1 大數字

1.你最多能數到幾？

這是一個關于兩位匈牙利貴族的故事。他們決定玩一個游戲，能夠說出最大的數字的那個人獲勝。

“行啊，”其中一個人說，“你先說出你的數字吧。”

經過幾分鐘艱難的思索之后，第二位貴族說出了他能夠想到的最大的數字。

“3。”他說。

現在輪到第一個人思考了，但他在15分鐘之后選擇了放棄。

“你贏了。”他說。

這兩位匈牙利貴族當然不是高智商的代表，而且這個故事很可能是在挖苦諷刺人，但這樣的談話或許真的曾經在兩個人之間發生過，只是他們不是匈牙利人，而是霍屯督人（Hottentots）。確實有一些很有權威的非洲探險家向我們證實，許多的霍屯督人部落的詞匯中沒有大于3的數。譬如你問一個當地人他有幾個兒子，或者他殺死了多少敵人，如果不止3個，他就會告訴你“許多”。所以，如果一個幼兒園小娃娃能夠數到10，他就能在數數這項技藝比賽中一舉擊敗那些霍屯督人部落里強壯的成人！

今天，我們想寫多大的數字都能辦到，而且對此已經非常習慣了。無論這些數字代表的是以美分為單位的經費，還是以英寸為單位的星際距離，你只需要在某個數字的右邊加上足夠多的零就可以了。你可以一直寫零，寫到你的手發軟，結果在不知不覺中，你已經寫下了一個數字，甚至大于整個宇宙中所有的原子的數目，而我們不妨順便說一句，宇宙中所有原子的數目是300,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000。

或者，你可以把它寫成較為簡單的形式：3×1074。10的右邊，比其他數字高出一點的小數字74代表著你必須寫多少個零。換言之，就是必須用74個10和3連乘。

但在古時候，這個能讓“算術變得容易”的數字系統還不為人知。事實上，這個系統是在不到兩千年前由某個沒有留下名字的印度數學家發明的。在他做出這個偉大的發現——這確實是一個偉大的發現，盡管我們通常沒有認識到這一點——之前，數字是人們用一些特殊的符號寫成的，每一個這樣的符號代表我們今天說的一個十進制單位。這樣的符號重復多少次，就說明有多少個這樣的單位。例如，古埃及人是這樣書寫數字8732的：

而在愷撒（Caesar）的政府里，他的一位部下會用如下形式代表這個數字：

MMMMMMMMDCCXXXII

后面這種計數法你肯定熟悉，因為羅馬數字有時候還在使用，比如標注一本書的卷數和章節，或者是在華麗的紀念碑上標明某個歷史事件的年代。然而，因為古人在計數方面的需要不超過幾千，所以也就不存在更高的十進位制的單位。所以，無論一位古羅馬人在算術方面經歷過何等優良的訓練，當他需要寫下“一百萬”這樣一個數字的時候也會變得手足無措。面對這種要求，他能采取的最好的方法，就是苦干幾個小時，連續寫下1000個M（圖1）。

對古人來說，非常大的數字，如天上的星星有多少個，海里的魚有多少條，或者海灘上有多少顆沙粒，這些都是“沒法數”的，這就跟霍屯督人一樣，他們認為“5”是沒法數的，因此用“很多”一言以蔽之！

所以，就連公元前3世紀的天才科學家阿基米德（Archimedes）也需要運轉他偉大的大腦，認真地得出“寫出很大的數目還是可能的”這樣一個結論。阿基米德在他的科學論文《數沙器》（Sand Reckoner）中寫道：

有人認為，沙粒的數字是無窮大的；這里說的沙粒，我指的不只是在錫拉丘茲（Syracuse）和西西里上的沙粒，而是我們能夠在整個世界所有地區找到的沙粒，不管那里是否有人居住。同樣，還有一些人，他們并不認為這個數字是無窮大的，并且認為我們無法說出一個足夠大的數字，大到能夠超過世界上所有沙粒的總和。很顯然，這些人認為，他們可以想象一個全部由沙粒組成的龐大體積，它在各方面都足夠大，大得像整個世界一樣，包括其中所有的海洋和洼地，并且把它全部填充起來，變得像最巍峨的山峰那么高。他們覺得，想象一個能夠表達堆在一起的這些沙粒數目的數字是不可能的。但我要在這里證明，我發明了一種命名數字的方法，它不但能夠給出用上述方法堆積而成的世界沙粒的數目，甚至可以等于在整個宇宙那么大的體積里全部堆積的沙粒數目。

