guān)系。反之，不存在顯著的線性關(guān)系。

表4-18給出了多元線性回歸方程方差分析表。

4.4.2.2　相關(guān)系數(shù)

與一元線性回歸方程相似，在二元線性回歸方程中要檢驗(yàn)因變量y與自變量x₁、x₂的相關(guān)性，可用一個(gè)全相關(guān)系數(shù)R來(lái)表征它們之間的相關(guān)性。

　?。?-72）

對(duì)二元線性方程，亦可表示為：

　?。?-73）

當(dāng)R≥r_{0.05，（n-3）}時(shí)，認(rèn)為所建立的回歸方程在95%置信水平是有意義的。對(duì)二元回歸方程，還可檢驗(yàn)y對(duì)x₁或x₂是否有顯著意義。類似一元回歸方程的相關(guān)系數(shù)計(jì)算［式（4-14）］，用和分別表示y對(duì)x₁和y對(duì)x₂的偏相關(guān)系數(shù)，用表示y對(duì)x₁與x₂的偏相關(guān)系數(shù)，有：

　?。?-74）

并有：

　?。?-75）

4.4.3　二元線性回歸方程的精度

類似于一元線性回歸方程，對(duì)于二元線性回歸方程，用殘余標(biāo)準(zhǔn)差表示回歸方程的精度：

　?。?-76）

式中，Q_e是殘差平方和；ν是自由度；n是回歸方程試驗(yàn)點(diǎn)數(shù)目；m是回歸方程自變量數(shù)目。對(duì)二元回歸方程：m=2，ν=n-3。

【例4-9】　已知某礦區(qū)鐵精礦的全鐵含量與其二氧化硅和三氧化鋁含量有關(guān)，通常，二氧化硅和三氧化鋁含量高，則全鐵含量低。根據(jù)12個(gè)樣本的測(cè)量結(jié)果（表4-19），試計(jì)算它們的回歸方程、相關(guān)系數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)差。

解　本題按二元一次方程求解，將表4-19各數(shù)據(jù)填入Excel表格，計(jì)算以下參數(shù)：

按式（4-69）、式（4-70）和式（4-66）

由此，回歸方程表示為：y=69.91-0.981x₁-1.222x₂

按式（4-72），求全相關(guān)系數(shù)R：

按式（4-76），計(jì)算回歸方程標(biāo)準(zhǔn)差s_e：

二元一次方程的計(jì)算較為復(fù)雜，而且容易出錯(cuò)。在實(shí)踐中可利用Excel的數(shù)據(jù)分析/回歸功能進(jìn)行計(jì)算，在y值輸入?yún)^(qū)域輸入Fe含量，在x值輸入?yún)^(qū)域輸入SiO₂和Al₂O₃含量，即可計(jì)算并給出回歸方程的a、b₁、b₂、R和s_e等參數(shù)（見第13章圖13-23）。

4.4.4　二元非線性化回歸

對(duì)二元非線性回歸，可用一元非線性回歸方程的方法處理，先將自變量設(shè)置為線性項(xiàng)，然后按二元線性回歸方法處理，求出常數(shù)項(xiàng)a和回歸系數(shù)b₁、b₂，建立回歸方程。在此基礎(chǔ)上進(jìn)行方程的顯著性檢驗(yàn)，計(jì)算回歸方程的殘余標(biāo)準(zhǔn)差和相應(yīng)的置信區(qū)間。