第六節　線性代數

單項選擇題（下列選項中，只有一項符合題意）

1設A是m階矩陣，B是n階矩陣，行列式等于（　　）。[2010年真題]

A．－|A||B|

B．|A||B|

C．（－1）^m＋n|A||B|

D．（－1）^mn|A||B|

【答案】D

【解析】行列式經過m×n次列變換得到行列式即：

2設A、B均為三階方陣，且行列式|A|＝1，|B|＝－2，A^T為A的轉置矩陣，則行列式|－2A^TB^－1|＝（　　）。[2018年真題]

A．－1

B．1

C．－4

D．4

【答案】D

【解析】因為A、B均為三階方陣，計算得|－2A^TB^－1|＝（－2）³×|A^T|×|B^－1|＝（－2）³×1×（－1/2）＝4。

3設A、B為三階方陣，且行列式|A|＝－1/2，|B|＝2，A^*為A的伴隨矩陣，則行列式|2A^*B^－1|等于（　　）。[2014年真題]

A．1

B．－1

C．2

D．－2

【答案】A

【解析】因為|kA|＝kⁿ|A|，|A^*|＝|A|^n－1，|A^－1|＝1/|A|，而且A、B為三階方陣，所以行列式

2|A^*B^－1|＝2³×|A|²×1/|B|＝8×（1/4）×（1/2）＝1

4矩陣的逆矩陣A^－1是（　　）。[2017年真題]

A．

B．

C．

D．

【答案】C

【解析】用矩陣的基本變換求矩陣的逆矩陣，計算如下

則有矩陣A的逆矩陣為

5設

則A^－1＝（　　）。[2011年真題]

A．

B．

C．

D．

【答案】B

【解析】由A·A^*＝|A|·E，得A^－1＝A^*/|A|，其中|A|＝－1；

故可得：

6設3階矩陣已知A的伴隨矩陣的秩為2，則a＝（　　）。[2011年真題]

A．－2

B．－1

C．1

D．2

【答案】A

【解析】由矩陣與伴隨矩陣秩的關系式：

可知，r（A）＝2。故|A|＝0，得：a＝－2或a＝1。當a＝1時，r（A）＝1。故a＝－2。

7若使向量組α₁＝（6，t，7）^T，α₂＝（4，2，2）^T，α₃＝（4，1，0）^T線性相關，則t等于（　　）。[2016年真題]

A．－5

B．5

C．－2

D．2

【答案】B

【解析】α₁、α₂、α₃三個列向量線性相關，則由三個向量組成的行列式對應的值為零，即：

解得：t＝5。

8設α₁，α₂，α₃，β是n維向量組，已知α₁，α₂，β線性相關，α₂，α₃，β線性無關，則下列結論中正確的是（　　）。[2012年真題]

A．β必可用α₁，α₂線性表示

B．α₁必可用α₂，α₃，β線性表示

C．α₁，α₂，α₃必線性無關

D．α₁，α₂，α₃必線性相關

【答案】B

【解析】由α₁，α₂，β線性相關知，α₁，α₂，α₃，β線性相關。再由α₂，α₃，β線性無關，α₁必可用α₂，α₃，β線性表示。

9已知向量組α₁＝（3，2，－5）^T，α₂＝（3，－1，3）^T，α₃＝（1，－1/3，1）^T，α₄＝（6，－2，6）^T，則該向量組的一個極大線性無關組是（　　）。[2013年真題]

A．α₂，α₄

B．α₃，α₄

C．α₁，α₂

D．α₂，α₃

【答案】C

【解析】

可見α₁，α₂是該向量組的一個極大線性無關組。

10要使齊次線性方程組

有非零解，則a應滿足（　　）。[2018年真題]

A．－2＜a＜1

B．a＝1或a＝－2

C．a≠－1且a≠－2

D．a＞1

【答案】B

【解析】齊次線性方程組的系數矩陣作初等變換如下

要使齊次線性方程組有非零解，則矩陣的秩r＜3，因此得a－1＝0或－（a＋2）（a－1）＝0，計算得a＝1或a＝－2。

【說明】n元齊次線性方程組Ax＝0有非零解的充要條件是r（A）＜n。

11設A為m×n矩陣，則齊次線性方程組Ax＝0有非零解的充分必要條件是（　　）。[2017年真題]

