第一部分　章節(jié)習(xí)題及詳解

第一章　高等數(shù)學(xué)

第一節(jié)　空間解析幾何

單項(xiàng)選擇題（下列選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題意）

1設(shè)α、β均為非零向量，則下面結(jié)論正確的是（　?。?span id="zjx7t8k" class="ZhenTiTag">[2017年真題]

A．α×β＝0是α與β垂直的充要條件

B．α·β＝0是α與β平行的充要條件

C．α×β＝0是α與β平行的充要條件

D．若α＝λβ（λ是常數(shù)），則α·β＝0

【答案】C

【解析】AC兩項(xiàng)，α×β＝0是α與β平行的充要條件。B項(xiàng)，α·β＝0是α與β垂直的充要條件。D項(xiàng)，若α＝λβ（λ是常數(shù)），則α與β相互平行，則有α×β＝0。

2設(shè)向量α與向量β的夾角θ＝π/3，模|α|＝1，|β|＝2，則模|α＋β|等于（　?。?。[2018年真題]

A．

B．

C．

D．

【答案】B

【解析】計(jì)算得：

3若向量α，β滿足|α|＝2，|β|＝，且α·β＝2，則|α×β|等于（　　）。[2016年真題]

A．2

B．

C．

D．不能確定

【答案】A

【解析】設(shè)兩向量α，β的夾角為θ，根據(jù)α·β＝2，解得：

故

|α×β|＝|α||β|sinθ＝2。

4已知向量α＝（－3，－2，1），β＝（1，－4，－5），則|α×β|等于（　　）。[2013年真題]

A．0

B．6

C．

D．14i＋16j－10k

【答案】C

【解析】因?yàn)?/p>

所以

5過點(diǎn)（1，－2，3）且平行于z軸的直線的對稱式方程是（　?。?span id="rrtr4mk" class="ZhenTiTag">[2017年真題]

A．

B．（x－1）/0＝（y＋2）/0＝（z－3）/1

C．z＝3

D．（x＋1）/0＝（y－2）/0＝（z＋3）/1

【答案】B

【解析】由題意可得此直線的方向向量為（0，0，1），又過點(diǎn)（1，－2，3），所以該直線的對稱式方程為（x－1）/0＝（y＋2）/0＝（z－3）/1。

6設(shè)直線方程為

則該直線（　　）。[2010年真題]

A．過點(diǎn)（－1，2，－3），方向向量為i＋2j－3k

B．過點(diǎn)（－1，2，－3），方向向量為－i－2j＋3k

C．過點(diǎn)（1，2，－3），方向向量為i－2j＋3k

D．過點(diǎn)（1，－2，3），方向向量為－i－2j＋3k

【答案】D

【解析】把直線方程的參數(shù)形式改寫成標(biāo)準(zhǔn)形式：（x－1）/1＝（y＋2）/2＝（z－3）/（－3），則直線的方向向量為±（1，2，－3），過點(diǎn)（1，－2，3）。

7下列平面中，平行于且與yOz坐標(biāo)面非重合的平面方程是（　?。?。[2018年真題]

A．y＋z＋1＝0

B．z＋1＝0

C．y＋1＝0

D．x＋1＝0

【答案】D

【解析】D項(xiàng)，平面方程x＋1＝0化簡為x＝－1，顯然平行yOz坐標(biāo)面，且不重合。ABC三項(xiàng)，均不平行于yOz坐標(biāo)面。

8已知直線L：x/3＝（y＋1）/（－1）＝（z－3）/2，平面π：－2x＋2y＋z－1＝0，則（　　）。[2013年真題]

A．L與π垂直相交

B．L平行于π但L不在π上

C．L與π非垂直相交

D．L在π上

【答案】C

【解析】直線L的方向向量為±（3，－1，2），平面π的法向量為（－2，2，1），由于3/（－2）≠（－1）/2≠2/1，故直線與平面不垂直；又3×（－2）＋（－1）×2＋2×1＝－6≠0，所以直線與平面不平行。所以直線與平面非垂直相交。直線L與平面π的交點(diǎn)為（0，－1，3）。

