第二節　微分學

單項選擇題（下列選項中，只有一項符合題意）

1函數y＝sin（1/x）是定義域內的（　?。?。[2017年真題]

A．有界函數

B．無界函數

C．單調函數

D．周期函數

【答案】A

【解析】因為－1≤sin（1/x）≤1，即函數y＝sin（1/x）是定義域內的有界函數。

2函數f（x）＝sin（x＋π/2＋π）在區間[－π，π]上的最小值點x₀等于（　?。?span id="en9o3ef" class="ZhenTiTag">[2017年真題]

A．－π

B．0

C．π/2

D．π

【答案】B

【解析】對函數求導得f′（x）＝cos（x＋π/2＋π），令f′（x）＝cos（x＋π/2＋π）＝0，計算得x＋π/2＋π＝π/2±kπ，k＝0，1，2，得x＝±kπ－π，根據區間[－π，π]知：①當k＝0時，x＝－π，函數有最大值1；②當k＝1時，x只能取0，函數有最小值－1；③當k＝2時，x只能取π，函數有最大值1。綜上，知最小值點x₀等于0。

3下列極限式中，能夠使用洛必達法則求極限的是（　?。?。[2016年真題]

A．

B．

C．

D．

【答案】B

【解析】求極限時，洛必達法則的使用條件有：①屬于0/0型或者無窮/無窮型的未定式；②在變量所趨向的值的去心鄰域內，分子和分母均可導；③分子分母求導后的商的極限存在或趨向于無窮大。A項屬于1/0型，不符合條件；C項，分子在x＝0處的去心鄰域處不可導，不符合條件；D項不符合條件③；則只有B項正確。

4下列等式中不成立的是（　?。?span id="d92rp99" class="ZhenTiTag">[2018年真題]

A．

B．

C．

D．

【答案】B

【解析】

A項，因為x→0，所以x²→0，所以利用上面重要極限的結論知

B項，極限

可化為

極限

為無窮小量；而|sinx|≤1，sinx為有界函數。因為有界函數與無窮小的乘積是無窮小，所以

C項，即為上面重要極限結論。

D項，因為x→∞，得1/x→0，所以利用重要極限知

5若

則常數k等于（　?。?。[2014年真題]

A．－ln2

B．ln2

C．1

D．2

【答案】A

【解析】由

兩邊同時取自然對數，得：－k＝ln2，所以k＝－ln2。

6若

則必有（　　）。[2013年真題]

A．a＝1，b＝2

B．a＝1，b＝－2

C．a＝－1，b＝－1

D．a＝1，b＝1

【答案】C

【解析】因為

且分母為零，故

得2＋a＋b＝0，又由洛必達法則，有

解得：a＝－1。則b＝－1。

7設α（x）＝1－cosx，β（x）＝2x²，則當x→0時，下列結論中正確的是（　　）。[2012年真題]

A．α（x）與β（x）是等價無窮小

B．α（x）是β（x）的高階無窮小

C．α（x）是β（x）的低階無窮小

D．α（x）與β（x）是同階無窮小但不是等價無窮小

【答案】D

【解析】因

或用洛必達法則

故α（x）與β（x）是同階無窮小但不是等價無窮小。

8要使得函數

在（0，＋∞）上連續，則常數a等于（　?。?。[2017年真題]

A．0

B．1

C．－1

D．2

【答案】C

【解析】函數在（0，＋∞）上連續，因此在x＝1處，有

即由洛必達法則，得

即a＝－1。

9點x＝0是函數y＝arctan（1/x）的（　?。?。[2014年真題]

A．可去間斷點

B．跳躍間斷點

C．連續點

D．第二類間斷點

【答案】B

【解析】第一類間斷點的判別方法為：如果f（x）在點x₀處間斷，且f（x₀^＋），f（x₀^－）都存在。其中，如果f（x₀^＋）≠f（x₀^－），則稱點x₀為函數f（x）的跳躍間斷點。本題中，因為y（0^＋）＝π/2，y（0^－）＝－π/2，y（0^＋）≠y（0^－），所以點x＝0是函數y＝arctan（1/x）的跳躍間斷點。

