2.2　具有反饋通道丟包的網(wǎng)絡化系統(tǒng)的滾動時域狀態(tài)估計

2.2.1　問題描述

本小節(jié)針對反饋通道存在數(shù)據(jù)包丟失的情況，研究遠程被控對象狀態(tài)無法測得時的狀態(tài)估計問題。由于傳感器到控制器之間的數(shù)據(jù)包是經(jīng)過一個不可靠的共享網(wǎng)絡進行傳輸，所以不可避免地存在數(shù)據(jù)包丟失現(xiàn)象。為了這一研究目標，建立一個典型網(wǎng)絡化控制系統(tǒng)，如圖2-1所示。其中，這個網(wǎng)絡化控制系統(tǒng)是由傳感器、不可靠共享網(wǎng)絡、估計器、控制器和被控對象構成。首先，考慮如下離散時間線性時不變系統(tǒng)：

如圖2-1所示，傳感器在每一采樣時刻測量系統(tǒng)輸出并通過不可靠共享網(wǎng)絡將其傳送至遠程估計器。然而，在數(shù)據(jù)包傳輸過程中，不可避免地存在數(shù)據(jù)包丟失現(xiàn)象，這里僅考慮傳感器與估計器之間的數(shù)據(jù)包丟失而沒有考慮控制器與被控對象之間的數(shù)據(jù)包丟失。不失一般性，不可靠共享網(wǎng)絡可以看作一個在隨機模式下閉合和斷開的開關^[7]，其中開關閉合表示通道沒有丟包，以及開關斷開表示通道存在丟包。這樣，在任意k時刻，當系統(tǒng)輸出（k）成功傳輸?shù)竭h程估計器時，則有y（k）＝（k）。反之，當數(shù)據(jù)包丟失時，估計器采用零階保持器（Zero Order Holder，ZOH），保持前一時刻的數(shù)據(jù)，即y（k）＝y(tǒng)（k－1）。由上所述，得到下列具有隨機丟包的網(wǎng)絡化控制系統(tǒng)模型：

其中，隨機變量γ（k）表征由不可靠共享網(wǎng)絡傳輸數(shù)據(jù)時數(shù)據(jù)包的到達狀態(tài)，并且滿足在0與1間取值的Bernoulli分布，從而有

其中，γ表示數(shù)據(jù)包的到達概率，γ（k）＝1表示k時刻無丟包，而γ（k）＝0表示k時刻有丟包；E·表示期望算子。此外，假設隨機變量γ（k）與噪聲、系統(tǒng)狀態(tài)以及系統(tǒng)輸入輸出之間相互獨立。顯然，在k時刻估計器已知傳感器的數(shù)據(jù)包是否發(fā)生丟失，也就是說，估計器已知k時刻數(shù)據(jù)包的到達狀態(tài)γ（k）[通過比較y（k）與y（k－1）的值可知到達狀態(tài)γ（k）]。

備注2.1　在文獻[1，6]中，Kalman濾波器的更新模型依賴于是否得到當前k時刻的數(shù)據(jù)包，而沒有考慮數(shù)據(jù)包發(fā)生丟失時測量數(shù)據(jù)的補償問題，且給出了一個相對簡單的丟包模型。然而，這里所描述的丟包模型（2-2）考慮了數(shù)據(jù)包丟失的補償策略，即當k時刻的數(shù)據(jù)包發(fā)生丟失時采用k－1時刻的觀測數(shù)據(jù)y（k－1）作為當前觀測數(shù)據(jù)y（k）以補償丟包帶來的影響，這樣顯得更加合理。這種策略可以由零階保持器實現(xiàn)。此外，如果該模型（2-2）用于文獻[1，6]，那么將不能得到相關的結論。

綜合公式（2-1）與公式（2-2），得到了具有隨機丟包的網(wǎng)絡化控制系統(tǒng)模型，下面將基于此模型研究具有隨機丟包的NCSs的狀態(tài)估計問題。由于本小節(jié)沒有考慮控制器的設計，因此為了分析估計誤差的穩(wěn)定性，假定對于任意噪聲{w（k）}與{v（k）}存在一個初始狀態(tài)x（0）和控制序列u（k），使得狀態(tài)軌跡x（k）保持在一個緊凸集X里。

備注2.2　對于滿足Bernoulli分布的隨機變量γ（k），其具有以下一些性質：var[γ（k）]＝γ（1－γ），E[γ²（k）]＝γ，E{[1－γ（k）]²}＝1－γ，E{γ（k）[1－γ（t）]}＝γ（1－γ），k≠t等。

2.2.2　網(wǎng)絡化滾動時域狀態(tài)估計器設計

為了克服數(shù)據(jù)包丟失帶給網(wǎng)絡化控制系統(tǒng)的不確定性影響，本節(jié)介紹了一種新穎的狀態(tài)估計方法，即基于滾動時域優(yōu)化策略的網(wǎng)絡化滾動時域狀態(tài)估計（MHE）^[13]。不同于其它估計方法，滾動時域狀態(tài)估計是基于滾動窗口內一段最新輸入輸出數(shù)據(jù)的優(yōu)化問題，而非僅利用當前時刻輸入輸出數(shù)據(jù)，如圖2-2所示。

