第四章 向量代數(shù)與空間解析幾何

考試內(nèi)容與要求

考試內(nèi)容

向量的概念，向量的線性運(yùn)算，向量的數(shù)量積和向量積，向量的混合積，兩向量垂直、平行的條件，兩向量的夾角，向量的坐標(biāo)表達(dá)式及其運(yùn)算，單位向量，方向數(shù)與方向余弦，曲面方程和空間曲線方程的概念，平面方程、直線方程，平面與平面、平面與直線、直線與直線的夾角以及平行、垂直的條件，點(diǎn)到平面和點(diǎn)到直線的距離，球面，柱面，旋轉(zhuǎn)曲面，常用的二次曲面方程及其圖形，空間曲線的參數(shù)方程和一般方程，空間曲線在坐標(biāo)面上的投影曲線方程．

考試要求

1．理解空間直角坐標(biāo)系，理解向量的概念及其表示．

2．掌握向量的運(yùn)算（線性運(yùn)算、數(shù)量積、向量積、混合積），了解兩個(gè)向量垂直、平行的條件．

3．理解單位向量、方向數(shù)與方向余弦、向量的坐標(biāo)表達(dá)式，掌握用坐標(biāo)表達(dá)式進(jìn)行向量運(yùn)算的方法．

4．掌握平面方程和直線方程及其求法．

5．會(huì)求平面與平面、平面與直線、直線與直線之間的夾角，并會(huì)利用平面、直線的相互關(guān)系（平行、垂直、相交等）解決有關(guān)問(wèn)題．

6．會(huì)求點(diǎn)到直線以及點(diǎn)到平面的距離．

7．了解曲面方程和空間曲線方程的概念．

8．了解常用二次曲面的方程及其圖形，會(huì)求簡(jiǎn)單柱面和旋轉(zhuǎn)曲面的方程．

9．了解空間曲線的參數(shù)方程和一般方程．了解空間曲線在坐標(biāo)平面上的投影，并會(huì)求該投影曲線的方程．

題型4.1 求點(diǎn)到直線和點(diǎn)到平面的距離

（06,4分）點(diǎn)（2,1,0）到平面3x+ 4y+ 5z= 0的距離d= _________.

【答案】 應(yīng)填.

【詳解】 由點(diǎn)到平面的距離公式得

小結(jié)

題型4.2 建立旋轉(zhuǎn)曲面的方程

1.（09,11分）橢球面S1是橢圓繞x軸旋轉(zhuǎn)而成，圓錐面S2是由過(guò)點(diǎn)（4,0）且與橢圓相切的直線繞x軸旋轉(zhuǎn)而成．

（1）求S1及S2的方程；

（2）求S1與S2之間的立體體積．

【分析】 S1及S2為兩個(gè)旋轉(zhuǎn)面，方程可直接寫(xiě)出；所圍立體的體積可利用定積分或二重積分來(lái)計(jì)算．

【詳解】（1）S1的方程為

過(guò)點(diǎn)（4,0）與相切的直線方程為，切點(diǎn)為，

所以，S2的方程為.

（2）S1及S2之間的體積等于一個(gè)底面半徑為、高為3的錐體體積π與部分橢球體體積V之差，其中

故所求體積為

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2.（13,10分）設(shè)直線L過(guò)A（1,0,0）, B（0,1,1）兩點(diǎn)，將L繞z軸旋轉(zhuǎn)一周得到曲面Σ, Σ與平面z= 0, z= 2所圍成的立體為Ω.

（1）求曲面Σ的方程；

（2）求Ω的形心坐標(biāo)．

【分析】 本題考查不在坐標(biāo)面上直線的旋轉(zhuǎn)曲面方程的建立與重積分的應(yīng)用．

【詳解】（1）過(guò)A（1,0,0）, B（0,1,1）的直線L的方程為

設(shè)（x, y, z）為旋轉(zhuǎn)曲面上任意一點(diǎn)，且是直線L上對(duì)應(yīng)點(diǎn)（x0, y0, z0）繞z軸旋轉(zhuǎn)所得，則

消去上式中的z0即得L繞z軸旋轉(zhuǎn)一周所得曲面Σ的方程為

x2+y2=（1-z）2+z2，即x2+y2-2z2+ 2z-1=0.

（2）設(shè)立體Ω的形心坐標(biāo)為，由立體Ω關(guān)于坐標(biāo)面yOz, xOz對(duì)稱，得，而記Dz= {（x, y）| x2+ y2≤2z2-2z+ 1}，則

故,Ω的形心坐標(biāo)為（0,0,）.

小結(jié)

本章總結(jié)