9設(shè)直線L為

平面π為4x－2y＋z－2＝0，則直線和平面的關(guān)系是（　?。?span id="gewmwu4" class="ZhenTiTag">[2012年真題]

A．L平行于π

B．L在π上

C．L垂直于π

D．L與π斜交

【答案】C

【解析】直線L的方向向量為：

即s＝（－28，14，－7）。平面π的法線向量為：n＝（4，－2，1）。由上可得，s、n坐標(biāo)成比例，即（－28）/4＝14/（－2）＝（－7）/1，故s∥n，直線L垂直于平面π。

10設(shè)直線方程為x＝y(tǒng)－1＝z，平面方程為x－2y＋z＝0，則直線與平面（　?。?span id="3wobql9" class="ZhenTiTag">[2011年真題]

A．重合

B．平行不重合

C．垂直相交

D．相交不垂直

【答案】B

【解析】直線的方向向量s＝（1，1，1），平面的法向向量n＝（1，－2，1），s·n＝1－2＋1＝0，則這兩個向量垂直，即直線與平面平行。又該直線上的點(diǎn)（0，1，0）不在平面上，故直線與平面不重合。

11yOz坐標(biāo)面上的曲線

繞Oz軸旋轉(zhuǎn)一周所生成的旋轉(zhuǎn)曲面方程是（　　）。[2016年真題]

A．x²＋y²＋z＝1

B．x²＋y²＋z²＝1

C．

D．

【答案】A

【解析】一條平面曲線繞其平面上的一條直線旋轉(zhuǎn)一周所形成的曲面為旋轉(zhuǎn)曲面。若yOz平面上的曲線方程為f（y，z）＝0，將此曲線繞Oz軸旋轉(zhuǎn)一周得到的旋轉(zhuǎn)曲面方程為：

又

故x²＋y²＋z＝1。同理，曲線C繞y軸旋轉(zhuǎn)所成的旋轉(zhuǎn)曲面的方程為：

12在空間直角坐標(biāo)系中，方程x²＋y²－z＝0表示的圖形是（　?。?span id="ir2psqc" class="ZhenTiTag">[2014年真題]

A．圓錐面

B．圓柱面

C．球面

D．旋轉(zhuǎn)拋物面

【答案】D

【解析】在平面直角坐標(biāo)系中，z＝x²為關(guān)于z軸對稱的拋物線。因此可考慮將該拋物線繞Oz軸旋轉(zhuǎn)一周所形成的曲面方程：

代入z＝x²得

即x²＋y²－z＝0。因此方程x²＋y²－z＝0表示的圖形為在面xOz內(nèi)的拋物線z＝x²繞z軸旋轉(zhuǎn)得到的圖形，即旋轉(zhuǎn)拋物面。

13方程x²－y²/4＋z²＝1，表示（　　）。[2012年真題]

A．旋轉(zhuǎn)雙曲面

B．雙葉雙曲面

C．雙曲柱面

D．錐面

【答案】A

【解析】方程x²－y²/4＋z²＝1，即x²＋z²－y²/4＝1，可由xOy平面上雙曲線

繞y軸旋轉(zhuǎn)得到，或可由yOz平面上雙曲線

繞y軸旋轉(zhuǎn)得到。即該方程表示旋轉(zhuǎn)雙曲面。

14在三維空間中方程y²－z²＝1所代表的圖形是（　?。?。[2011年真題]

A．母線平行x軸的雙曲柱面

B．母線平行y軸的雙曲柱面

C．母線平行z軸的雙曲柱面

D．雙曲線

【答案】A

【解析】由于

表示在x＝0的平面上的雙曲線，故三維空間中方程y²－z²＝1表示雙曲柱面，x取值為﹙－∞，＋∞﹚，即為母線平行x軸的雙曲柱面。

15設(shè)有直線L₁：（x－1）/1＝（y－3）/（－2）＝（z＋5）/1與L₂：

則L₁與L₂的夾角θ等于（　?。?span id="xnxakpw" class="ZhenTiTag">[2014年真題]

