第七節　概率與數理統計

單項選擇題（下列選項中，只有一項符合題意）

1設A、B、C是三個事件，與事件A互斥的事件是（　　）。[2017年真題]

A．

B．

C．A(＿)B＋AC(＿)

D．A（B＋C）

【答案】B

【解析】若事件A與B不能同時發生，則稱事件A與B互不相容或互斥，記作AB＝?。A項，由圖1-7-1（1）維恩圖可知，（陰影部分）與A相交為A。B項，由圖1-7-1（2）維恩圖可知，（陰影部分）與A相交為?，與事件A互斥。C項，由圖1-7-1（3）維恩圖可知，（陰影部分）與A相交為A。D項，A（B＋C）與A相交為A（B＋C）。

圖1-7-1（1）

圖1-7-1（2）

圖1-7-1（3）

2設有事件A和B，已知P（A）＝0.8，P（B）＝0.7，且P（A|B）＝0.8，則下列結論中正確的是（　　）。[2016年真題]

A．A與B獨立

B．A與B互斥

C．B?A

D．P（A∪B）＝P（A）＋P（B）

【答案】A

【解析】條件概率的計算公式為：P（A|B）＝P（AB）/P（B），代入數據，解得：P（AB）＝0.56＝P（A）P（B），所以事件A和B相互獨立。

3設A與B是互不相容的事件，P（A）＞0，P（B）＞0，則下列式子一定成立的是（　　）。[2014年真題]

A．P（A）＝1－P（B）

B．P（A|B）＝0

C．P（A|B(＿)）＝1

D．P（AB(———)）＝0

【答案】B

【解析】A與B是互不相容的事件，則P（AB）＝0，所以P（A|B）＝P（AB）/P（B）＝0。

4已知事件A與B相互獨立，P（A(＿)）＝0.4，P（B(＿)）＝0.5，則P（A∪B）等于（　　）。[2018年真題]

A．0.6

B．0.7

C．0.8

D．0.9

【答案】C

【解析】因為A、B相互獨立，得P（AB）＝P（A）P（B），所以P（A∪B）＝P（A）＋P（B）－P（AB）＝P（A）＋P（B）－P（A）P（B）＝（1－0.4）＋（1－0.5）－（1－0.4）×（1－0.5）＝0.8。

5若A與B為兩個相互獨立事件，且P（A）＝0.4，P（B）＝0.5，則P（A∪B）等于（　　）。[2013年真題]

A．0.9

B．0.8

C．0.7

D．0.6

【答案】C

【解析】P（A∪B）＝P（A）＋P（B）－P（AB），因A與B相互獨立，故P（AB）＝P（A）P（B）＝0.2，故P（A∪B）＝0.7。

6設事件A、B互不相容，且P（A）＝p，P（B）＝q，則P（A(＿)B(＿)）等于（　　）。[2012年真題]

A．1－p

B．1－q

C．1－（p＋q）

D．1＋p＋q

【答案】C

【解析】由德摩根定律有：

再由事件A、B互不相容得：P（A∪B）＝P（A）＋P（B）＝p＋q。因此，P（A(＿)B(＿)）＝1－（p＋q）。

7三個人獨立地去破譯一份密碼，每人能獨立譯出這份密碼的概率分別為1/5，1/3，1/4，則這份密碼被譯出的概率為（　　）。[2011年真題]

A．1/3

B．1/2

C．2/5

D．3/5

【答案】D

【解析】設這三個人獨立譯出密碼的概率分別為：P（A）＝1/5，P（B）＝1/3，P（C）＝1/4，三個事件獨立，則：P（A∪B∪C）＝1－P（A(＿)B(＿)C(＿)）＝1－P（A(＿)）P（B(＿)）P（C(＿)）＝1－（4/5）（2/3）（3/4）＝3/5。

8設隨機變量X的概率密度為

用Y表示對X的3次獨立重復觀察中事件{X≤1/2}出現的次數，則P{Y＝2}＝（　　）。[2011年真題]

A．3/64

B．9/64

C．3/16

D．9/16

【答案】B

【解析】

Y～B（3，P），故

9設事件A、B相互獨立，且P（A）＝1/2，P（B）＝1/3，則P（B|A∪B(＿)）等于（　　）。[2010年真題]