在這篇著名的論文中，阿基米德提出了一個能夠書寫非常大的數字的方法，與現代科學中書寫大數字的方式類似。他從古希臘算術中最大的數字“myriad”，即一萬開始。接著他引入了一個新數字，“一萬的一萬倍”，就是一億，把它叫作“octade”，就是“第二級計數單位”。然后是“第三級計數單位”，也就是一億的一億倍，即一億億。下面還有“第四級計數單位”，即一億的一億倍的一億倍，以此類推。

看上去，書寫大數字似乎不過是尋常小事，不值得在一本書中用幾頁紙的篇幅加以描述，但在阿基米德的時代，找到一種書寫大數的方法確實是一個偉大的發現，是數學科學向前發展的重要步驟。

為了計算能夠填充整個宇宙的沙粒的數字，阿基米德必須知道宇宙有多大。那個時代的人們相信：宇宙是包在一個水晶球里面的，固定的星辰就鑲嵌在球面上。據阿基米德的同代人、薩摩斯著名的天文學家的阿里斯塔克（Aristarchus）估計，從地球到天球的邊緣的距離是10,000,000,000個視距，即大約1,000,000,000英里。

在比較了這個球體的體積與一粒沙的大小之后，阿基米德進行了一系列能讓中學男生晚上做噩夢的計算，最后得到的結論是：

很顯然，在阿里斯塔克估計的天球那么大的空間內，可能包含的所有沙粒的數字不會超過一千萬個第八級計算單位。注1

注1：按照我們的計數法，這個數字將是：一千萬2級單位3級單位4級單位5級單位（10,000,000）x（10,000,000）x（10,000,000）x（10,000,000）x（10,000,000）x6級單位7級單位8級單位（10,000,000）x（10,000,000）x（10,000,000）或者簡寫為：1063，即后面拖上63個零。

我們或許應該在這里指出，阿基米德對宇宙半徑的估計遠遠低于現代科學家們計算出的結果。10億英里只不過略略大于我們的太陽系中土星這個行星的位置。我們現在已經用望遠鏡探測到的距離是5,000,000,000,000,000,000,000英里，而填滿這樣一個可視宇宙的沙粒的數目將會超過10100，即1后面拖著100個零。

這當然遠遠大于我們在本章開始時陳述的宇宙中所有原子的數目：3×1074，但我們千萬不要忘記，宇宙中并不是完全填充著原子；事實上，在整個空間內，平均每立方米只有大約一個原子。

但是，要得到大數字，我們完全沒有必要采取將整個宇宙堆滿沙粒這類極端的行為。其實這類數字往往會從一些乍一看很簡單的問題中跳出來，盡管你覺得其中牽涉的任何數字都不會超過幾千。

慘遭這種令人崩潰的數字荼毒的一個例子是印度的舍罕王（King Shirham）。有一個古老的傳說，他曾想要賞賜宰相西薩·本·達希爾（Sissa Ben Dahir），因為后者發明并向他奉獻了象棋這種游戲。這位聰明的宰相要求的獎賞似乎微不足道。他跪在國王面前說：“陛下，請在棋盤的第一個方格內給我一粒小麥，第二個方格內給我兩粒小麥，第三個方格上給我四粒小麥。第四個方格上給我八粒小麥。就這樣，請國王陛下每次都把方格上的小麥數加倍，覆蓋棋盤上所有64個方格，這就是我要求的賞賜。”

“你的要求很謙卑哦，我忠誠的仆人。”國王說道。他心中竊喜，因為他覺得，這樣一種神奇游戲的發明者居然會提出如此小的要求，這樣的賞賜與他的珍寶相比不過是九牛一毛。“你的要求我當然恩準了。”然后他叫人將一口袋小麥帶到他的寶座前。

