第一部分　歷年真題及詳解

2008年全國碩士研究生入學統一考試考研數學一真題及詳解

一、選擇題（1～8小題，每小題4分，共32分。下列每題給出的四個選項中，只有一個選項符合題目要求。）

1設函數

則f′（x）的零點個數為（　　）。

A．0

B．1

C．2

D．3

【答案】B

【考點】函數求導公式

【解析】由題意得f′（x）＝2xln（2＋x²），且ln（2＋x²）≠0，所以x＝0是f′（x）的唯一零點，故應選B項。

2函數f（x，y）＝arctan（x/y）在點（0，1）處的梯度等于（　　）。

A．i(→)

B．－i(→)

C．j(→)

D．－j(→)

【答案】A

【考點】梯度的定義和求法

【解析】由梯度定義得

3在下列微分方程中，y＝C₁e^x＋C₂cos2x＋C₃sin2x（C₁，C₂，C₃是任意常數）為通解的是（　　）。

A．y?＋y″－4y′－4y＝0

B．y?＋y″＋4y′＋4y＝0

C．y?－y″－4y′＋4y＝0

D．y?－y″＋4y′－4y＝0

【答案】D

【考點】齊次線性微分方程的特征多項式、特征值、通解

【解析】因為y＝C₁e^x＋C₂cos2x＋C₃sin2x（C₁，C₂，C₃是任意常數）為通解，所以微分方程的特征值為1，±2i，于是特征多項式為（λ－1）（λ－2i）（λ＋2i）＝0，即λ³－λ²＋4λ－4＝0。故微分方程為y?－y″＋4y′－4y＝0。

4設函數f（x）在（－∞，＋∞）內單調有界，{x_n}為數列，下列命題正確的是（　　）。

A．若{x_n}收斂，則{f（x_n）}收斂

B．若{x_n}單調，則{f（x_n）}收斂

C．若{f（x_n）}收斂，則{x_n}收斂

D．若{f（x_n）}單調，則{x_n}收斂

【答案】B

【考點】極限收斂的單調有界定理

【解析】對于B項，若{x_n}單調，而由題設函數f（x）在（－∞，＋∞）內單調有界知，{f（x_n）}單調有界，從而收斂。故選擇B項。

5設A為n階非零矩陣，E為n階單位矩陣，若A³＝O，則（　　）。

A．E－A不可逆，E＋A不可逆

B．E－A不可逆，E＋A可逆

C．E－A可逆，E＋A可逆

D．E－A可逆，E＋A不可逆

【答案】C

【考點】矩陣可逆的定義及矩陣的運算法則

【解析】由A³＝O得，A³＋E＝E?（A＋E）（A²－A＋E）＝E，所以A＋E可逆。由A³＝O得，A³－E＝－E?（E－A）（A²＋4＋E）＝E，所以E－A可逆。因此，選擇C項。

6設A為三階實對稱矩陣，如果二次曲面方程在正交變換下的標準方程的圖形如圖1所示，則A的正特征值的個數為（　　）。

圖1

A．0

B．1

C．2

D．3

【答案】B

【考點】考查雙葉雙曲面，特征值與標準型的關系

【解析】圖1為雙葉雙曲面，其方程的標準型為

在題設條件下，矩陣A的正特征值的個數就是標準方程中正項的項數，故A的正特征值的個數為1。

7設隨機變量X，Y獨立同分布，且X的分布函數為F（x），則Z＝max{X，Y}的分布函數為（　　）。

A．F²（x）

B．F（x）F（y）

C．1－[1－F（x）]²

D．[1－F（x）][1－F（y）]

【答案】A

【考點】分布函數的定義與求法，相互獨立的隨機變量的性質

【解析】由X，Y獨立同分布知，Y的分布函數也為F（x）。記Z的分布函數為F_Z（x），則

F_Z（x）＝P{max{X，Y}≤x}＝P{X≤x，Y≤x}＝P{X≤x}P{Y≤x}（X與Y獨立）＝F²（x）

8設隨機變量X～N（0，1），Y～N（1，4），且相關系數ρ_XY＝1，則（　　）。

A．P{Y＝－2X－1}＝1

B．P{Y＝2X－1}＝1

C．P{Y＝－2X＋1}＝1

D．P{Y＝2X＋1}＝1

【答案】D

【考點】考查相關系數的相關概念

【解析】方法一：已知1＝ρ_XY，則X，Y正相關，排除A、C兩項。由題意知EX＝0，EY＝1，又E（ax＋b）＝aEx＋b＝1，1＝2×0＋b＝1，可得b＝1，因此排除B項。因此，選擇D項。

方法二：由X～N（0，1），Y～N（1，4）知EX＝0，DX＝1，EY＝1，DY＝4。由于ρ_XY＝1，所以存在常數a，b，使得P{Y＝ax＋b}＝1，從而EY＝aEX＋b，得b＝1。而