A．5/6

B．1/6

C．1/3

D．1/5

【答案】D

【解析】由條件概率公式得：

又A、B相互獨立，從而得：P（A∪B(＿)）＝P（A）＋P（B(＿)）－P（AB(＿)）＝1/2＋2/3－（1/2）×（2/3）＝5/6。

P（AB）＝（1/2）×（1/3）＝1/6，從而得：P（B|A∪B(＿)）＝1/5。

10設隨機變量X的分布函數為

則數學期望E（X）等于（　　）。[2018年真題]

A．

B．

C．

D．

【答案】B

【解析】由分布函數

計算概率密度為：

因此，數學期望為：

【說明】設連續型隨機變量X的概率密度為f（x），若積分絕對收斂，則稱積分的值為隨機變量X的數學期望，記為：

11設（X，Y）的聯合概率密度為

則數學期望E（XY）等于（　　）。[2014年真題]

A．1/4

B．1/3

C．1/6

D．1/2

【答案】A

【解析】由于

原式代入，解得：k＝2。

12設X₁，X₂，…，X_n與Y₁，Y₂，…，Y_n都是來自正態分布X～N（μ，σ²）的樣本，并且相互獨立，X(＿)與Y(＿)分別是其樣本均值，則服從的分布是（　　）。[2014年真題]

A．t（n－1）

B．F（n－1，n－1）

C．χ²（n－1）

D．N（μ，σ²）

【答案】B

【解析】設X、Y相互獨立，且X～χ²（n₁）、Y～χ²（n₂），則稱F＝（X/n₁）/（Y/n₂）服從F分布，記作F～F（n₁，n₂）。本題中，

且相互獨立，所以服從F（n－1，n－1）分布。

13下列函數中，可以作為連續型隨機變量的分布函數的是（　　）。[2013年真題]

A．

B．

C．

D．

【答案】B

【解析】根據分布函數F（x）的性質，有：

可知AC兩項錯誤；又因為是連續型隨機變量的分布函數，故H（x）必須單調不減，D項錯誤。

14某店有7臺電視機，其中2臺次品。現從中隨機地取3臺，設X為其中的次品數，則數學期望E（X）等于（　　）。[2016年真題]

A．3/7

B．4/7

C．5/7

D．6/7

【答案】D

【解析】隨機變量X的取值為0、1、2，則相應的概率分別為：

故E（X）＝0×2/7＋1×4/7＋2×1/7＝6/7。

15設二維隨機變量（X，Y）的概率密度為

則常數a、b應滿足的條件是（　　）。[2017年真題]

A．ab＝－1/2，且a＞0，b＜0

B．ab＝1/2，且a＞0，b＞0

C．ab＝－1/2，且a＜0，b＞0

D．ab＝1/2，且a＜0，b＜0

【答案】A

【解析】由題意可得：

分析知只有當a＞0，b＜0時，該積分可解，則有[0＋1/（2a）]·（0－1/b）＝－1/2ab＝1?ab＝－1/2

16若二維隨機變量（X，Y）的分布規律為：

且X與Y相互獨立，則α、β取值為（　　）。[2018年真題]

A．α＝1/6，β＝1/6

B．α＝0，β＝1/3

C．α＝2/9，β＝1/9

D．α＝1/9，β＝2/9

【答案】C

【解析】根據題干表中數據算得邊緣分布率為：

因為X與Y相互獨立，所以P{X＝2，Y＝1}＝P{X＝2}P{Y＝1}，得1/9＝（1/9＋α）×（1/3），計算得α＝2/9。同理，P{X＝3，Y＝1}＝P{X＝3}P{Y＝1}，得1/18＝（1/18＋β）×（1/3），計算得β＝1/9。

17若隨機變量X與Y相互獨立，且X在區間[0，2]上服從均勻分布，Y服從參數為3的指數分布，則數學期望E（XY）的等于（　　）。[2012年真題]

