PART ONE
第一部分高等數(shù)學(xué)

第一章函數(shù)、極限、連續(xù)

考試內(nèi)容與要求

考試內(nèi)容

函數(shù)的概念及表示法，函數(shù)的有界性、單調(diào)性、周期性和奇偶性，復(fù)合函數(shù)、反函數(shù)、分段函數(shù)和隱函數(shù)，基本初等函數(shù)的性質(zhì)及其圖形，初等函數(shù)，函數(shù)關(guān)系的建立，數(shù)列極限與函數(shù)極限的定義及其性質(zhì)，函數(shù)的左極限和右極限，無窮小量和無窮大量的概念及其關(guān)系，無窮小量的性質(zhì)及無窮小量的比較，極限的四則運算，極限存在的兩個準(zhǔn)則：單調(diào)有界準(zhǔn)則和夾逼準(zhǔn)則，兩個重要極限：

函數(shù)連續(xù)的概念，函數(shù)間斷點的類型，初等函數(shù)的連續(xù)性，閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)．

考試要求

1．理解函數(shù)的概念，掌握函數(shù)的表示法，會建立應(yīng)用問題的函數(shù)關(guān)系．

2．了解函數(shù)的有界性、單調(diào)性、周期性和奇偶性．

3．理解復(fù)合函數(shù)及分段函數(shù)的概念，了解反函數(shù)及隱函數(shù)的概念．

4．掌握基本初等函數(shù)的性質(zhì)及其圖形，了解初等函數(shù)的概念．

5．理解極限的概念，理解函數(shù)左極限與右極限的概念以及函數(shù)極限存在與左極限、右極限之間的關(guān)系．

6．掌握極限的性質(zhì)及四則運算法則．

7．掌握極限存在的兩個準(zhǔn)則，并會利用它們求極限，掌握利用兩個重要極限求極限的方法．

8．理解無窮小量、無窮大量的概念，掌握無窮小量的比較方法，會用等價無窮小量求極限．

9．理解函數(shù)連續(xù)性的概念（含左連續(xù)與右連續(xù)），會判別函數(shù)間斷點的類型．

10．了解連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)和初等函數(shù)的連續(xù)性，理解閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)（有界性、最大值和最小值定理、介值定理），并會應(yīng)用這些性質(zhì)．

題型1.1 函數(shù)的概念及其特性

1.（05,4分）（05,4分）表示該題為2005年考研數(shù)學(xué)一真題，其分值為4分，全書同．另外，對2003年以后未考的題型，也特意選了一個往年考題供參考．設(shè)F（x）是連續(xù)函數(shù)f（x）的一個原函數(shù)，“M?N”表示“M的充分必要條件是N”，則必有

（A）F（x）是偶函數(shù)?f（x）是奇函數(shù)．

（B）F（x）是奇函數(shù)?f（x）是偶函數(shù)．

（C）F（x）是周期函數(shù)?f（x）是周期函數(shù)．

（D）F（x）是單調(diào)函數(shù)?f（x）是單調(diào)函數(shù)．

【】

【答案】應(yīng)選（A）.

【分析】本題可直接推證，但最簡便的方法還是通過反例用排除法找到答案．

【詳解1】任一原函數(shù)可表示為，且F′（x）= f（x）.

當(dāng)F（x）為偶函數(shù)時，有F（- x）= F（x），于是F′（- x）·（-1）= F′（x），即- f（- x）=f（x），也即f（- x）= - f（x），可見f（x）為奇函數(shù)；

反過來，若f（x）為奇函數(shù)，則為偶函數(shù)，從而為偶函數(shù)，可見（A）為正確選項．

【詳解2】令f（x）= 1，則取F（x）= x+ 1，可排除（B）,（C）；

令f（x）= x，則取F（x）= ，可排除（D）.

故應(yīng)選（A）.