備注2.3　在性能指標（2-4）中，權矩陣M和R可以看作文獻[14]中標量μ的擴展。另外，權矩陣M和R的引入給估計器設計帶來了更多的自由度，能夠更好地補償數(shù)據(jù)包丟失而產(chǎn)生的不確定性影響。與其它估計方法相比，其獨特之處在于：當數(shù)據(jù)包發(fā)生丟失時，它能夠利用滾動窗口內一段最新輸入輸出數(shù)據(jù)而非前一個時刻的數(shù)據(jù)^[17]或直接置為零^[1，6]，參與估計器的設計。

備注2.4　為了便于分析，本小節(jié)只考慮了數(shù)據(jù)包的到達概率γ為常數(shù)的情況，即γ不隨時間的變化而變化。由公式（2-6）可以看出：數(shù)據(jù)包丟失影響了優(yōu)化問題2.1的優(yōu)化變量，即最優(yōu)狀態(tài)估計值，并使得估計性能變差；不過，通過合理調節(jié)權矩陣M和R，該滾動時域估計方法能夠克服系統(tǒng)噪聲和測量噪聲以及補償數(shù)據(jù)包丟失帶來的不確定性。

下面將具體分析數(shù)據(jù)包的到達概率γ對估計性能的影響，以及通過求解一個線性矩陣不等式得出合適的懲罰權矩陣M和R，以保證估計器具有良好的估計性能。

2.2.3　估計器的性能分析

本小節(jié)主要討論數(shù)據(jù)包丟失情況下的網(wǎng)絡化控制系統(tǒng)的估計性能。首先定義k－N時刻的估計誤差：

　　（2-8）

正如公式（2-6）所述，估計誤差的動態(tài)是一個關于隨機變量γ（k）的隨機過程，因此定理2.1將給出一個估計誤差歐氏范數(shù)平方期望的結論。

定理2.1　考慮上述系統(tǒng)（2-2）以及由公式（2-8）所表示的估計誤差，如果代價函數(shù)（2-4）中的懲罰權矩陣M和R使得不等式（2-9）成立：

若不考慮系統(tǒng)噪聲和測量噪聲，即η_w＝0和η_v＝0，則根據(jù)定理2.1，給出如下的一個推論：

推論2.1　考慮上述系統(tǒng)（2-2）以及由公式（2-8）所表示的估計誤差，假定不存在系統(tǒng)噪聲和測量噪聲，即η_w＝0和η_v＝0，如果代價函數(shù)（2-4）中的懲罰權矩陣M和R使得不等式（2-36）成立：

a＝8f^－1ρ<1　　（2-36）

由推論2.1可以看出：如果被控對象模型（2-1）不存在噪聲，則所得到的最優(yōu)估計器可以看作一個指數(shù)觀測器，并且條件（2-36）成立時估計誤差范數(shù)平方的期望指數(shù)收斂于0。

2.24　數(shù)值仿真

本小節(jié)給出一個數(shù)值仿真例子，以驗證所提估計方法的有效性。考慮文獻[16]中的一個離散線性系統(tǒng)，其狀態(tài)空間模型可描述成如下形式：

為了便于仿真結果的比較，則考慮如下的性能指標——均方根誤差（RMSE）：

如圖2-3與圖2-4所示，盡管數(shù)據(jù)包到達概率是固定不變的，即每一采樣時刻數(shù)據(jù)包到達概率相同，但是在整個仿真時間段內，每次實驗成功到達的數(shù)據(jù)包序列有所不同，以致依靠每次實驗數(shù)據(jù)求解得到的狀態(tài)估計結果都略有不同。不過，所幸不同實驗得到的估計結果均能夠很好地表征實際的狀態(tài)值。因此，圖2-5～圖2-10所給出的仿真結果都是在平均意義下的結果。與文獻[17]中的滾動時域方法相比，其相應的比較結果顯示在圖2-5～圖2-8中。其中，由圖2-5和圖2-6可知，本章節(jié)所提出的估計方法要明顯優(yōu)于Rao等人提出的估計方法^[17]，并且所求出的狀態(tài)估計值更逼近實際狀態(tài)值。

其次，由圖2-7與圖2-8所示的性能指標，可以進一步看出：無論在均方根誤差（RMSE）性能還是在二次型性能指標，由本節(jié)所提出的滾動時域估計方法明顯地要好于文獻[17]中的估計方法。圖2-9和圖2-10給出了基于所提滾動時域方法，在不同的數(shù)據(jù)包到達概率情況下的狀態(tài)估計結果。很顯然，隨著數(shù)據(jù)包到達概率的減小，估計性能明顯地變差。具體地說，當γ＝1時，此時估計器的估計性能最好，而當γ＝0時，其估計性能最差。雖然本節(jié)提出采用滾動時域估計方法克服數(shù)據(jù)包丟失而帶來的影響，但是僅在一定程度上減弱了其影響，并不能完全消除其不確定性，因為畢竟數(shù)據(jù)包丟失導致缺少了有用的數(shù)據(jù)信息，從而使得估計性能肯定比沒有信息缺少情況下的估計性能要差。簡言之，有用信息丟得越多，所設計的估計器性能越差。