A．π/2

B．π/3

C．π/4

D．π/6

【答案】B

【解析】由題意可知n(→)₁＝（m₁，n₁，p₁）＝（1，－2，1）

將L₂的參數(shù)形式改為標(biāo)準(zhǔn)形式：（x－3）/（－1）＝（y－1）/（－1）＝（z－1）/2

所以n(→)₂＝（m₂，n₂，p₂）＝（－1，－1，2）

所以L₁與L₂的夾角θ＝π/3。

16曲線x²＋4y²＋z²＝4與平面x＋z＝a的交線在yOz平面上的投影方程是（　?。?。[2012年真題]

A．

B．

C．

D．（a－z）²＋4y²＋z²＝4

【答案】A

【解析】在yOz平面上投影方程必有x＝0，排除B項(xiàng)。令方程組為：

由式②得：x＝a－z。將上式代入式①得：（a－z）²＋4y²＋z²＝4，則曲線在yOz平面上投影方程為：

17設(shè)α、β、γ都是非零向量，若α×β＝α×γ，則（　　）。

A．β＝γ

B．α∥β且α∥γ

C．α∥（β－γ）

D．α⊥（β－γ）

【答案】C

【解析】根據(jù)題意可得，α×β－α×γ＝α×（β－γ）＝0，故α∥（β－γ）。

18已知a、b均為非零向量，而|a＋b|＝|a－b|，則（　　）。

A．a(chǎn)－b＝0

B．a(chǎn)＋b＝0

C．a(chǎn)·b＝0

D．a(chǎn)×b＝0

【答案】C

【解析】由a≠0，b≠0及|a＋b|＝|a－b|知，（a＋b）·（a＋b）＝（a－b）·（a－b）。即a·b＝－a·b，所以a·b＝0。

19設(shè)三向量a，b，c滿足關(guān)系式a·b＝a·c，則（　?。?。

A．必有a＝0或b＝c

B．必有a＝b－c＝0

C．當(dāng)a≠0時必有b＝c

D．a(chǎn)與（b－c）均不為0時必有a⊥（b－c）

【答案】D

【解析】因a·b＝a·c?a·（b－c）＝0?a＝0或b－c＝0或a⊥（b－c）當(dāng)a與（b－c）均不為0時有a⊥（b－c）。

20設(shè)向量x垂直于向量a＝（2，3，－1）和b＝（1，－2，3），且與c＝（2，－1，1）的數(shù)量積為－6，則向量x＝（　　）。

A．（－3，3，3）

B．（－3，1，1）

C．（0，6，0）

D．（0，3，－3）

【答案】A

【解析】由題意可得，x∥a×b，而

所以x＝（x，－x，－x）。再由－6＝x·c＝（x，－x，－x）·（2，－1，1）＝2x，得x＝－3，所以x＝（－3，3，3）。

21直線L₁：

與L₂：

之間的關(guān)系是（　?。?。

A．L₁∥L₂

B．L₁，L₂相交但不垂直

C．L₁⊥L₂但不相交

D．L₁，L₂是異面直線

【答案】A

【解析】直線L₁與L₂的方向向量分別為：

又3/（－9）＝1/（－3）＝5/（－15），故l₁∥l₂，即L₁∥L₂。

22已知直線方程

中所有系數(shù)都不等于0，且A₁/D₁＝A₂/D₂，則該直線（　　）。

A．平行于x軸

B．與x軸相交

C．通過原點(diǎn)

D．與x軸重合

【答案】B

【解析】因A₁/D₁＝A₂/D₂，故在原直線的方程中可消去x及D，故得原直線在yOz平面上的投影直線方程為

在yOz平面上的投影過原點(diǎn)（將原點(diǎn)坐標(biāo)（0，0，0）代入直線方程），故原直線必與x軸相交。又因D₁，D₂≠0，將（0，0，0）代入直線方程可知直線不過原點(diǎn)。

23已知直線L₁過點(diǎn)M₁（0，0，－1）且平行于x軸，L₂過點(diǎn)M₂（0，0，1）且垂直于xOz平面，則到兩直線等距離點(diǎn)的軌跡方程為（　　）。