【評注】請讀者思考f（x）與其原函數(shù)F（x）的有界性之間有何關(guān)系？

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2.（14,4分）設(shè)y= f（x）是周期為4的可導(dǎo)奇函數(shù)，且f′（x）= 2（x-1）, x∈[0,2]，則f（7）=_____.

【答案】應(yīng)填1.

【詳解】由f′（x）= 2（x-1），有f（x）= x2-2x+ C, x∈[0,2].

由y= f（x）是周期為4的可導(dǎo)奇函數(shù)，得f（0）= 0，故C= 0.

所以f（7）= f（3）= f（-1）= - f（1）= 1．應(yīng)填1.

小結(jié)

函數(shù)的概念及函數(shù)的復(fù)合，包括分段函數(shù)的復(fù)合，本質(zhì)上是函數(shù)關(guān)系的建立問題，而建立函數(shù)關(guān)系是進(jìn)一步研究函數(shù)性質(zhì)的基礎(chǔ)．對于函數(shù)的四個主要特性的研究：奇偶性和周期性一般用定義檢驗；單調(diào)性則大多用導(dǎo)數(shù)符號分析；有界性往往需要結(jié)合極限與連續(xù)的性質(zhì)來確定．

題型1.2 極限的概念與性質(zhì)

（03,4分）設(shè){an}, {bn}, {cn}均為非負(fù)數(shù)列，且= 0, = 1, = ∞，則必有

（A）an＜bn對任意n成立．

（B）bn＜cn對任意n成立．

（C）極限不存在．

（D）極限不存在．

【】

【答案】應(yīng)選（D）.

【詳解1】本題考查極限的概念，極限值與數(shù)列前面有限項的大小無關(guān)，可立即排除（A）,（B）；而極限是“0·∞”型未定式，可能存在也可能不存在，舉反例說明即可；極限屬“1·∞”型，必為無窮大量，即不存在．故應(yīng)選（D）.

【詳解2】用舉反例法，取，則可立即排除（A）,（B）,（C），因此正確選項為（D）.

小結(jié)

關(guān)于極限的存在性，以下幾點是值得注意的：

1．若lim f存在，limg不存在，則lim（f ± g）一定不存在，但lim fg, lim 可能存在，也可能不存在．

2．若lim f= l≠0, limg= ∞，則lim fg = ∞.

3．若f有界，limg= ∞，則lim（f ± g）= ∞，但lim fg 不一定為∞.

題型1.3 函數(shù)極限的計算

一、利用左、右極限求函數(shù)極限

（00,5分）求

【分析】本題函數(shù)關(guān)系式中含有絕對值，本質(zhì)上是一分段函數(shù)，在分段點的極限應(yīng)通過左、右極限來討論．

【詳解】因為

可見，原式= 1.

【評注】形如| f（x）|, max{f（x）, g（x）}的函數(shù)，本質(zhì)上是分段函數(shù)，在求極限、導(dǎo)數(shù)和積分時一般均應(yīng)分段討論．

小結(jié)

在討論分段函數(shù)極限時一般用結(jié)論，因此，當(dāng)左、右極限有一個不存在或都存在但不相等時，極限不存在．

二、求未定式的極限

1.（03,4分）=_______.

【答案】應(yīng)填.

【詳解2】因為

所以

【評注】對于“1∞”型未定式的極限，也可直接用公式進(jìn)行計算．

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2.（06,4分）=________.

【答案】應(yīng)填2.

【分析】本題為“”型未定式極限的求解，利用等價無窮小代換即可．

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3.（08,9分）求極限

【詳解】利用無窮小量的等價代換以及洛必塔法則，有

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4.（10,4分）極限

（A）1.

（B）e.

（C）ea-b.

（D）eb-a.

【】

【答案】應(yīng)選（C）.

【分析】本題是最基本的未定式“1∞”，屬基本題型．

因此應(yīng)選（C）.

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5.（11,10分）求極限

【分析】此極限是“1∞”型，化為指數(shù)形式直接計算，屬基本題型．

【評注】注意用洛必塔法則前的化簡（如本題的等價無窮小替換）.