A．矩陣A的任意兩個列向量線性相關

B．矩陣A的任意兩個列向量線性無關

C．矩陣A的任一列向量是其余列向量的線性組合

D．矩陣A必有一個列向量是其余列向量的線性組合

【答案】D

【解析】線性方程組Ax＝0有非零解?|A|＝0?r（A）＜n，矩陣A的列向量線性相關，所以矩陣A必有一個列向量是其余列向量的線性組合。

12已知n元非齊次線性方程組Ax＝B，秩r（A）＝n－2，α₁，α₂，α₃為其線性無關的解向量，k₁，k₂為任意常數，則Ax＝B的通解為（　　）。[2014年真題]

A．x＝k₁（α₁－α₂）＋k₂（α₁＋α₃）＋α₁

B．x＝k₁（α₁－α₃）＋k₂（α₂＋α₃）＋α₁

C．x＝k₁（α₂－α₁）＋k₂（α₂－α₃）＋α₁

D．x＝k₁（α₂－α₃）＋k₂（α₁＋α₂）＋α₁

【答案】C

【解析】n元非齊次線性方程組Ax＝B的通解為Ax＝0的通解加上Ax＝B的一個特解。因為r（A）＝n－2，Ax＝0的解由兩個線性無關的向量組成，所以α₂－α₁，α₂－α₃是Ax＝0的兩個線性無關解。所以Ax＝B的通解為：x＝k₁（α₂－α₁）＋k₂（α₂－α₃）＋α₁。

13若非齊次線性方程組Ax＝b中，方程的個數少于未知量的個數，則下列結論中正確的是（　　）。[2013年真題]

A．Ax＝0僅有零解

B．Ax＝0必有非零解

C．Ax＝0一定無解

D．Ax＝b必有無窮多解

【答案】B

【解析】因非齊次線性方程組未知量個數大于方程個數，可知系數矩陣各列向量必線性相關，則對應的齊次線性方程組必有非零解。

14齊次線性方程組的基礎解系為（　　）。[2011年真題]

A．α₁＝（1，1，1，0）^T，α₂＝（－1，－1，1，0）^T

B．α₁＝（2，1，0，1）^T，α₂＝（－1，－1，1，0）^T

C．α₁＝（1，1，1，0）^T，α₂＝（－1，0，0，1）^T

D．α₁＝（2，1，0，1）^T，α₂＝（－2，－1，0，1）^T

【答案】C

【解析】簡化齊次線性方程組為：

令

則α₁＝（1，1，1，0）^T。

令

則α₂＝（－1，0，0，1）^T。故基礎解系為：α₁＝（1，1，1，0）^T，α₂＝（－1，0，0，1）^T。

15設λ₁＝6，λ₂＝λ₃＝3為三階實對稱矩陣A的特征值，屬于λ₂＝λ₃＝3的特征向量為ξ₂＝（－1，0，1）^T，ξ₃＝（1，2，1）^T，則屬于λ₁＝6的特征向量是（　　）。[2017年真題]

A．（1，－1，1）^T

B．（1，1，1）^T

C．（0，2，2）^T

D．（2，2，0）^T

【答案】A

【解析】矩陣A為實對稱矩陣，由實對稱矩陣的性質：不同特征值對應的特征向量相互正交，設屬于λ₁＝6的特征向量為（x₁，x₂，x₃）^T，（－1，0，1）·（x₁，x₂，x₃）＝0，（1，2，1）·（x₁，x₂，x₃）＝0，解得

令x₃＝1，解得（x₁，x₂，x₃）^T＝（1，－1，1）^T。

16已知矩陣

與

相似，則λ等于（　　）。[2013年真題]

A．6

B．5

C．4

D．14

【答案】A

【解析】A與B相似，故A與B有相同的特征值，又因為特征值之和等于矩陣的跡，故1＋4＋5＝λ＋2＋2，故λ＝6。

17已知n階可逆矩陣A的特征值為λ₀，則矩陣（2A）^－1的特征值是（　　）。[2012年真題]

A．2/λ₀

B．λ₀/2

C．1/（2λ₀）

D．2λ₀

【答案】C

【解析】由矩陣特征值的性質，2A的特征值為2λ₀，因此（2A）^－1的特征值為1/（2λ₀）。

18設A是3階矩陣，P＝（α₁，α₂，α₃）是3階可逆矩陣，且

若矩陣Q＝（α₂，α₁，α₃），則Q^－1AQ（　　）。[2011年真題]