于是計數就開始了，第一個方格一粒小麥，第二個方格兩粒小麥，第三個方格四粒小麥……結果不到二十個方格，口袋就空了。國王繼續叫人拿來小麥袋子，但每一個方格上需要的小麥越來越多。結果情況很快就清楚了：即使把全印度的糧食全部拿出來，國王也無法湊足他答應給達希爾的獎賞。這一份獎賞是18,446,744,073,709,551,615粒小麥！注2

注2：我們可以用下面的算式得出聰明的宰相要求的小麥顆粒數：1+2+22+23+24+…+262+263。在數學中，人們稱一系列按照同樣的因數（這個粒子中的因數是2）遞增的數字為幾何級數。可以證明，這樣一個級數中的各項和可以用如下方法計算：將常數因數（本例中為2）按照級數中的項數（本例中為64）乘方，減去第一項（本例中為1）然后除以上述常數因數減得到的差。這一過程可以寫成：（263×2-1）/（2-1）=264-1。計算所得的數字就是8,446,744,073,709,55,65。

這個數字要比宇宙中的原子總數小，但也相當大了。假定一蒲式耳小麥有大約5,000,000粒，國王就需要四萬億蒲式耳才能滿足達希爾的要求，而全世界每年的小麥平均產量大約為2,000,000,000蒲式耳。所以，這位宰相的要求是大約兩千年的世界總產量！

就這樣，舍罕王發現他欠了自己的宰相一大筆債，要么他需要面對后者持續不斷的討債要求，要么一刀砍掉宰相的腦袋一了百了。我覺得他很可能會選擇第二種方法。

還有一個由大數扮演主要角色的故事，也來自印度，與所謂“世界末日”的問題有關。對數學情有獨鐘的歷史學家鮑爾（W. W. R. Ball）是這樣講述這個故事的：

在標志著世界中心的貝拿勒斯（Benares）大寺廟的天穹之下有一個黃銅盤子，上面插著三根金剛石針，每根針有一腕尺高（一腕尺約為20英寸），大概有一只蜜蜂的身體那么粗。創世之初，神靈在其中一根針上插了64塊純金圓盤，最大的那塊放在黃銅盤子上，以后的圓盤越來越小，一直到最頂上的那塊。這就是梵天（Brahma）之塔，值班的祭師每天日夜不停地把這些圓盤從一根金剛石針上轉移到另一根上。按照法則要求，祭師一次只能移動一個圓盤，而且絕對不可以把小的圓盤放到較大的圓盤下面。當用這種方法，祭師們把所有的圓盤都從神靈創世時放著的那根針移到另一根針上的時候，梵天之塔、寺廟和婆羅門祭師們全都會變為塵埃，隨著一聲雷霆震響，整個世界灰飛煙滅。

圖3畫出了故事中描述的情況，只是畫出的圓盤不到64塊。你可以用普通的硬紙板代替黃金、長鐵釘代替金剛石針，做一個印度傳說中的這個謎語玩具。不難發現，根據移動圓盤必須遵守的規則，你移走一塊圓盤需要的步驟是上一塊所需要的兩倍。也就是說，移走第一塊圓盤只要一步，但移走隨后的每一塊圓盤的步驟數目按幾何級數遞增。所以，當第64塊圓盤被移走時，所有步驟的數目總和與達希爾所要求的小麥粒數相等！注3

注3：如果我們只有7塊圓盤，則需要的步驟數就是1+21+22+23+…+26，即27-1=2×2×2×2×2×2×2-1=127。如果你的動作很快，也不出錯，你將需要大約一小時來完成這一任務。如果有64塊圓盤，則需要的步驟總數為264-1=18 446 744 073 709 551 615，與達希爾要求獲得的小麥粒數相等。

需要多長時間才能把梵天之塔上所有的64塊圓盤從一根針上轉移到另一根上呢？不妨假定婆羅門祭師們晝夜不停地干活，沒有節假日，每秒移動一次。因為一年有大約31,558,000秒，所以他們需要58萬億年多一點的時間完成這項任務。

讓我們比較一下純粹的傳說和現代科學中有關宇宙年齡的預言，結果是很有趣的。根據有關宇宙演化的當前理論，恒星、太陽和包括地球在內的行星是在大約30億年前由不定形物質凝聚形成的。我們也知道，為恒星，特別是為我們的太陽提供能量的“原子燃料”還可以繼續維持100億到150億年（見第11章，“創世的歲月”）。所以，宇宙的整個生命周期肯定不到200億年，更別說印度傳說中估計的58萬億年了！但不管怎么說，傳說畢竟只是傳說。