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6.（14,10分）求極限

【分析】利用等價無窮小代換和L'Hospital法則．

【評注】注意在求極限過程中，等價無窮小代換、變量代換常常可以簡化計算，因此要充分利用.

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7.（15,4分）

【答案】應(yīng)填- .

【分析】此題考查“”型未定式極限，可直接用洛必塔法則，也可以用等價無窮小替換．

【詳解1】用洛必塔法則：

【詳解2】用無窮小量等價代換：

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8.（16,4分）

【答案】應(yīng)填.

【詳解】原式=

小結(jié)

1．計算極限的基本方法有：利用極限的四則運算、利用無窮小量的等價代換、利用兩類重要極限以及洛必塔法則．一道典型的考題還經(jīng)常會用到兩種甚至兩種以上的方法．

2．未定式極限的基本形式是：型，其他未定式本質(zhì)上均可化為這兩種形式，而求未定式極限的主要方法是洛必塔法則，但在用洛必塔法則之前應(yīng)注意兩點：一是先盡量用無窮小量的等價代換進(jìn)行化簡（便于求導(dǎo)）；二是將非零因子項（乘或除項）的極限用四則運算先求出來，再用洛必塔法則求導(dǎo)．

3. “”型未定式極限經(jīng)常可采用分子、分母同除以最大項的辦法進(jìn)行分析求解．

4．若待求極限的函數(shù)表達(dá)式中含有等時，一般不用洛必塔法則．

5．冪指函數(shù)的極限limf（x）g（x）一般先化為指數(shù)函數(shù)再求極限：

limf（x）g（x）= limeg（x）lnf（x）= elimg（x）lnf（x）

特別地，當(dāng)limf（x）= 1時，有l(wèi)imf（x）g（x）= elimg（x）ln[1+f（x）-1]= elimg（x）[f（x）-1].

6．常用無窮小量的等價代換有：若α（x）→0，則

但應(yīng)注意，無窮小量的等價代換一般是整體代換，即作為乘、除的項可代換，而加、減項不能隨意代換，即若α～α′,β～β′，則limαf= limα′f, lim = lim .

還應(yīng)注意：若lim≠1，則lim（α-β）f= lim（α′-β′）f.（詳見《考研數(shù)學(xué)高分復(fù)習(xí)全書》例1. 6后面的注釋）

7．個別情況下，當(dāng)用上述無窮小量的等價代換求極限仍有困難時，也可考慮用泰勒公式（麥克勞林公式）進(jìn)行展開，找出更高階的等價無窮小量．

8．在求極限的過程中適當(dāng)利用變量代換往往可以簡化計算，特別是題設(shè)為x→∞時，作變換t= ，轉(zhuǎn)化為t→0后，問題經(jīng)常一下子就變簡單了．

題型1.4 函數(shù)極限的逆問題

1.（13,4分）已知極限，其中k, c為常數(shù)，且c≠0，則

【答案】應(yīng)選（D）.

【詳解】由c（c≠0），知k-1=2，因此k= 3,c= ．選（D）.

【評注】本題也可利用泰勒公式得到．因為當(dāng)x→0時，有

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2.（15,10分）設(shè)函數(shù)f（x）= x+ a ln（1+ x）+ bx sin x, g（x）= kx 3，若f（x）與g（x）在x→0時是等價無窮小，求a, b, k的值．

【分析】此題是標(biāo)準(zhǔn)的極限逆問題，可用泰勒公式或洛必塔法則解答．

【詳解1】用泰勒公式

由題意知

【詳解2】用洛必塔法則

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3.（18,4分）若已知，則k= .

【答案】應(yīng)填-2.

