PART TWO
第二部分線性代數

第一章行列式

考試內容與要求

考試內容

行列式的概念和基本性質，行列式按行（列）展開定理．

考試要求

1．了解行列式的概念，掌握行列式的性質．

2．會應用行列式的性質和行列式按行（列）展開定理計算行列式．

題型1.1 利用行列式和矩陣的運算性質計算行列式

1.（04,4分）設矩陣，矩陣B滿足ABA*= 2BA*+ E，其中A*為A的伴隨矩陣，E是單位矩陣，則| B|=______.

【答案】應填

【分析】用公式A*A=| A| E進行化簡．

【詳解】等式兩邊同時右乘A，得

ABA*A= 2BA*A+ A，

而| A|= 3，于是有3AB= 6B+ A，即（3A-6E）B= A，

在兩邊取行列式，有|3A-6E|| B|=| A|= 3，

而| 3A-6E|= 27，故所求行列式為| B|= .

【評注】注意：本題沒有必要先由（3A-6E）B= A求出B，再計算其行列式，而是可直接利用方陣相乘的行列式公式：若A, B為n階方陣，則| AB|=| A|| B|.

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2.（05,4分）設α1, α2, α3均為三維列向量，記矩陣

A=（α1, α2, α3）, B=（α1+α2+α3, α1+ 2α2+ 4α3, α1+ 3α2+ 9α3）.

如果| A|= 1，那么| B|=_______.

【答案】應填2.

【分析】將B寫成用A右乘另一矩陣的形式，再用方陣相乘的行列式性質進行計算即可．

【詳解1】由題設，有

【詳解2】用行列式性質對列向量組化簡得

|β| =|α1+α2+α3, α1+ 2α2+ 4α3, α1+ 3α2+ 9α3|=|α1+α2+α3, α2+ 3α3, α2+ 5α3|=|α1+α2+α3, α2+ 3α3,2α3|= 2|α1, α2, α3|= 2.

【評注1】本題相當于矩陣B的列向量組可由矩陣A的列向量組線性表示，關鍵是將其轉化為用矩陣乘積形式表示．一般地，若

【評注2】作為做題技巧，可令，則，于是| B|= 2.

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3.（06,4分）設矩陣, E為2階單位矩陣，矩陣B滿足BA = B+ 2E，則| B| =______.

【答案】應填2.

【詳解】由BA= B+ 2E得，B（A- E）= 2E，兩邊取行列式，有

| B|·| A- E|= 4，

而，于是| B|= 2.

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4.（13,4分）設A=（aij）是三階非零矩陣，| A| 為A的行列式，Aij 為a ij 的代數余子式．若aij+ Aij= 0（i, j = 1,2,3），則| A|=________.

【答案】應填-1.

【分析】根據已知條件易聯想到利用重要公式AA*=| A| E.

【詳解】由aij+ Aij= 0有，Aij= - aij（i, j = 1,2,3），得A*= - AT，于是

AA*= - AAT=| A| E，

兩邊取行列式得-|A| 2=| A| 3，解得| A|= -1或| A|= 0.

當| A|= 0時，由AAT =| A| E= 0，有A= 0，與已知矛盾，所以| A|= -1.

【評注】也可以如下證明| A|≠0：由A為非零矩陣，不妨設a11≠0．于是，根據行列式的按行展開定理得

| A|= a11A11+ a12A12+ a13A13= -＜0.

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5.（14,4分）行列式

（A）（ad- bc）2.

（B）-（ad- bc）2.

（C）a2d2- b2c2.

（D）b2c2- a2d2.

【】

【答案】應選（B）.

【分析】本題考查行列式的計算方法，直接按行展開即可．

選（B）.

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6.（15,4分）n階行列式= .

【答案】應填2n+ 1-2.

【詳解】按第一行展開得

故應填2n+ 1-2.

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7.（16,4分）行列式= .

【答案】應填λ4+λ3+ 2λ2+ 3λ+ 4.

【分析】本題考查行列式的展開式．

【詳解】將行列式按第4列展開得

小結

矩陣運算與行列式計算的一個重要關系式是：若A, B為n階矩陣，則有| AB|=| A|| B|．將題設條件盡量轉化為矩陣等式，再用上述公式求行列式是常用的方法．

題型1.2 利用秩、特征值和相似矩陣等計算行列式

（99,3分）設A是m× n矩陣，B是n× m矩陣，則

（A）當m＞n時，必有行列式| AB|≠0.