A．4/3

B．1

C．2/3

D．1/3

【答案】D

【解析】X與Y獨立，E（XY）＝E（X）E（Y）。又X在[a，b]上服從均勻分布，E（X）＝（a＋b）/2，即有E（X）＝1。當Y服從參數為λ的指數分布時，E（Y）＝1/λ，即有E（Y）＝1/3，故E（XY）＝E（X）E（Y）＝1/3。

18設隨機變量X和Y都服從N（0，1）分布，則下列敘述中正確的是（　　）。[2011年真題]

A．X＋Y服從正態分布

B．X²＋Y²～χ²分布

C．X²和Y²都服從χ²分布

D．X²/Y²～F分布

【答案】C

【解析】當X～N（0，1）時，有X²～χ²，故C項正確；ABD三項，χ²分布與F分布都要求X與Y獨立。

19設θ(∧)是參數θ的一個無偏估計量，又方差D（θ(∧)）＞0，則下列結論中正確的是（　　）。[2017年真題]

A．（θ(∧)）²是θ²的無偏估計量

B．（θ(∧)）²不是θ²的無偏估計量

C．不能確定（θ(∧)）²是還是不是θ²的無偏估計量

D．（θ(∧)）²不是θ²的估計量

【答案】B

【解析】若E（θ(∧)）＝θ則稱θ(∧)是θ的無偏估計量。由D（θ(∧)）＞0可得D（θ(∧)）＝E（θ(∧)²）－E²（θ(∧)）＞0，即E（θ(∧)²）＞E²（θ(∧)）＝θ²，所以（θ(∧)）²不是θ²的無偏估計量。

20設總體X～N（0，σ²），X₁，X₂，…，X_n，是來自總體的樣本，

則下面結論中正確的是（　　）。[2016年真題]

A．σ(∧)²不是σ²的無偏估計量

B．σ(∧)²是σ²的無偏估計量

C．σ(∧)²不一定是σ²的無偏估計量

D．σ(∧)²不是σ²的估計量

【答案】B

【解析】若E（θ(∧)）＝θ則稱θ(∧)是θ的無偏估計量。樣本X₁，X₂，…X_n與總體X同分布，X_i～N（0，σ²），

故σ(∧)²是σ²的無偏估計量。

21設總體X～N（0，σ²），X₁，X₂，…，X_n是來自總體的樣本，則σ²的矩估計是（　　）。[2013年真題]

A．

B．

C．

D．

【答案】D

【解析】由題意得：

22設x₁，x₂，…x_n是來自總體N（μ，σ²）的樣本，μ，σ²未知，

則檢驗假設H₀∶μ＝0時應選取的統計量是（　　）。[2012年真題]

A．

B．

C．

D．

【答案】A

【解析】當σ²未知時檢驗假設H₀∶μ＝μ₀，應選取統計量為：

所以選取的統計量為：

23設A，B是兩個事件，P（A）＝0.3，P（B）＝0.8，則當P（A∪B）為最小值時，P（AB）＝（　　）。[2011年真題]

A．0.1

B．0.2

C．0.3

D．0.4

【答案】C

【解析】由于P（A∪B）＝P（A）＋P（B）－P（AB），當P（A∪B）為最小值時，P（AB）為最大值，此時P（AB）＝0.3。

24設事件A與B互不相容，且P（A）＞0，P（B）＞0，則下列結論正確的是（　　）。

A．P（A|B）＝P（A）

B．P（A|B）＝0

C．P（AB）＝P（A）P（B）

D．P（B|A）＞0

【答案】B

【解析】因為事件A與B互不相容，所以P（AB）＝0，又因為P（A）＞0，P（B）＞0，所以P（AB）＝P（B）·P（A|B），由P（AB）＝0，P（B）＞0易得P（A|B）＝0。

25將3個球隨機地放入4個杯子中，則杯中球的最大個數為2的概率為（　　）。

A．1/16

B．3/16

C．9/16

D．4/27

【答案】C

【解析】把3個球放到4個杯子，每個球都有4種方法，共4³種放法。杯中球的最大個數為2的放法為：從4個杯子中選兩個杯子，從3個球中取2球放入其中的一個杯子，剩下的一個球放入到另外的一個杯子中，共有2C₃²C₄²＝36種放法。根據古典型概率，杯中球的最大個數為2的概率為：36/4³＝9/16。