【分析】這是極限的逆問題，屬于基本題．

【詳解】 1∞型極限．因為

小結(jié)

1．已知極限反過來求相關(guān)參數(shù)，這類所謂極限的逆問題，一般仍用極限的四則運算、無窮小量的等價代換和洛必塔法則等進(jìn)行分析討論．但用洛必塔法則時，必須注意其前提條件，一般情形是若或∞，則，而逆問題是已知，則是否一定也有，從理論上說是不成立的．因此在用洛必塔法則時，必須先檢驗或∞成立．

2．關(guān)于無窮小量有如下性質(zhì)：α（x）±o（α（x））～α（x）.

題型1.5 數(shù)列的極限

1.（06,12分）設(shè)數(shù)列{xn}滿足0＜x 1 ＜π, xn+ 1 = sinxn（n= 1,2, …）.

（1）證明存在，并求該極限；

（2）計算.

【分析】題設(shè)數(shù)列由遞推公式給出，一般利用單調(diào)有界數(shù)列必有極限的準(zhǔn)則來證明數(shù)列極限的存在．（2）問的計算注意利用（1）問的結(jié)果．

【詳解】（1）因為0＜x1＜π，則0＜x2= sinx1≤1＜π.

可推得0＜xn+ 1=sinxn≤1＜π,n= 1,2, …，則數(shù)列{xn}有界．

于是＜1（因為當(dāng)x＞0時，sinx＜x），則有xn+ 1 ＜xn，可見數(shù)列{xn}單調(diào)減少，故由單調(diào)減少有下界數(shù)列必有極限知，極限存在．

設(shè)，在xn+ 1 = sinxn兩邊令n→∞，得l= sinl，解得l= 0，即.

（2）因為，由（1）問知該極限為“1∞”型，

令t= xn，則n→∞, t→0，而

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2.（07,4分）設(shè)函數(shù)f（x）在（0, + ∞）內(nèi)具有二階導(dǎo)數(shù)，且f″（x）＞0，令un= f（n）（n= 1，2, …），則下列結(jié)論正確的是

（A）若u1＞u2，則{un}必收斂．

（B）若u1＞u2，則{un}必發(fā)散．

（C）若u1＜u2，則{un}必收斂．

（D）若u1＜u2，則{un}必發(fā)散．

【】

【答案】應(yīng)選（D）.

【分析】利用反例通過排除法進(jìn)行討論．

【詳解】設(shè)f（x）= x2，則f（x）在（0, + ∞）上具有二階導(dǎo)數(shù)，且f″（x）＞0, u1＜u2，但{un}= {n2}發(fā)散，排除（C）；設(shè)f（x）= ，則f（x）在（0, + ∞）上具有二階導(dǎo)數(shù)，且f″（x）＞0, u1 ＞u2，但{un}= {}收斂，排除（B）；設(shè)f（x）= - lnx，則f（x）在（0, + ∞）上具有二階導(dǎo)數(shù)，且f″（x）＞0, u 1 ＞u 2，但{un}= {- lnn}發(fā)散，排除（A）．故應(yīng)選（D）.

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3.（08,4分）設(shè)函數(shù)f（x）在（- ∞, + ∞）內(nèi)單調(diào)有界，{xn}為數(shù)列，下列命題正確的是

（A）若{xn}收斂，則{f（xn）}收斂．

（B）若{xn}單調(diào)，則{f（xn）}收斂．

（C）若{f（xn）}收斂，則{xn}收斂．

（D）若{f（xn）}單調(diào)，則{xn}收斂．

【】

【答案】應(yīng)選（B）.

【詳解】若{xn}單調(diào)，則{f（xn）}單調(diào)，又f（x）在（- ∞, + ∞）內(nèi)有界，可見{f（xn）}單調(diào)有界，從而{f（xn）}收斂．故應(yīng)選（B）.

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4.（17,10分）求

【分析】利用定積分的定義計算．

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5.（18,10分）設(shè)數(shù)列{xn}滿足：x 1 ＞0, = -1（n= 1,2, …）．證明{xn}收斂，并求.