（B）當m＞n時，必有行列式| AB|= 0.

（C）當n＞m時，必有行列式| AB|≠0.

（D）當n＞m時，必有行列式| AB|= 0.

【】

【答案】應選（B）.

【分析】四個選項在于區分行列式是否為零，而行列式是否為零又是矩陣是否可逆的充要條件，問題轉化為矩陣是否可逆，而矩陣是否可逆又與矩陣是否滿秩相聯系，最終只要判斷AB是否滿秩即可．

【詳解】因為AB為m階方陣，且

r（AB）≤min{r（A）, r（B）}≤min{m, n}

當m＞n時，由上式可知，r（AB）≤n＜m，即AB不是滿秩的，故有行列式|AB|= 0.因此正確選項為（B）.

【評注】本題未知矩陣AB的具體元素，因此直接應用行列式的有關計算方法進行求解是困難的．對于此類抽象矩陣行列式的計算往往可考慮轉換為利用：（1）矩陣的秩（判斷行列式是否為零）;（2）行（列）向量組的線性相關性；（3）方程組解的判定；（4）特征值和相似矩陣的性質等進行計算．

小結

1．行列式的計算是線性代數這門課程的基礎，一方面直接利用行列式的相關知識計算行列式是基本要求，另一方面考生更應注意行列式與后續相關知識的有機聯系，可以說行列式與矩陣運算、矩陣的秩、向量組的線性相關性、方程組解的判定、特征值與相似矩陣以及二次型等均可有機地聯系起來．

2．設A為n階矩陣，則

因此，行列式的問題可轉換為相關后續知識來進行討論．

3．設λ1, λ2, …, λn為n階矩陣A的特征值，則行列式|A|= λ1λ2·…·λn．一般地，設A的多項式為f（A）= a0Am+ a1Am-1+ …+ am-1A+ amE，則行列式

| f（A）|= f（λ1）f（λ2）·…·f（λn）.

其中f（λ）= a0λm+ a1λm-1+ …+ am-1λ+ am.

4．若A與B為相似矩陣，則|A|=| B|, | f（A）|=| f（B）|．可以利用上述公式，將A的行列式計算問題轉化為其相似矩陣B的計算問題．

本章總結

本章歷年試題按題型分值分布情況如表2—1—1所示．

表2—1—1

從表中可以看出，表面上這部分內容在線性代數中所占比重不高，但由于行列式計算是線性代數的基礎問題，在后續相關知識討論中經常會用到，因此行列式的基本計算方法是必須熟練掌握的．本章命題的重點是將行列式的計算問題與矩陣運算結合起來進行考查，因此在復習過程中應特別注意行列式計算與矩陣運算之間的聯系與區別．

自測練習題

一、填空題

2.n階行列式= .

3．五階行列式= .

4．設n階矩陣

則| A|=__________.

5．設α=（1,0, -1）T，矩陣A= ααT, n為正整數，則| a E- A n|= _________.

6．設行列式，則第4行各元素余子式之和的值為______.

7．設A為m階方陣，B為n階方陣，且，則|C|=______.

8．設A, B均為n階矩陣，| A|= 2, | B|= -3，則| 2A*B-1|=_________.

9．若4階矩陣A與B相似，矩陣A的特征值為，則行列式|B-1- E|=______.

10．已知4階矩陣A相似于B, A的特征值為2,3,4,5, E為4階單位矩陣，則|B- E|= _________.

11．設3階矩陣A, B滿足A2B- A- B= E，其中E為3階單位矩陣，若，則| B|=______.

二、選擇題

1．記行列式為f（x），則方程f（x）= 0的根的個數為

（A）1.

（B）2.

（C）3.

（D）4.

【】

（A）m+ n.

（B）-（m+ n）.

（C）n- m.

（D）m- n.

【】

三、計算證明題

1．設A為10×10矩陣

計算行列式| A-λE|，其中E為10階單位矩陣，λ為常數．

2．設A為3階方陣，A*是A的伴隨矩陣，A的行列式|A|= ，求行列式|（3A）-1-2A*| 的值．

3．已知實矩陣A=（a ij）3× 3 滿足條件：

（1）aij = Aij（i, j = 1,2,3），其中Aij 是a ij 的代數余子式；（2）a11 ≠0.

計算行列式| A|.