得a＝2，因此，選擇D項。

二、填空題（9～14小題，每小題4分，共24分，請將答案寫在題中橫線上。）

9微分方程xy′＋y＝0滿足條件y（1）＝1的解是y＝______。

【答案】1/x

【考點】用分離變量法求解微分方程

【解析】xy′＋y＝0?y′/y＝－1/x，兩邊積分得y＝C/x，C為任意常數。將y（1）＝1代入得C＝1，故y＝1/x。

10曲線sin（xy）＋ln（y－x）＝x在點（0，1）處的切線方程是______。

【答案】y＝x＋1

【考點】切線方程的求法及隱函數的求導

【解析】在sin（xy）＋ln（y－x）＝x兩邊對x求導，將y看成x的函數，得cos（xy）（y＋xy′）＋（y′－1）/（y－x）＝1。則y′（0）＝1，所以在點（0，1）處切線方程為y－1＝x，即y＝x＋1。

11已知冪級數在x＝0處收斂，在x＝－4處發散，則冪級數的收斂域為______。

【答案】（1，5]

【考點】考查冪級數的收斂域及級數的收斂性

【解析】因為冪級數在x＝0處收斂，在x＝－4處發散，則級數收斂，發散，從而冪級數的收斂域為（－2，2]。故冪級數的收斂域為（－2＋3，2＋3]，即（1，5]。

12設曲面∑是的上側，則______。

【答案】4π

【考點】考查高斯公式的條件和利用高斯公式求曲面積分

【解析】添加曲面∑₁：z＝0，x²＋y²≤4，取下側，記D＝{（x，y）|x²＋y²≤4}，則可應用高斯公式

13設A為二階矩陣，α₁，α₂為線性無關的二維列向量，Aα₁＝0，Aα₂＝2α₁＋α₂，則A的非零特征值為______。

【答案】1

【考點】相似矩陣的性質：相似矩陣具有相同的特征值

【解析】已知Aα₁＝0，Aα₂＝2α₁＋α₂，則

令P＝（α₁，α₂），因為α₁，α₂線性無關，所以P可逆，故

即A，B相似。故A與B有相同的特征值，易求出B的特征值為0，1，所以A的非零特征值為1。

14設隨機變量X服從參數為1的泊松分布，則P（X＝EX²）＝______。

【答案】1/（2e）

【考點】泊松分布的定義，期望的性質

【解析】因為隨機變量X服從參數為1的泊松分布，則X的概率分布為P（X＝i）＝e^－1/i!，則EX²＝DX＋（EX）²＝1＋1＝2，故P{X＝EX²}＝P{X＝2}＝e^－1/2＝1/（2e）。

三、解答題（15～23小題，共94分，解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。）

15（本題滿分9分）

求極限

【考點】考查洛必達法則，等價替換

解：

16（本題滿分9分）

計算曲線積分，其中L是曲線y＝sinx上從點（0，0）到點（π，0）的一段。

【考點】曲線積分的求法公式及定積分的求法

解：

17（本題滿分11分）

已知曲線

求曲線C上距離xOy面最遠的點和最近的點。

【考點】考查點到直線的距離公式，函數的極值

解：設曲線上的任意一點為（x，y，z），則（x，y，z）到xOy面的距離為|z|，等價于求函數H＝z²在條件x²＋y²－2z²＝0與x＋y＋3z＝5下的最大值點和最小值點。

設F（x，y，z，λ，μ）＝z²＋λ（x²＋y²－2z²）＋μ（x＋y＋3z－5）。

由

解得

或

根據幾何意義得，曲線C上存在距離xOy面最遠的點和最近的點，因為點（－5，－5，5）和（1，1，1）到xOy面的距離分別為5和1。所以，（－5，－5，5）為最遠點，（1，1，1）為最近點。

