3.2　單因素方差分析

3.2.1　單因素方差分析一般方法

以下進一步討論單因素方差分析的原理和一般統(tǒng)計方法。

設(shè)有m個樣本，它們來自具有共同方差σ²的m個正態(tài)總體。如果原假設(shè)H₀：μ₁=μ₂=…=μ_m=μ成立，則m個總體既具有共同的方差σ²，又有共同的均值。因此，從m個完全相同的總體中各抽取一個樣本，就相當于從同一總體中抽取m個樣本。在原假設(shè)H₀成立的條件下，總方差估計值、試驗因素和試驗誤差方差估計值具有相同的期望值σ²。由此，計算試驗數(shù)據(jù)總變差平方和、試驗因素變差平方和和試驗誤差平方和，根據(jù)各自的自由度，統(tǒng)計總方差估計值、試驗因素方差估計值和試驗誤差方差估計值，采用F檢驗法判斷試驗因素方差與試驗誤差方差是否存在顯著性差異。由于原假設(shè)為m個總體的均值μ₁、μ₂、…、μ_m都相同，方差分析的實質(zhì)就是檢驗多個總體的均值是否一致。

通過對以上實例的分析，方差分析的統(tǒng)計程序可簡單表示為：

①提出原假設(shè)H₀和備擇假設(shè)H₁，

H₀：μ₁=μ₂=…=μ_m

H₁：各總體均值不全部相等

②由樣本值計算各項變差平方和及其自由度，計算各項方差估計值；

③選擇顯著性水平α，由F分布表查出相應自由度下的臨界值，顯著性水平α的取值由試驗和評價要求決定；

④計算統(tǒng)計量F值；

⑤將F值與比較，若，接受原假設(shè)，表示試驗因素沒有顯著影響。當，拒絕原假設(shè)H₀，接受備擇假設(shè)H₁，表示試驗因素有顯著影響；

⑥通常，如果，表示試驗因素的影響是顯著的，在“顯著性”欄標記^*，如果，表示試驗因素的影響是高度顯著的，標記^**。

為清晰顯示方差分析過程，可將試驗數(shù)據(jù)、方差分析統(tǒng)計參數(shù)分別列表表示，如表3-1～表3-4所示。

單因素方差分析有等重復測量次數(shù)和不等重復測量次數(shù)兩種試驗情況。

3.2.2　各水平等重復次數(shù)的單因素方差分析

設(shè)一個單因素試驗，因素A取m個不同水平，每個水平重復n次試驗，所得試驗結(jié)果如表3-3所示。

表中x_ij表示水平A_i在第j次試驗中的測量結(jié)果，

　　（3-1）

　　（3-2）

和分別表示水平A_i測量結(jié)果的平均值和測量的總平均值。

計算測量結(jié)果總的變差方和：

由于

因此

不難發(fā)現(xiàn)，試驗誤差變差平方和：

　　（3-3）

因素A的變差平方和：

　　（3-4）

所以

　　（3-5）

另外，Q_T、Q_A和Q_e還可表示為

令分別為各水平全部測量值的總和及第i水平時測量值總和，則

　　（3-6）

　　（3-7）

　　（3-8）

Q_T平方和與nm個數(shù)據(jù)有關(guān)，其自由度ν_T=nm-1，Q_A平方和與m個組（因素）有關(guān)，自由度ν_A=m-1，而Q_e涉及m組nm個數(shù)據(jù)，其自由度ν_e=nm-m=m（n-1）。由此：

　　（3-9）

分別計算因素A的方差估計值和誤差的方差估計值：

　　（3-10）

　　（3-11）

計算統(tǒng)計量F_A，進行F檢驗：

　　（3-12）

按原假設(shè)，和都是σ²的無偏估計，所以兩者的比值F_A應接近于1。如果F_A值比1大得很多，即因素A的方差估計值比試驗誤差方差估計值大得很多，說明樣本值同原假設(shè)有顯著差異，拒絕原假設(shè)。

對于給定顯著性水平α，查F分布表，如果，拒絕原假設(shè)。

對以上統(tǒng)計的方差分析參數(shù)以表3-4表示。

第9章表9-1、表9-2列出了標準物質(zhì)均勻性檢驗方差分析表實例。

3.2.3　各水平不等重復次數(shù)的單因素方差分析

在試驗中，如果各水平的重復次數(shù)不同，分別為n_i，則

　　（3-13）

則Q_A、Q_e和Q_T可表示為：

　　（3-14）

　　（3-15）

　　（3-16）

試驗設(shè)計有m個水平，每水平進行n_i次，共N次試驗。因此，Q_T平方和的自由度ν_T=N-1，Q_A平方和的自由度ν_A=m-1，Q_e涉及m組N個數(shù)據(jù)，其自由度ν_e=N-m。

【例3-2】　采用ICP發(fā)射光譜法測定鐵礦石中的鋁，試樣用碳酸鈉/四硼酸鈉熔融分解，酸浸取，定容于250mL容量瓶中，于ICP光譜儀測量鋁308.22nm光譜強度。現(xiàn)考察樣品中的鐵量（30%～70%）對鋁含量測定的影響，試驗數(shù)據(jù)列于表3-5，所有測量結(jié)果均在含60%鐵量的校準曲線上查取，試評價樣品所含鐵量對鋁量測定的影響。

本例是不等重復次數(shù)的單因素多水平試驗，按式（3-14）～式（3-16）計算鐵量影響的變差平方和、試驗誤差的變差平方和和總的試驗變差平方和，以及相應的自由度，由此計算相應的方差估計值，將這些統(tǒng)計參數(shù)填入表3-6中，最后計算得方差分析統(tǒng)計量F_A=2.15，F_A小于F_{0.05（5，14）}和F_{0.01（5，14）}。

由此，樣品中的鐵量在30%～70%內(nèi)變化，對鋁量測定的影響不顯著，在分析測試時可采用含同一鐵量（如60%或其他的鐵量）的校準曲線。本例試驗數(shù)據(jù)的Excel表格計算見第13章圖13-16。

不等重復次數(shù)的單因素多水平試驗較等重復次數(shù)的單因素多水平試驗的數(shù)據(jù)處理要麻煩。當總的試驗次數(shù)N相同時，等重復次數(shù)試驗的精度比不等重復次數(shù)試驗要好。通常情況下的試驗多設(shè)計為等重復測量次數(shù)。