10設

則x＝0是f（x）的下面哪一種情況？（　　）[2012年真題]

A．跳躍間斷點

B．可去間斷點

C．第二類間斷點

D．連續點

【答案】D

【解析】函數在某一點處，左右極限相等且有定義，則函數在這一點處連續。函數的左右極限分別為：

由

得

f（0）＝（x²＋1）|_x＝0＝1

所以

即x＝0是f（x）的連續點。

11函數f（x）＝（x－x²）/sinπx的可去間斷點的個數為（　?。?。[2011年真題]

A．1個

B．2個

C．3個

D．無窮多個

【答案】B

【解析】函數分母不為零，分母為零的點有0，±1，±2，±3，……；分子為零的點有0，1。當x＝0，1時，有：

故f（x）有兩個可去間斷點0、1。

12若y＝y（x）由方程e^y＋xy＝e確定，則y′（0）等于（　?。?。[2017年真題]

A．－y/e^y

B．－y/（x＋e^y）

C．0

D．－1/e

【答案】D

【解析】由方程e^y＋xy＝e可得，當x＝0時，y＝1。方程兩邊對x求導得e^yy′＋y＋xy′＝0，即y′＝－y/（x＋e^y），將x＝0，y＝1代入，則可得y′（0）＝－1/e。

13設函數f（x）在（a，b）內可微，且f′（x）≠0，則f（x）在（a，b）內（　　）。[2016年真題]

A．必有極大值

B．必有極小值

C．必無極值

D．不能確定有還是沒有極值

【答案】C

【解析】可導函數極值判斷：若函數f（x）在（a，c）上的導數大于零，在（c，b）上的導數小于零，則f（x）在c點處取得極大值；若函數f（x）在（a，c）上的導數小于零，在（c，b）上的導數大于零，則f（x）在c點處取得極小值。即可導函數極值點處，f′（x）＝0。函數f（x）在（a，b）內可微，則函數在（a，b）內可導且連續；又f′（x）≠0，則在（a，b）內必有f′（x）＞0或f′（x）＜0，即函數f（x）在（a，b）內單調遞增或單調遞減，必無極值。

14下列說法中正確的是（　　）。[2014年真題]

A．若f′（x₀）＝0，則f（x₀）必須是f（x）的極值

B．若f（x₀）是f（x）的極值，則f（x）在點x0處可導，且f′（x₀）＝0

C．若f（x₀）在點x₀處可導，則f′（x₀）＝0是f（x）在x₀取得極值的必要條件

D．若f（x₀）在點x₀處可導，則f′（x₀）＝0是f（x）在x₀取得極值的充分條件

【答案】C

【解析】當f（x₀）在點x₀處可導時，若f（x）在x₀處取得極值，則可知f′（x₀）＝0；若f′（x₀）＝0，而f′（x₀^＋）f′（x₀^－）≥0時，則f（x）在x₀處不能取得極值。因此，若f（x₀）在點x₀處可導，則f′（x₀）＝0是f（x）在x₀取得極值的必要條件。

15若f′（x₀）存在，則（　?。?。[2018年真題]

A．f′（x₀）

B．－x₀f′（x₀）

C．f（x₀）－x₀f′（x₀）

D．x₀f′（x₀）

【答案】C

【解析】原式化簡得

16設

則f（x）在點x＝1處（　　）。[2013年真題]

A．不連續

B．連續但左、右導數不存在

C．連續但不可導

D．可導

【答案】C

【解析】

即

故f（x）在x＝1處連續；

即f_－′（1）≠f_＋′（1），故不可導。

17下列函數在給定區間上不滿足拉格朗日定理條件的是（　　）。[2012年真題]

A．f（x）＝x/（1＋x²），[－1，2]

B．f（x）＝x^2/3，[－1，1]

C．f（x）＝e^1/x，[1，2]

D．f（x）＝（x＋1）/x，[1，2]