18（本題滿分10分）

設函數f（x）連續，

（Ⅰ）利用定義證明函數可導，且F′（x）＝f（x）；

（Ⅱ）當f（x）是以2為周期的周期函數時，證明函數也是以2為周期的周期函數。

【考點】可導的定義、周期函數的定義

解：（Ⅰ）證明：對任意x，由于函數f連續，所以

其中ξ介于x與x＋Δx之間。由

可知函數F（x）在x處可導，且F′（x）＝f（x）。

（Ⅱ）證明：由于f（x）是以2為周期的周期函數，所以對于任意的x，都有f（x＋2）＝f（x），于是

即G（x）也是以2為周期的周期函數。

19（本題滿分11分）

將函數f（x）＝1－x²（0≤x≤π），展開成余弦級數，并求級數的和。

【考點】函數的傅立葉展開，級數的和

解：由于f（x）為偶函數，于是b_n＝0（n＝1，2，…）。計算得

當n＝1，2，…時，

所以f（x）的余弦展開為

令x＝0，則

又f（0）＝1，可求得

20（本題滿分10分）

設α，β是3維列向量，矩陣A＝αα^T＋ββ^T，其中α^T，β^T分別為α，β的轉置。證明：

（Ⅰ）r（A）≤2；

（Ⅱ）若α，β線性相關，則r（A）＜2。

【考點】矩陣秩的性質：r（A＋B）≤r（A）＋r（B）；r（AB）≤min（r（A）＋r（B）

證明：（Ⅰ）設B，C是任意m×n矩陣，則r（B＋C）≤r（B）＋r（C）。

利用這個結論，有r（A）＝r（αα^T＋ββ^T）≤r（αα^T）＋r（ββ^T）。

又由于α，β均為3維列向量，即它們都是3×1矩陣，所以

r（αα^T）≤r（α）≤1

r（ββ^T）≤r（β）≤1

因而r（A）≤r（α）＋r（β）≤2。

（Ⅱ）當α，β線性相關，不妨設β＝kα，于是A＝αα^T＋ββ^T＝（1＋k²）αα^T。故r（A）＝r[（1＋k²）αα^T]＝r（αα^T）≤r（α）≤1＜2。

21（本題滿分12分）

設n元線性方程組Ax＝b，其中

x＝（x₁，x₂，…，x_n）^T，b＝（1，0，…，0）^T。

（Ⅰ）證明行列式|A|＝（n＋1）aⁿ；

（Ⅱ）當a為何值時，該方程組有唯一解，并求x₁；

（Ⅲ）當a為何值時，該方程組有無窮多解，并求通解。

【考點】用數學歸納法求行列式；線性方程組有唯一解的條件；線性方程組有無窮解的條件及通解的求法

解：（Ⅰ）

現用數學歸納法證明。

當n＝1時，D₁＝2a，結論成立。

當n＝2時，

顯然結論成立。

假設當n≤k時，結論成立，即D_k＝（k＋1）a^k；

則當n＝k＋1時，有D_k＋1＝2aD_k－a²D_k－1＝2a（k＋1）a^k－a²ka^k－1＝（k＋2）a^k＋1，即當n＝k＋1時，結論成立。

綜上可得，|A|＝（n＋1）aⁿ。

（Ⅱ）|A|＝（n＋1）aⁿ≠0，即當a≠0時，方程組有唯一解。設將A的第一列用b替換后所得矩陣為A₁，根據克萊姆法則可得

（Ⅲ）當a＝0時，方程組有無窮多解。此時

則A＝b的同解方程組為

易求得Ax＝b的基礎解系為（1，0，…，0）^T。

又方程組Ax＝b的一個特解為（0，1，…，0）^T，所以方程組Ax＝b的通解為x＝k（1，0，…，0）^T＋（0，1，…，0）^T，其中k為任意常數。

22（本題滿分11分）

設隨機變量X與Y相互獨立，X的概率分布為P{X＝i}＝1/3（i＝－1，0，1），Y的概率密度為

記Z＝X＋Y。

（Ⅰ）求P{Z≤1/2|X＝0}；

（Ⅱ）求Z的概率密度f_Z（z）。

【考點】條件概率計算公式，相互獨立隨機變量的性質，分布函數與密度函數的定義和求法

解：（Ⅰ）由已知及條件概率計算公式得

（Ⅱ）設z的分布函數為F_Z（z），則其值為非零時z的取值區間為[－1，2]。

當z≤－1時，F_Z（z）＝0；

當z≥2時，F_Z（z）＝1；

當－1＜z＜2時，F_Z（z）＝P{Z≤z}＝P{X＋Y≤z}＝P{X＋Y≤z|X＝－1}P{X＝－1}＋P{X＋Y≤z|X＝0}P{X＝0}＋P{X＋Y≤z|X＝1}P{X＝1}＝[P{Y≤z＋1}＋P{Y≤z}＋P{Y≤z－1}]/3＝[F_Y（z＋1）＋F_Y（z）＋F_Y（z－1）]/3。

所以z的分布密度函數為

23（本題滿分11分）

設X₁，X₂，…，X_n是總體N（μ，σ²）的簡單隨機樣本，記

T＝X(＿)²－S²/n

（Ⅰ）證明T是μ²的無偏估計量；

（Ⅱ）當μ＝0，σ＝1時，求DT。

【考點】（Ⅰ）無偏估計的定義和求法；（Ⅱ）方差的定義與性質

證明：（Ⅰ）因為

故T是μ²的無偏估計量。

（Ⅱ）當μ＝0，σ＝1時，X～N（0，1），X(＿)～N（0，1/n），所以nX(＿)²～χ²（1），（n－1）S²～χ²（n－1），于是D（nX(＿)²）＝2，D[（n－1）S²]＝2（n－1）。

因此