第三節　用水平面代替水準面的限度

當測區范圍較小，可以用水平面代替水準面，即以平面代替曲面。這樣的替代可使測量的計算和繪圖工作大為簡化。但當測區范圍較大時，就必須顧及地球曲率的影響。那么多大范圍內才允許用水平面代替水準面呢？下面就來討論這個問題。

一、用水平面代替水準面對水平距離的影響

如圖1-12所示，設地球是半徑為R的圓球。地面上A、B兩點投影到大地水準面上的距離為弧長D，投影到水平面上的距離為D'，顯然兩者之差即為用水平面代替水準面所產生的距離誤差，設其為ΔD，則

　　（1-11）

式中　θ——弧長D所對應的圓心角。

將tanθ用級數展開并略去高次項得

又因

則有距離誤差

距離相對誤差

　　（1-12）

以R=6371km和不同的D值代入式（1-12），求出距離誤差和距離相對誤差，結果見表1-2。

由表1-2可以看出，距離為10km時，產生的相對誤差為1∶1220000，小于目前最精密測距的允許誤差1∶1000000。因此可以認為，在半徑為10km的區域，地球曲率對水平距離的影響可以忽略不計。

二、用水平面代替水準面對水平角的影響

從球面三角學可知，球面上三角形內角之和比平面上相應的三角形內角之和多出一個球面角超ε，如圖1-13所示。其值可根據多邊形面積求得，即

　　（1-13）

式中　ε——球面角超，以秒為單位；

P——球面多邊形面積；

ρ——206265″；

R——地球半徑。

把不同的球面多邊形面積代入式（1-13），求出球面角超，如表1-3所示。

計算結果表明，當測區范圍在100km2時，用水平面代替水準面對角度的影響僅為0.51″，在普通測量工作中可以忽略不計。

三、用水平面代替水準面對高程的影響

如圖1-12所示，地面點B的絕對高程為該點沿鉛垂線到大地水準面的距離HB，當用過a點與大地水準面相切的水平面代替大地水準面時，B點的高程為H'B，兩者的差值為bb'，此即為用水平面代替大地水準面所產生的高程誤差，用Δh表示。由圖1-12可得

即

因為水平距離D'與弧長D很接近，取D'=D；又因Δh遠小于R，取2R+Δh為2R，代入上式得

　　（1-14）

以R=6371km和不同的D值代入上式，算得相應的Δh值列于表1-4中。

由表1-4可知，用平面代替曲面作為高程的起算面，對高程的影響是很大的，例如距離200m時，就有3mm的誤差，超過了允許的精度要求。因此，即便是距離很短，也不能忽視地球曲率對高程的影響。