A．x²＋y²＝4z

B．x²－y²＝2z

C．x²－y²＝z

D．x²－y²＝4z

【答案】D

【解析】兩直線的方程為：L₁：x/1＝y(tǒng)/0＝（z＋1）/0，L₂：x/0＝y(tǒng)/1＝（z－1）/0。設(shè)動點(diǎn)為M（x，y，z），則由點(diǎn)到直線的距離的公式知：

（其中l(wèi)_i是直線L_i的方向向量，M_i是直線L_i上的一點(diǎn)），所以：

由d₁＝d₂得：d₁²＝d₂²，故（z＋1）²＋y²＝（z－1）²＋x²，即x²－y²＝4z。

24在平面x＋y＋z－2＝0和平面x＋2y－z－1＝0的交線上有一點(diǎn)M，它與平面x＋2y＋z＋1＝0和x＋2y＋z－3＝0等距離，則M點(diǎn)的坐標(biāo)為（　?。?。

A．（2，0，0）

B．（0，0，－1）

C．（3，－1，0）

D．（0，1，1）

【答案】C

【解析】A項(xiàng)，點(diǎn)（2，0，0）不在平面x＋2y－z－1＝0上；B項(xiàng)，點(diǎn)（0，0，－1）不在平面x＋y＋z－2＝0上；D項(xiàng)，點(diǎn)（0，1，1）與兩平面不等距離。

25設(shè)平面α平行于兩直線x/2＝y(tǒng)/（－2）＝z及2x＝y(tǒng)＝z，且與曲面z＝x²＋y²＋1相切，則α的方程為（　?。?。

A．4x＋2y－z＝0

B．4x－2y＋z＋3＝0

C．16x＋8y－16z＋11＝0

D．16x－8y＋8z－1＝0

【答案】C

【解析】由平面α平行于兩已知直線可得，平面α的法向量為：n＝（2，－2，1）×（1，2，2）＝－3（2，1，－2）。設(shè)切點(diǎn)為（x₀，y₀，z₀），則切點(diǎn)處曲面的法向量為（2x₀，2y₀，－1），故2/（2x₀）＝1/（2y₀）＝（－2）/（－1），由此解得x₀＝1/2，y₀＝1/4，從而z₀＝x₀²＋y₀²＋1＝21/16，因此α的方程為：2（x－1/2）＋（y－1/4）－2（z－21/16）＝0，即16x＋8y－16z＋11＝0。

26三個平面x＝cy＋bz，y＝az＋cx，z＝bx＋ay過同一直線的充要條件是（　　）。

A．a(chǎn)＋b＋c＋2abc＝0

B．a(chǎn)＋b＋c＋2abc＝1

C．a(chǎn)²＋b²＋c²＋2abc＝0

D．a(chǎn)²＋b²＋c²＋2abc＝1

【答案】D

【解析】由于三個平面過同一直線，線性齊次方程組

有無窮解，即行列式

解得a²＋b²＋c²＋2abc＝1。

27通過直線

和直線

的平面方程為（　?。?。

A．x－z－2＝0

B．x＋z＝0

C．x－2y＋z＝0

D．x＋y＋z＝1

【答案】A

【解析】化直線的參數(shù)方程為標(biāo)準(zhǔn)方程得：（x＋1）/2＝（y－2）/3＝（z＋3）/2，（x－3）/2＝（y＋1）/3＝（z－1）/2，因點(diǎn)（－1，2，－3）不在平面x＋z＝0上，故可排除B項(xiàng)；因點(diǎn)（3，－1，1）不在x－2y＋z＝0和x＋y＋z＝1這兩個平面上，故可排除CD兩項(xiàng)，選A項(xiàng)。由于題目所給兩條直線的方向向量相同，故為兩條平行直線，且已知兩個點(diǎn)分別為（－1，2，－3）和（3，－1，1），過這兩個已知點(diǎn)的直線方程的方向向量為：（4，－3，4），故可求得通過這三條直線（兩條平行線和一條與平行線相交的直線）平面的法向量為：