【答案】B

【解析】在拉格朗日中值定理中，函數f（x）應滿足：在閉區間[a，b]上連續，在開區間（a，b）上可導。f（x）＝x^2/3在[－1，1]連續。

在（－1，1）不可導（因為f′（x）在x＝0處導數不存在），所以不滿足拉格朗日中值定理的條件。

18如果f（x）在x₀可導，g（x）在x₀不可導，則f（x）g（x）在x₀（　?。?。[2011年真題]

A．可能可導也可能不可導

B．不可導

C．可導

D．連續

【答案】A

【解析】舉例說明，令g（x）＝1/x，g（x）在x₀＝0處導數不存在，即不可導。令f（x）＝x，此時f（x）·g（x）＝1在x₀＝0處可導。令g（x）＝1/x，f（x）＝1，此時f（x）g（x）＝1/x在x₀＝0處不可導。

19設f（x）＝x（x－1）（x－2），則方程f′（x）＝0的實根個數是（　?。?span id="3t7hd9d" class="ZhenTiTag">[2016年真題]

A．3

B．2

C．1

D．0

【答案】B

【解析】先對方程求導，得：f′（x）＝3x²－6x＋2，再根據二元函數的判別式Δ＝b²－4ac＝12＞0，可知方程有兩個實根。

20設

則f（π/2）等于（　?。?span id="irlsfd9" class="ZhenTiTag">[2016年真題]

A．π/2

B．－2/π

C．2/π

D．0

【答案】B

【解析】將方程兩邊分別對x取一階導數得：f（x）＝（－xsinx－cosx）/x²，故

21等于（　?。2014年真題]

A．1/（2x^3/2）

B．

C．

D．2/x

【答案】B

【解析】

22若

則dy/dx等于（　　）。[2013年真題]

A．－tant

B．tant

C．－sint

D．cott

【答案】A

【解析】dy/dx＝（dy/dt）/（dx/dt）＝－sint/cost＝－tant。

23設f（x）有連續的導數，則下列關系式中正確的是（　?。?。[2013年真題]

A．∫f（x）dx＝f（x）

B．（∫f（x）dx）′＝f（x）

C．∫f′（x）dx＝f（x）dx

D．（∫f（x）dx）′＝f（x）＋C

【答案】B

【解析】∫f（x）dx＝F（x）＋C，∫f′（x）dx＝f（x）＋C，（∫f（x）dx）′＝f（x）。

24設y＝ln（cosx），則微分dy等于（　　）。[2012年真題]

A．dx/cosx

B．cotxdx

C．－tanxdx

D．－dx/（cosxsinx）

【答案】C

【解析】等式兩邊同時微分，得：dy＝f′（x）dx＝（－sinx）dx/cosx＝－tanxdx。

25f（x）的一個原函數為則f′（x）等于（　?。?。[2012年真題]

A．

B．

C．

D．

【答案】A

【解析】由條件f（x）的一個原函數為，得

再由f（x）兩邊求導得：

26若x＝1是函數y＝2x²＋ax＋1的駐點，則常數a等于（　?。?。[2018年真題]

A．2

B．－2

C．4

D．－4

【答案】D

【解析】函數y關于x求導，得y′＝4x＋a。因為x＝1是函數y＝2x²＋ax＋1的駐點，所以4×1＋a＝0，計算得a＝－4。

27曲線f（x）＝xe^－x的拐點是（　?。?。[2017年真題]

A．（2，2e^－2）

B．（－2，－2e²）

C．（－1，－e）

D．（1，e^－1）

【答案】A

【解析】f（x）＝xe^－x，有f′（x）＝（1－x）e^－x，有f″（x）＝（x－2）e^－x，令f″（x）＝0，計算得x＝2，通過計算知，f″（x）在x＝2的左、右兩側鄰近異號，又f（2）＝2e^－2，所以點（2，2e^－2）為曲線的拐點。

28函數f（x，y）在點P₀（x₀，y₀）處的一階偏導數存在是該函數在此點可微分的（　?。?span id="ehsxft2" class="ZhenTiTag">[2018年真題]