26已知隨機變量X服從二項分布，且EX＝2.4，DX＝1.44，則二項分布的參數n，p的值為（　　）。

A．n＝4；p＝0.6

B．n＝6；p＝0.4

C．n＝8；p＝0.3

D．n＝24；p＝0.1

【答案】B

【解析】依題意得X～B（n，p），于是EX＝np，DX＝np（1－p），于是可得方程組：

解得：n＝6，p＝0.4。

27設隨機變量X的概率密度為

則P（0≤X≤3）等于（　　）。

A．1/3

B．2/3

C．1/2

D．1/4

【答案】B

【解析】由題得：

28設隨機變量X的密度函數為f（x），且f（－x）＝f（x），F（x）是X的分布函數，則對任意實數a有（　　）。

A．

B．

C．F（－a）＝F（a）

D．F（－a）＝2F（a）－1

【答案】B

【解析】已知f（－x）＝f（x），當a≥0時，

當a＜0時，

29設隨機變量X的二階矩存在，則（　　）。

A．E（X²）＜E（X）

B．E（X²）≥E（X）

C．E（X²）＜（EX）²

D．E（X²）≥（EX）²

【答案】D

【解析】由于D（X）＝E（X²）－（EX）²≥0，故E（X²）≥（EX）²。AB兩項對某些隨機變量可能成立，對某些隨機變量可能不成立。例如，隨機變量X在區間[0，1]上服從均勻分布，則E（X）＝1/2，D（X）＝1/12，E（X²）＝D（X）＋E²（X）＝1/12＋1/2＝1/3＜1/2＝E（X），A項成立，此時B項不成立。又如X～N（μ，σ²），E（X）＝μ，D（X）＝σ²，E（X²）＝σ²＋μ²，取σ≥μ＝1/2，則E（X²）≥2μ²＝2×（1/4）＝1/2＝E（X），即B項成立，此時A項不成立。

30設總體X的概率分布為：

其中θ（0＜θ＜1/2）是未知參數，利用樣本值3，1，3，0，3，1，2，3，所得θ的矩估計值是（　　）。

A．1/4

B．1/2

C．2

D．0

【答案】A

【解析】根據題意，總體X的期望為：E（X）＝2θ（1－θ）＋2θ²＋3（1－2θ）＝3－4θ，利用樣本值可得到其平均值為：（3＋1＋3＋0＋3＋1＋2＋3）/8＝2

由：

解得：

31設總體X的概率密度為

其中θ＞－1是未知參數，X₁，X₂，…，X_n是來自總體X的樣本，則θ的矩估計量是（　　）。

A．X(＿)

B．（2X(＿)－1）/（1－X(＿)）

C．2X(＿)

D．X(＿)－1

【答案】B

【解析】矩估計中用樣本均值X作為總體參數E（X）的無偏估計量，即：

因此，

32設總體X～N（μ₁，σ₁²），Y～N（μ₂，σ₂²），檢驗假設H₀：σ₁²＝σ₂²；H₁：σ₁²≠σ₂²；α＝0.10，從X中抽取容量為n₁＝12的樣本，從Y中抽取容量為n₂＝10的樣本，算得s₁²＝118.4，s₂²＝31.93，正確的檢驗方法與結論是（　　）。

A．用t檢驗法，臨界值t_0.05（17）＝2.11，拒絕H₀

B．用F檢驗法，臨界值F_0.05（11，9）＝3.10，F_0.95（11，9）＝0.35，拒絕H₀

C．用F檢驗法，臨界值F_0.95（11，9）＝0.35，F_0.05（11，9）＝3.10，接受H₀

D．用F檢驗法，臨界值F_0.01（11，9）＝5.18，F_0.99（11，9）＝0.21，接受H₀

【答案】B

【解析】兩個正態總體方差相等，其中μ₁，μ₂未知，應使用F檢驗法，所用統計量F＝s₁²/s₂²～F（n₁－1，n₂－1）。又F_α/2（n₁－1，n₂－1）＝F_0.5（11，9）＝3.10，而s₁²/s₂²＝118.4/31.93＝3.71＞3.10，故拒絕H₀。