【分析】本題綜合考查了單調(diào)收斂準(zhǔn)則、微分中值定理以及利用導(dǎo)數(shù)判別函數(shù)單調(diào)性等多個知識點，屬綜合題．

【詳解】因為x1≠0，所以

由微分中值定理，存在ξ∈（0, x1），使得，即，因此0＜x2＜x1.

完全類似，假設(shè)0＜xn+ 1＜xn，則

故{xn}是單調(diào)減少的數(shù)列，且有下界，從而{xn}收斂．

設(shè)= a．在等式兩邊取極限，得aea= ea-1．顯然a= 0為其解．

又令f（x）= xex- ex+ 1，則f′（x）= xex.

當(dāng)x＞0時，f′（x）= xex＞0，函數(shù)f（x）在[0, + ∞）上單調(diào)增加，所以a= 0是方程aea= ea-1在[0, + ∞）上的唯一解，故

小結(jié)

求數(shù)列的極限，一般有四種主要方法：

1．若已知數(shù)列的通項表達(dá)式，可轉(zhuǎn)化為函數(shù)極限進(jìn)行計算，即如果，則有

2．若數(shù)列用遞推公式給出，一般考慮用單調(diào)有界數(shù)列必有極限分析．

3．對數(shù)列的通項適當(dāng)?shù)胤糯蠡蚩s小，然后再用夾逼定理．

4．若數(shù)列通項是n項（也可多或少若干項）求和時，往往考慮用定積分的定義：

題型1.6 無窮小量的比較

1.（04,4分）把x→0+時的無窮小量排列起來，使排在后面的是前一個的高階無窮小，則正確的排列次序是

（A）α, β, γ.

（B）α, γ, β.

（C）β, α, γ.

（D）β, γ, α.

【】

【答案】應(yīng)選（B）.

【分析】先兩兩進(jìn)行比較，再排出次序；也可先求出各無窮小量關(guān)于x的階數(shù)，再進(jìn)行比較．

可排除（C）,（D）選項，

可見γ是比β低階的無窮小量，故應(yīng)選（B）.

【詳解2】由

可見，應(yīng)選（B）.

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2.（07,4分）當(dāng)x→0+時，與等價的無窮小量是

【】

【答案】應(yīng)選（B）.

【分析】利用已知無窮小量的等價代換公式，盡量將四個選項先轉(zhuǎn)化為其等價無窮小量，再進(jìn)行比較分析找出正確答案．

【詳解】當(dāng)x→0+時，有；

故知應(yīng)選（B）.

【評注】本題直接找出的等價無窮小有些困難，但由于另三個的等價無窮小很容易得到，因此通過排除法可得到答案．事實上，

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3.（09,4分）當(dāng)x→0時，f（x）= x- sinax與g（x）= x 2 ln（1- bx）是等價無窮小，則

（A）a= 1, b= - .

（B）a= 1, b= .

（C）a= -1, b= - .

（D）a= -1, b= .

【】

【答案】應(yīng)選（A）.

【詳解】 f（x）= x- sin ax, g（x）= x 2 ln（1- bx）為等價無窮小，則

因為，所以，= 0，從而a= 1.

再由，得

故應(yīng)選（A）.

【評注】本題主要考查等價無窮小的概念、無窮小等價代換、洛必塔法則及重要結(jié)論：存在，若，則

小結(jié)

1．無窮小量的比較問題，本質(zhì)上是“”型未定式的極限問題，因此可用求未定式的極限的所有方法進(jìn)行討論，但應(yīng)注意并不是任意兩個無窮小量均可比較，比如當(dāng)x→0時與β（x）= x均為無窮小量，但它們不能進(jìn)行比較．

2．當(dāng)x→x0時，若是對三個或三個以上的無窮小量進(jìn)行比較，可考慮分別先與（x- x0）n進(jìn)行比較，比如由存在且非零，找出n（n＞0），確定f（x）是x-x0的n階無窮小，再進(jìn)行比較．

題型1.7 函數(shù)的連續(xù)性及間斷點的分類

（17,4分）設(shè)函數(shù)在x= 0處連續(xù)，則

（A）ab= .