A．

B．

C．

D．

【答案】B

【解析】設可逆矩陣

計算可得：PB＝Q，Q^－1＝B^－1P^－1，其中，

因此

19要使得二次型f（x₁，x₂，x₃）＝x₁²＋2tx₁x₂＋x₂²－2x₁x₃＋2x₂x₃＋2x₃²為正定的，則t的取值條件是（　　）。[2012年真題]

A．－1＜t＜1

B．－1＜t＜0

C．t＞0

D．t＜－1

【答案】B

【解析】該方程對應的二次型的矩陣為：

若二次型為正定，其各階順序主子式均大于零，由二階主子式大于零，有1－t²＞0，求得－1＜t＜1。三階主子式也大于零，得－1＜t＜0。

20矩陣所對應的二次型的標準形是（　　）。[2018年真題]

A．f＝y₁²－3y₂²

B．f＝y₁²－2y₂²

C．f＝y₁²＋2y₂²

D．f＝y₁²－y₂²

【答案】C

【解析】二次型的矩陣

則對應的二次型展開式為：f（x₁，x₂，x₃）＝x₁²＋3x₂²－2x₁x₂＝（x₁－x₂）²＋2x₂²。令

則上式化簡得f＝y₁²＋2y₂²。

21設A是3階矩陣，矩陣A的第1行的2倍加到第2行，得矩陣B，則下列選項中成立的是（　　）。

A．B的第1行的－2倍加到第2行得A

B．B的第1列的－2倍加到第2列得A

C．B的第2行的－2倍加到第1行得A

D．B的第2列的－2倍加到第1列得A

【答案】A

【解析】設矩陣

則

22設有向量組α₁＝（1，－1，2，4），α₂＝（0，3，1，2），α₃＝（3，0，7，14），α₄＝（1，－2，2，0），α₅＝（2，1，5，10），則該向量組的極大線性無關組是（　　）。

A．α₁，α₂，α₃

B．α₁，α₂，α₄

C．α₁，α₄，α₅

D．α₁，α₂，α₄，α₅

【答案】B

【解析】對以α₁，α₂，α₃，α₄，α₅為列向量的矩陣施以初等行變換：

由于不同階梯上對應向量組均線性無關，而含有同一個階梯上的兩個及兩個以上的向量必線性相關，對比四個選項知，B項成立。

23設n維行向量α＝（1/2，0，…，0，1/2），矩陣A＝E－α^Tα，B＝E＋2α^Tα，其中E為n階單位矩陣，則AB等于（　　）。

A．O

B．－E

C．E

D．E＋α^Tα

【答案】C

【解析】注意利用αα^T＝1/2來簡化計算。AB＝（E－α^Tα）（E＋2α^Tα）＝E＋2α^Tα－α^Tα－2α^Tαα^Tα＝E＋α^Tα－2α^T（αα^T）α＝E＋α^Tα－2·（1/2）α^Tα＝E。

24設β₁，β₂是線性方程組Ax＝b的兩個不同的解，α₁、α₂是導出組Ax＝0的基礎解系，k₁、k₂是任意常數，則Ax＝b的通解是（　　）。

A．（β₁－β₂）/2＋k₁α₁＋k₂（α₁－α₂）

B．α₁＋k₁（β₁－β₂）＋k₂（α₁－α₂）

C．（β₁＋β₂）/2＋k₁α₁＋k₂（α₁－α₂）

D．（β₁＋β₂）/2＋k₁α₁＋k₂（β₁－β₂）

【答案】C

【解析】非齊次線性方程組Ax＝b的通解由導出組Ax＝0的基礎解系與某一特解構成。A項，（β₁－β₂）/2、α₁－α₂都是導出組Ax＝0的一個解，該選項中不包含特解；B項，β₁－β₂是導出組Ax＝0的一個解，該選項也不包含特解；C項，（β₁＋β₂）/2是Ax＝b的特解，α₁－α₂與α₁線性無關，可作為導出組Ax＝0的基礎解系；D項，包含特解，但β₁－β₂與α₁未必線性無關，不能作為導出組Ax＝0的基礎解系。

