2.14 棘手的方程

在解方程的時候，有時候我們會遇到一些比較棘手的方程，沒有太多學習經驗的人通常會手足無措。下面我們先舉幾個例子來看看。

[題] 求一個這樣的兩位數：十位上的數字等于個位上的數字減4。將十位和個位上的數字對調，然后用所得的新數減去原來的兩位數，所得的結果等于27。

[解] 我們先設十位上的數字為x，個位上的數字為y，然后根據題目中所給的條件，列出一個方程組：

將第一個方程中x的表達式代入第二個方程中，可得

[10y+（y-4）]-[10（y-4）+y]=27

化簡之后，等式變為

36=27

這本身就是一個不成立的等式。沒有求出要求的未知數，卻得出了一個根本不成立的等式，這說明了什么問題呢？

這說明符合題目要求的兩位數是不存在的。而且認真觀察我們所列的方程組，我們不難發現，這兩個方程本身就是互相矛盾的。

化簡第一個方程可以得出：

y-x=4

而化簡第二個方程得出的卻是：

y-x=3

同樣一個表達式（y-x），第一個結果是4，而第二個結果卻是3。4明顯不等于3，所以這個方程組肯定是沒有解的。

解下面這個方程組也會遇到類似的問題：

兩個方程兩端分別相除，可以得出：

xy=2

但是，把現在得出的方程和方程組中的第二個方程一比，我們又發現：

4=2顯然是不成立的。因此這個方程組的解是不存在的。我們把這種沒有解的方程組叫作“互不相容”方程組。

[題] 我們把第一道題的條件稍作改變：十位上的數字等于個位上的數字減3。將十位和個位上的數字對調，然后用所得的新數減去原來的兩位數，所得的結果等于27。求出這個數字。

[解] 仍然設十位數字是x，那么個位數字就是（x+3）。將問題轉變為代數語言，根據條件可以列出如下方程：

[10（x+3）+x]-[10x+（x+3）]=27

化簡這個方程之后，我們得到了這樣一個等式：

27=27

這個等式的正確性是毋庸置疑的。但是它對于我們求x的值沒有任何意義。這種情況難道說明此題是無解的？

恰恰相反，這并不說明符合題目的要求的數不存在，而是說明無論x取什么值，這個方程都是成立的。因為我們所列的是一個恒等式。通過下面的方法，我們很容易就能證實，任何一個十位上的數等于個位上的數加3的兩位數都符合該題的條件：

14+27=41, 47+27=74, 25+27=52

58+27=85, 36+27=63, 69+27=96

[題] 求一個滿足如下要求的三位數：

a．十位數是7；

b．百位數等于個位數減去4；

c．把這個數的百位數字與個位數顛倒位置，得到的新數比原來的三位數大396。

[解] 我們先設個位上的數字為x，根據題目可以列出如下方程：

100x+70+x-4-[100（x-4）+70+x]=396

化簡這個方程之后得到如下等式：

396=396

通過前面的講解，我們已經知道這樣的結果表示：任何一個百位數字等于個位數字加4的三位數，在顛倒位置之后，得到的新數都會比原來的三位數大396。

前面我們所討論的題目多多少少帶點人為的性質，有些抽象。這些題能夠幫助我們培養列方程和解方程的技巧。現在，我們已經有了一定的理論知識，下面可以從生產、生活、軍事、體育等領域找一些實際問題的例子來探討一下。