（B）ab= - .

（C）ab= 0.

（D）ab= 2.

【】

【答案】應(yīng)選（A）.

【詳解】可計算利用函數(shù)在x= 0處連續(xù)，即f（0-）= f（0+），則，亦是. 選（A）.

本章總結(jié)

本章歷年試題按題型分值分布情況如表1—1—1所示．

表1—1—1

從表中可以看出，這部分內(nèi)容在高等數(shù)學(xué)中占有重要的基礎(chǔ)地位．本章命題的重點是函數(shù)極限與數(shù)列極限的計算，因此在復(fù)習(xí)過程中值得特別注意．從考試內(nèi)容與要求來看，函數(shù)的連續(xù)性與間斷點的分類一直沒有命題，而閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)盡管沒有直接命題，但通過微分中值定理間接考核過，在后面一元函數(shù)微分學(xué)部分會重點介紹，因此在今后復(fù)習(xí)的過程中，我們要特別提醒參加數(shù)學(xué)一考試的考生注意函數(shù)的間斷點及其分類等相關(guān)的內(nèi)容．

自測練習(xí)題

一、填空題

1.=________.

2.=________.

3.=________.

4.=________.

5.=________.

6.=________.

7．若x→0時，與xsinx是等價無窮小，則a=________.

8．若在（- ∞, + ∞）上連續(xù)，則a=________.

9．已知在x= 0處連續(xù)，則a=________.

10．設(shè)在x= 0處連續(xù)，則a=________.

11.=________.

12．設(shè)，則=________.

13．若，則a= ,b=________.

14.=________.

15．設(shè)函數(shù)f（x）= ax（a＞0, a≠1），則·…· f（n）]=________.

16．若a＞0, b＞0均為常數(shù)，則=________.

17.=________.

18.=________.

19．設(shè)函數(shù)在x= 0處連續(xù)，則a=________.

二、選擇題

1．設(shè)則g[f（x）]為

【】

2．設(shè)數(shù)列xn與y n滿足，則下列斷言正確的是

（A）若xn發(fā)散，則yn必發(fā)散．

（B）若xn無界，則yn必有界．

（C）若xn有界，則yn必為無窮小．

（D）若- 為無窮小，則yn必為無窮小．

【】

3．若，則為

（A）0.

（B）6.

（C）36.

（D）∞.

【】

4．設(shè)，則

（A）a= 1, b= - .

（B）a= 0, b= -2.

（C）a= 0, b= - .

（D）a= 1, b= -2.

【】

5．當(dāng)x→0時，x- sinx是x2的

（A）低階無窮小．

（B）高階無窮小．

（C）等價無窮小．

（D）同階但非等價無窮小．

【】

6．設(shè)當(dāng)x→0時，ex-（ax2+ bx+ 1）是比x2 高階的無窮小，則

（A）a= ,b= 1.

（B）a= 1, b= 1.

（C）a= - ,b= -1.

（D）a= -1, b= 1.

【】

7．設(shè)x→0時，etanx- ex與xn是同階無窮小，則n為

（A）1.

（B）2.

（C）3.

（D）4.

【】

8．當(dāng)x→0時，（1- cosx）ln（1+ x 2）是比x sinxn高階的無窮小，而x sinxn是比高階的無窮小，則正整數(shù)n等于

（A）1.

（B）2.

（C）3.

（D）4.

【】

9．設(shè)f（x）和φ（x）在（- ∞, + ∞）上有定義，f（x）為連續(xù)函數(shù)，且f（x）≠0, φ（x）有間斷點，則

（A）φ[f（x）]必有間斷點．

（B）[φ（x）]2必有間斷點．

（C）f[φ（x）]必有間斷點．

（D）必有間斷點．

【】

10．設(shè)函數(shù)在（- ∞, + ∞）內(nèi)連續(xù)，且，則常數(shù)a, b滿足

（A）a＜0, b＜0.

