3.4　計(jì)盒維數(shù)

分形盒維數(shù)是應(yīng)用性最強(qiáng)的維數(shù)之一。盒維數(shù)定義為：

　　（3-11）

式中　A——n維歐氏空間Eⁿ的一個(gè)子集；

D（A）——集合A的計(jì)盒維數(shù)；

δ——覆蓋集合A的盒子的直徑；

N（δ，A）——覆蓋集合A所需直徑最大為δ的集的最少數(shù)目。

實(shí)際應(yīng)用中為了計(jì)算盒維數(shù)，通常用尺度為L的盒子（盒子應(yīng)廣義地理解為任意的歐氏維數(shù)的盒子）去覆蓋分形體，然后數(shù)出能完全覆蓋住分形體的最少盒子數(shù)N（L）。由不同的盒子尺度L可得到不同的盒子數(shù)N（L）與其對(duì)應(yīng)。最后，將這一系列的N（L）、L數(shù)據(jù)做lnN（L）～ln（1/L）圖，如能得到一條直線，就說(shuō)明N（L）與L具有如下關(guān)系：

　　（3-12）

式中　D——分形體的計(jì)盒維數(shù)；

L——覆蓋分形體的盒子的長(zhǎng)度；

N（L）——完全覆蓋住分形體的最少盒子數(shù)。

如果lnN（L）～ln（1/L）圖上只有一部分呈直線時(shí)，則此圖形的自相似性只存在于直線部分的測(cè)度范圍內(nèi)。一般而言，實(shí)際分形只存在于有限的范圍內(nèi)。

利用分形盒維數(shù)法來(lái)研究污染物時(shí)間序列在各強(qiáng)度閾值上的標(biāo)度性質(zhì)，其具體方法為^{［32，33，34］}：首先，用不同的閾值（T_h）將原始空氣污染序列轉(zhuǎn)變?yōu)辄c(diǎn)集T_h（t）。圖3-1所示為將原始PM_2.5濃度數(shù)據(jù)在閾值T_h=75μg/m³下轉(zhuǎn)變?yōu)辄c(diǎn)集的過(guò)程。例如，若閾值為數(shù)據(jù)的平均值（記為1·mean），則表示原時(shí)間序列中，每個(gè)數(shù)值大于平均值的數(shù)據(jù)才能被認(rèn)為是一個(gè)點(diǎn)。圖3-1以PM_2.5污染濃度序列為例，設(shè)定閾值為T_h=75μg/m³，將高于75μg/m³的污染濃度序列轉(zhuǎn)化為時(shí)間軸上分布的點(diǎn)集。然后，用一系列的特征時(shí)間尺度（L）將整個(gè)原始序列空間劃分成不重復(fù)的許多個(gè)小段（即盒子）。隨后統(tǒng)計(jì)出覆蓋整個(gè)數(shù)據(jù)集所需要的盒子個(gè)數(shù)N（L），即所有包含有點(diǎn)的盒子個(gè)數(shù)。如果表達(dá)式N（L）=成立，則數(shù)據(jù)集存在標(biāo)度不變性。此時(shí)，若以lg（L）為橫軸，lg［N（L）］為縱軸作圖，所得曲線則為一直線，其斜率的負(fù)值為D_B。此時(shí)得到的D_B是在一定的閾值下PM_2.5污染濃度的分形盒維數(shù)。因此，這種方法直接刻畫了原時(shí)間序列中高污染濃度在時(shí)間上的分布特征。