故平面方程為18x－18z＋D＝0，代入點(diǎn)（－1，2，－3）解得：D＝－36，故平面方程為x－z－2＝0。

28過點(diǎn)（－1，2，3）垂直于直線x/4＝y(tǒng)/5＝z/6且平行于平面7x＋8y＋9z＋10＝0的直線是（　　）。

A．（x＋1）/1＝（y－2）/（－2）＝（z－3）/1

B．（x＋1）/1＝（y－2）/2＝（z－3）/2

C．（x＋1）/（－1）＝（y－2）/（－2）＝（z－3）/1

D．（x－1）/1＝（y－2）/（－2）＝（z－3）/1

【答案】A

【解析】直線x/4＝y(tǒng)/5＝z/6的方向向量為s＝4，5，6，平面7x＋8y＋9z＋10＝0的法向量為n＝7，8，9。顯然ABC三項(xiàng)中的直線均過點(diǎn)（－1，2，3）。A項(xiàng)中直線的方向向量為s₁＝（1，－2，1），有s₁⊥s，s₁⊥n，可見A中直線與已知直線x/4＝y(tǒng)/5＝z/6垂直，與平面7x＋8y＋9z＋10＝0平行。

29若直線（x－1）/1＝（y＋1）/2＝（z－1）/λ與（x＋1）/1＝（y－1）/1＝z/1相交，則必有（　?。?。

A．λ＝1

B．λ＝3/2

C．λ＝－4/5

D．λ＝5/4

【答案】D

【解析】如果兩直線相交，則這兩條直線的方向向量與這兩條直線上兩點(diǎn)連線構(gòu)成的向量應(yīng)在同一平面上，由此來確定λ。點(diǎn)A（1，－1，1），B（－1，1，0）分別為兩條直線上的一點(diǎn)，則

兩條直線的方向向量分別為s₁＝（1，2，λ），s₂＝（1，1，1），這三個向量應(yīng)在同一個平面上，即：

解得：λ＝5/4。

30已知曲面z＝4－x²－y²上點(diǎn)P處的切平面平行于平面π：2x＋2y＋z－1＝0，則點(diǎn)P的坐標(biāo)是（　?。?/p>

A．（1，－1，2）

B．（－1，1，2）

C．（1，1，2）

D．（－1，－1，2）

【答案】C

【解析】即求曲面S：F（x，y，z）＝0，其中F（x，y，z）＝z＋x²＋y²－4上點(diǎn)P使S在該點(diǎn)處的法向量n與平面π：2x＋2y＋z－1＝0的法向量n₀＝（2，2，1）平行。S在P（x，y，z）處的法向量

n(→)＝（?F/?x，?F/?y，?F/?z）＝（2x，2y，1）

n∥n₀?n＝λn₀

λ為常數(shù)，即2x＝2λ，2y＝2λ，1＝λ。即x＝1，y＝1，又點(diǎn)P（x，y，z）∈S?z＝4－x²－y²|_{（x，y）＝（1，1）}＝2，求得P（1，1，2）（P不在給定的平面上）。

31母線平行于Ox軸且通過曲線

的柱面方程為（　?。?。

A．3x²＋2z²＝16

B．x²＋2y²＝16

C．3y²－z²＝16

D．3y²－z＝16

【答案】C

【解析】因柱面的母線平行于x軸，故其準(zhǔn)線在yOz平面上，且為曲線在yOz平面上的投影，在方程組

中消去x得：

此即為柱面的準(zhǔn)線，故柱面的方程為：3y²－z²＝16。

32曲線L：

在xOy面上的投影柱面方程是（　　）。

A．x²＋20y²－24x－116＝0

B．4y²＋4z²－12z－7＝0

C．

D．

【答案】A

【解析】投影柱面是指其母線通過一條給定的曲線并且都垂直于某一坐標(biāo)平面的柱面。在方程組中消去z：由②得z＝（x＋3）/2，代入①化簡得：x²＋20y²－24x－116＝0，為L在xOy面上的投影柱面方程。當(dāng)z＝0時，得到在xOy面上的投影曲線。

33方程x²/2＋y²/2－z²/3＝0是一旋轉(zhuǎn)曲面方程，它的旋轉(zhuǎn)軸是（　?。?。

A．x軸

B．y軸

C．z軸

D．直線x＝y(tǒng)＝z

【答案】C

【解析】由題意有：x²/2＋y²/2＝z²/3，得

故曲面是由直線

或

繞z軸旋轉(zhuǎn)而成。