（B）a＞0, b＞0.

（C）a≤0, b＞0.

（D）a≥0, b＜0.

【】

11．設(shè)函數(shù)，則

（A）x= 0, x= 1都是f（x）的第一類間斷點．

（B）x= 0, x= 1都是f（x）的第二類間斷點．

（C）x= 0是f（x）的第一類間斷點，x= 1是f（x）的第二類間斷點．

（D）x= 0是f（x）的第二類間斷點，x= 1是f（x）的第一類間斷點．

【】

12．設(shè)則在點x= 1處，函數(shù)f（x）

（A）不連續(xù)．

（B）連續(xù)，但不可導(dǎo)．

（C）可導(dǎo)，但導(dǎo)數(shù)不連續(xù)．

（D）可導(dǎo)，且導(dǎo)數(shù)連續(xù)．

【】

13．設(shè)f（x）是奇函數(shù)，除x= 0外處處連續(xù)，x= 0是其第一類間斷點，則是

（A）連續(xù)的奇函數(shù)．

（B）連續(xù)的偶函數(shù)．

（C）在x= 0間斷的奇函數(shù)．

（D）在x= 0間斷的偶函數(shù)．

【】

14．設(shè)函數(shù)f（x）= xtanxesinx，則f（x）是

（A）偶函數(shù)．

（B）無界函數(shù)．

（C）周期函數(shù)．

（D）單調(diào)函數(shù)．

【】

15．函數(shù)在下列哪個區(qū)間內(nèi)有界

（A）（-1,0）.

（B）（0,1）.

（C）（1,2）.

（D）（2,3）.

【】

16．設(shè)f（x）= 2x+ 3x-2，則當(dāng)x→0時

（A）f（x）與x是等價無窮小．

（B）f（x）與x是同階但非等價無窮小．

（C）f（x）是比x更高階的無窮小．

（D）f（x）是比x較低階的無窮小．

【】

17．設(shè)對任意的x，總有φ（x）≤f（x）≤g（x），且，則

（A）存在且等于零．

（B）存在但不一定為零．

（C）一定不存在．

（D）不一定存在．

【】

18．設(shè)函數(shù)，討論函數(shù)f（x）的間斷點，其結(jié)論為

（A）不存在間斷點．

（B）存在間斷點x= 1.

（C）存在間斷點x= 0.

（D）存在間斷點x= -1.

【】

19．設(shè)f（x）在（- ∞, + ∞）內(nèi)有定義，且則

（A）x= 0必是g（x）的第一類間斷點．

（B）x= 0必是g（x）的第二類間斷點．

（C）x= 0必是g（x）的連續(xù)點．

（D）g（x）在點x= 0處的連續(xù)性與a的取值有關(guān)．

【】

20．設(shè)函數(shù)f（x）在x= 0處連續(xù)，且，則

（A）f（0）= 0且（0）存在．

（B）f（0）= 1且（0）存在．

（C）f（0）= 0且（0）存在．

（D）f（0）= 1且（0）存在．

【】

三、計算證明題

1．求下列極限

2．已知函數(shù)f（x）在（0, + ∞）上可導(dǎo)，f（x）＞0, ，且滿足，求f（x）.

3．求函數(shù)在區(qū)間（0,2π）內(nèi)的間斷點，并判斷其類型．

4．設(shè)函數(shù)問a為何值時，f（x）在x= 0處連續(xù)；a為何值時，x= 0是f（x）的可去間斷點？

5．設(shè)- ，試補充定義f（1），使得f（x）在上連續(xù)．

6．設(shè)，求：

7．試確定常數(shù)A, B, C的值，使得ex（1+ Bx+ Cx2）= 1+ Ax+ o（x3），其中o（x3）是當(dāng)x→0時比x3高階的無窮小．