很可能，人類在文獻上提到的最大數字，就是那個著名的“印刷行數問題”中的數字了。假定我們制造了一臺印刷機，它能持續不斷地、一行接一行地印刷，并自動地為每一行選擇字母表中不同字母的組合和另外的印刷符號。這樣的機器將由一系列分開的圓盤組成，它們全都在邊緣上帶有字母和符號。這些圓盤相互嚙合的方式與你汽車的里程顯示器上的數字圓盤相同，所以每個圓盤轉動一整圈會讓下一個圓盤向前移動一個位置。紙是整卷的，它隨著印刷機的每一次運動自動進入滾筒。制造這樣一臺自動化印刷機并不很困難，它的樣子如圖4所示。

我們讓這臺印刷機開始工作，并檢查一下這臺印刷機印出來的無窮盡的各種資料。大部分字行沒有什么意義，它們看上去就像這個樣子：

“aaaaaaaaaaa...”

或者是

“boobooboobooboo...”

或者是

“zawkporpkossscilm...”

但因為這臺印刷機印刷的是一切可能的字母和符號的組合，我們可以在這些毫無意義的垃圾印刷品里看到有意義的各種句子，當然其中有許多沒有用的句子，如：

“horse has six legs and...”（馬有六條腿和……）

或者

“I like apples cooked in terpentin...”（我喜歡吃在松節油里煎過的蘋果……）

但經過一番搜索之后，也可以發現莎士比亞寫的每一行句子，甚至是一些他本人扔到紙簍里的紙上寫的句子！

事實上，這樣一臺印刷機將印刷人類學會寫字以來寫下的所有句子：每一行散文和詩歌，報紙上的每一篇社論和廣告，科學專著中連篇累牘的每一卷，每一封情書，給送牛奶的人的每一張訂單……

而且，這臺機器也將印刷人們在今后許多個世紀中會印刷的東西。在那些從滾筒出來的紙張上，我們將會發現30世紀的詩歌，未來的科學發現，即將在第五百屆美國國會上發表的演講，2344年行星交通事故的流水賬。將會有一頁又一頁人們從未動筆書寫的短篇和長篇小說，而那些在地下室中放有這種印刷機的出版商，他們只需要在堆成山的廢紙堆里扒拉出那些好的作品編輯出版就行了，而這正是他們今天正在做的事情。

為什么做不到這一點？

好吧，就讓我們數一數，為了得到所有可能的字母和印刷符號的組合，這臺機器應該印刷多少行吧。

英文字母表中有26個字母，10個數字（0，1，2，3，4，5，6，7，8，9）和14個普通符號（空白、句號、逗號、冒號、分號、問號、驚嘆號、破折號、連字符、引號、省略號、小括號、中括號、大括號），這些總共是50個符號。同時也讓我們假定，對應平均每個印刷行的65個位置，這臺機器有65個機輪。印刷的每一行可以選50個符號中的任何一個開始，所以我們在這里有50種不同的可能性。對應這50種不同的可能性中的每一個，這一行的第二個位置又有50種不同的可能性，加起來就有50×50=2500種不同的可能性。但對于頭兩個符號的每一個給定的組合，我們都可以對第三個位置做出50種不同的選擇，以此類推。總的算起來，整個一行中可能有的安排的數目可以表達為：

50×50×50×…×50，總共65個50相乘的乘積。也就是5065≈10110。

如果你想要感覺一下這樣一個數字有多大，你可以讓宇宙中的每一個原子代表一臺這樣的印刷機，于是我們就有了3×1074臺同時工作的超級印刷機。然后你可以進一步假定，所有這些印刷機都從宇宙誕生之日開始連續工作，也就是說，它們工作了30億年，或者說1017秒，而且以原子振動的頻率印刷，即每秒印刷1015行。結果，時至今日，它們總共印刷的行數大約是

3×1074×1017×1015=3×10106，

但這只不過達到了要求數字的1/3000。

沒錯，要從這些自動印刷的材料中做出任何一種選擇，你都確實需要勤勤懇懇地工作很長的時間！