A．必要條件

B．充分條件

C．充分必要條件

D．既非充分條件也非必要條件

【答案】A

【解析】函數f（x，y）在P₀（x₀，y₀）可微，則f（x，y）在P₀（x₀，y₀）的偏導數一定存在。反之，偏導數存在不一定能推出函數在該點可微。舉例如下：

函數

在點（0，0）處有f_x（0，0）＝0，f_y（0，0）＝0，但函數f（x，y）在（0，0）處不可微。因此，函數f（x，y）在點P₀（x₀，y₀）處的一階偏導數存在是該函數在此點可微分的必要條件。

29設z＝yφ（x/y），其中φ（u）具有二階連續導數，則?²z/（?x?y）等于（　?。?。[2017年真題]

A．（1/y）φ″（x/y）

B．（－x/y²）φ″（x/y）

C．1

D．φ′（x/y）－（x/y）φ″（x/y）

【答案】B

【解析】計算得

?z/?x＝y·φ′（x/y）·（1/y）＝φ′（x/y）

?²z/?x?y＝－（x/y²）φ″（x/y）

30設函數z＝f（x²y），其中f（u）具有二階導數，則?²z/（?x?y）等于（　?。?。[2018年真題]

A．f″（x²y）

B．f′（x²y）＋x²f″（x²y）

C．2x[f′（x²y）＋yf″（x²y）]

D．2x[f′（x²y）＋x²yf″（x²y）]

【答案】D

【解析】?²z/（?x?y）是先關于x求導，再關于y求導，計算得

31設z＝3^xy/x＋xF（u），其中F（u）可微，且u＝y/x，則?z/?y等于（　?。?span id="wyti7hi" class="ZhenTiTag">[2016年真題]

A．3^xy－yF′（u）/x

B．3^xyln3/x＋F′（u）

C．3^xy＋F′（u）

D．3^xyln3＋F′（u）

【答案】D

【解析】計算得

32設方程x²＋y²＋z²＝4z確定可微函數z＝z（x，y），則全微分dz等于（　?。?。[2014年真題]

A．（ydx＋xdy）/（2－z）

B．（xdx＋ydy）/（2－z）

C．（dx＋dy）/（2＋z）

D．（dx－dy）/（2－z）

【答案】B

【解析】對等式兩邊分別同時求導，得：2xdx＋2ydy＋2zdz＝4dz。所以dz＝（xdx＋ydy）/（2－z）

33設則?²z/?x²等于（　?。?。[2014年真題]

A．

B．

C．

D．

【答案】A

【解析】一次偏導為：

二次偏導為：

34設z＝z（x，y）是由方程xz－xy＋ln（xyz）＝0所確定的可微函數，則?z/?y等于（　?。?span id="ngrpahh" class="ZhenTiTag">[2013年真題]

A．－xz/（xz＋1）

B．－x＋1/2

C．z（－xz＋y）/[x（xz＋1）]

D．z（xy－1）/[y（xz＋1）]

【答案】D

【解析】將xz－xy＋ln（xyz）＝0兩邊對y求偏導，得xz_y′－x＋x（z＋y·z_y′）/（xyz）＝0，整理得z_y′＝z（xy－1）/[y（xz＋1）]。

35若z＝f（x，y）和y＝φ（x）均可微，則dz/dx等于（　?。?span id="8smjecu" class="ZhenTiTag">[2013年真題]

A．?f/?x＋?f/?y

B．?f/?x＋（?f/?y）（dφ/dx）

C．（?f/?y）（dφ/dx）

D．?f/?x－（?f/?y）（dφ/dx）

【答案】B

【解析】dz/dx＝（?f/?x）（dx/dx）＋（?f/?y）（dφ/dx）＝?f/?x＋（?f/?y）（dφ/dx）。

36設f（x）為偶函數，g（x）為奇函數，則下列函數中為奇函數的是（　?。?span id="ktkfyyy" class="ZhenTiTag">[2018年真題]

A．f[g（x）]

B．f[f（x）]

C．g[f（x）]

D．g[g（x）]