25設A是m×n階矩陣，Ax＝0是非齊次線性方程組Ax＝b所對應的齊次線性方程組，則下列結論正確的是（　　）。

A．若Ax＝0僅有零解，則Ax＝b有唯一解

B．若Ax＝0有非零解，則Ax＝b有無窮多個解

C．若Ax＝b有無窮多個解，則Ax＝0僅有零解

D．若Ax＝b有無窮多個解，則Ax＝0有非零解

【答案】D

【解析】由解的判定定理知，對Ax＝b，若有r（A）＝r（A(＿)）＝r，則Ax＝b一定有解。進一步，若r＝n，則Ax＝b有唯一解；若r＜n，則Ax＝b有無窮多解。而對Ax＝0一定有解，且設r（A）＝r，則若r＝n，Ax＝0僅有零解；若r＜n，Ax＝0有非零解。因此，若Ax＝b有無窮多解，則必有r（A）＝r（A）＝r＜n，Ax＝0有非零解，所以D項成立。但反過來，若r（A）＝r＝n（或＜n），并不能推導出r（A）＝r（A(＿)），所以Ax＝b可能無解，更談不上有唯一解或無窮多解。

26齊次線性方程組

的系數矩陣記為A。若存在三階矩陣B≠0使得AB＝0，則（　　）。

A．λ＝－2且|B|＝0

B．λ＝－2且|B|≠0

C．λ＝1且|B|＝0

D．λ＝1且|B|≠0

【答案】C

【解析】因為AB＝0，所以r（A）＋r（B）≤3，又A≠0，B≠0，所以1≤r（A）＜3，1≤r（B）＜3，故|A|＝0，|B|＝0。由|A|＝0?（λ－1）²＝0?λ＝1。綜上λ＝1且|B|＝0。

27設A是n階矩陣，且A^k＝0（k為正整數），則（　　）。

A．A一定是零矩陣

B．A有不為0的特征值

C．A的特征值全為0

D．A有n個線性無關的特征向量

【答案】C

【解析】設λ是A的特征值，對應的特征向量為α，則有Aα＝λα，A^kα＝λ^kα＝0。由α≠0，有λ^k＝0，即λ＝0，故A的特征值全為0。

令

則A²＝0。若A有n個線性無關的特征向量，則A可對角化，即存在可逆矩陣P，使得P^－1AP＝0，則必有A＝0，與題意矛盾。

28已知二階實對稱矩陣A的一個特征向量為（2，－5）^T，并且A＜0，則以下選項中為A的特征向量的是（　　）。

A．

B．

C．，k₁≠0，k₂≠0

D．，k₁，k₂不同時為零

【答案】D

【解析】設A的特征值為λ₁，λ₂，因為A＜0，所以λ₁·λ₂＜0，即A有兩個不同的特征值。又

且在D項中，k₁與k₂不同時為零。C項，k₁與k₂都可以等于0，如當k₁＝0，k₂≠0時，k₂（5，2）^T也是A的特征向量，所以排除。

29已知A為奇數階實矩陣，設階數為n，且對于任一n維列向量X，均有X^TAX＝0，則有（　　）。

A．|A|＞0

B．|A|＝0

C．|A|＜0

D．以上三種都有可能

【答案】B

【解析】由于對任一n維列向量X均有X^TAX＝0，兩邊轉置，有X^TA^TX＝0，從而X^T（A＋A^T）X＝0。顯然有（A＋A^T）^T＝A＋A^T，即A＋A^T為對稱矩陣。從而對任一n維列向量X均有：X^T（A＋A^T）X＝0，A＋A^T為實對稱矩陣，從而有A＋A^T＝0。即A^T＝－A，從而A為實反對稱矩陣，且A為奇數階，故|A|＝0。

30二次型

的秩為（　　）。

A．0

B．1

C．2

D．3

【答案】B

【解析】令

則二次型矩陣

B為實對稱矩陣，且二次型x^TAx＝x^TBx，故二次型的秩為r（B）＝1。

31已知矩陣

那么與A既相似又合同的矩陣是（　　）。

A．

B．

C．

D．

【答案】D

【解析】兩個實對稱矩陣如果相似必然合同，因為兩個實對稱矩陣相似，則它們有相同的特征值，從而有相同的正、負慣性指數，因此它們必然合同。但合同不能推出相似，故本題只要找出與A相似的矩陣即可，相似對角矩陣主對角線上元素為矩陣A的特征值，由特征值之和等于矩陣的跡，得：選項中對角矩陣主對角線上元素之和＝矩陣A的跡（即1＋1＋2＝4），觀察知D項滿足。