【答案】D

【解析】D項，令T（x）＝g[g（x）]。因為T（－x）＝g[g（－x）]＝g[－g（x）]＝－g[g（x）]，所以T（－x）＝－T（x），所以g[g（x）]為奇函數。

37已知f（x）為連續的偶函數，則f（x）的原函數中（　　）。[2013年真題]

A．有奇函數

B．都是奇函數

C．都是偶函數

D．沒有奇函數也沒有偶函數

【答案】A

【解析】f（x）的原函數中有與f（x）的奇偶性相反的函數，但并不是所有偶函數f（x）的原函數都是奇函數。

38若f（－x）＝－f（x）（－∞＜x＜＋∞），且在（－∞，0）內f′（x）＞0，f″（x）＜0，則f（x）在（0，＋∞）內是（　?。?。[2013年真題]

A．f′（x）＞0，f″（x）＜0

B．f′（x）＜0，f″（x）＞0

C．f′（x）＞0，f″（x）＞0

D．f′（x）＜0，f″（x）＜0

【答案】C

【解析】由f（－x）＝－f（x）（－∞＜x＜＋∞），知f（x）為奇函數，奇函數關于原點對稱。根據奇函數圖形，故在（0，＋∞）內，f′（x）＞0，f″（x）＞0。

39函數y＝（5－x）x^2/3的極值可疑點的個數是（　　）。[2013年真題]

A．0

B．1

C．2

D．3

【答案】C

【解析】極值可疑點為導數不存在或者導數為零的點。函數求導y′＝5x^－1/3（2－x）/3，可見函數在x＝0處導數不存在，在x＝2處導數為零，所以有兩個極值可疑點。

40設函數f（x），g（x）在[a，b]上均可導（a＜b），且恒正，若f′（x）g（x）＋f（x）g′（x）＞0，則當x∈（a，b）時，下列不等式中成立的是（　?。?span id="hbuqcjc" class="ZhenTiTag">[2018年真題]

A．f（x）/g（x）＞f（a）/g（b）

B．f（x）/g（x）＞f（b）/g（b）

C．f（x）g（x）＞f（a）g（a）

D．f（x）g（x）＞f（b）g（b）

【答案】C

【解析】因為[f（x）g（x）]′＝f′（x）g（x）＋f（x）g′（x）＞0，所以函數f（x）g（x）在[a，b]上單調遞增。所以，當x∈（a，b）時，f（a）g（a）＜f（x）g（x）＜f（b）g（b）。

41當a＜x＜b時，有f′（x）＞0，f″（x）＜0，則在區間（a，b）內，函數y＝f（x）的圖形沿x軸正向是（　　）。[2012年真題]

A．單調減且凸的

B．單調減且凹的

C．單調增且凸的

D．單調增且凹的

【答案】C

【解析】由f′（x）＞0且f″（x）＜0可知，函數y＝f（x）的圖形沿x軸正向是單調增且凸的。

42當x＞0時，下列不等式中正確的是（　?。?。[2011年真題]

A．e^x＜1＋x

B．ln（1＋x）＞x

C．e^x＜ex

D．x＞sinx

【答案】D

【解析】上述函數，A項，當x＝1時，e＞2。B項，當x→＋∞時，顯然x＞ln（1＋x）。C項，當x→＋∞時，顯然e^x＞ex。

43設f（x）＝（e^2x－1）/（e^2x＋1），則（　?。?span id="ex7kris" class="ZhenTiTag">[2010年真題]

A．f（x）為偶函數，值域為（－1，1）

B．f（x）為奇函數，值域為（－∞，0）

C．f（x）為奇函數，值域為（－1，1）

D．f（x）為奇函數，值域為（0，＋∞）

【答案】C

【解析】根據題意可得

所以f（x）為奇函數；由于f′（x）＝4e^2x/（e^2x＋1）²＞0，則f（x）在（－∞，＋∞）上為單調遞增函數，且當x→－∞時，f（x）＝－1，當x→＋∞時，f（x）＝1，所以f（x）的值域為（－1，1）。