第二節(jié)　微分學(xué)

單項選擇題（下列選項中，只有一項符合題意）

1函數(shù)y＝sin（1/x）是定義域內(nèi)的（　　）。[2017年真題]

A．有界函數(shù)

B．無界函數(shù)

C．單調(diào)函數(shù)

D．周期函數(shù)

【答案】A

【解析】因為－1≤sin（1/x）≤1，即函數(shù)y＝sin（1/x）是定義域內(nèi)的有界函數(shù)。

2函數(shù)f（x）＝sin（x＋π/2＋π）在區(qū)間[－π，π]上的最小值點x₀等于（　　）。[2017年真題]

A．－π

B．0

C．π/2

D．π

【答案】B

【解析】對函數(shù)求導(dǎo)得f′（x）＝cos（x＋π/2＋π），令f′（x）＝cos（x＋π/2＋π）＝0，計算得x＋π/2＋π＝π/2±kπ，k＝0，1，2，得x＝±kπ－π，根據(jù)區(qū)間[－π，π]知：①當(dāng)k＝0時，x＝－π，函數(shù)有最大值1；②當(dāng)k＝1時，x只能取0，函數(shù)有最小值－1；③當(dāng)k＝2時，x只能取π，函數(shù)有最大值1。綜上，知最小值點x₀等于0。

3下列極限式中，能夠使用洛必達(dá)法則求極限的是（　　）。[2016年真題]

A．

B．

C．

D．

【答案】B

【解析】求極限時，洛必達(dá)法則的使用條件有：①屬于0/0型或者無窮/無窮型的未定式；②在變量所趨向的值的去心鄰域內(nèi)，分子和分母均可導(dǎo)；③分子分母求導(dǎo)后的商的極限存在或趨向于無窮大。A項屬于1/0型，不符合條件；C項，分子在x＝0處的去心鄰域處不可導(dǎo)，不符合條件；D項不符合條件③；則只有B項正確。

4下列等式中不成立的是（　　）。[2018年真題]

A．

B．

C．

D．

【答案】B

【解析】

A項，因為x→0，所以x²→0，所以利用上面重要極限的結(jié)論知

B項，極限

可化為

極限

為無窮小量；而|sinx|≤1，sinx為有界函數(shù)。因為有界函數(shù)與無窮小的乘積是無窮小，所以

C項，即為上面重要極限結(jié)論。

D項，因為x→∞，得1/x→0，所以利用重要極限知

5若

則常數(shù)k等于（　　）。[2014年真題]

A．－ln2

B．ln2

C．1

D．2

【答案】A

【解析】由

兩邊同時取自然對數(shù)，得：－k＝ln2，所以k＝－ln2。

6若

則必有（　　）。[2013年真題]

A．a(chǎn)＝1，b＝2

B．a(chǎn)＝1，b＝－2

C．a(chǎn)＝－1，b＝－1

D．a(chǎn)＝1，b＝1

【答案】C

【解析】因為

且分母為零，故

得2＋a＋b＝0，又由洛必達(dá)法則，有

解得：a＝－1。則b＝－1。

7設(shè)α（x）＝1－cosx，β（x）＝2x²，則當(dāng)x→0時，下列結(jié)論中正確的是（　　）。[2012年真題]

A．α（x）與β（x）是等價無窮小

B．α（x）是β（x）的高階無窮小

C．α（x）是β（x）的低階無窮小

D．α（x）與β（x）是同階無窮小但不是等價無窮小

【答案】D

【解析】因

或用洛必達(dá)法則

故α（x）與β（x）是同階無窮小但不是等價無窮小。

8要使得函數(shù)

在（0，＋∞）上連續(xù)，則常數(shù)a等于（　　）。[2017年真題]

A．0

B．1

C．－1

D．2

【答案】C

【解析】函數(shù)在（0，＋∞）上連續(xù)，因此在x＝1處，有

即由洛必達(dá)法則，得

即a＝－1。

9點x＝0是函數(shù)y＝arctan（1/x）的（　　）。[2014年真題]

A．可去間斷點

B．跳躍間斷點

C．連續(xù)點

D．第二類間斷點

【答案】B

【解析】第一類間斷點的判別方法為：如果f（x）在點x₀處間斷，且f（x₀^＋），f（x₀^－）都存在。其中，如果f（x₀^＋）≠f（x₀^－），則稱點x₀為函數(shù)f（x）的跳躍間斷點。本題中，因為y（0^＋）＝π/2，y（0^－）＝－π/2，y（0^＋）≠y（0^－），所以點x＝0是函數(shù)y＝arctan（1/x）的跳躍間斷點。

10設(shè)

則x＝0是f（x）的下面哪一種情況？（　　）[2012年真題]

A．跳躍間斷點

B．可去間斷點

C．第二類間斷點

D．連續(xù)點

【答案】D

【解析】函數(shù)在某一點處，左右極限相等且有定義，則函數(shù)在這一點處連續(xù)。函數(shù)的左右極限分別為：

由

得

f（0）＝（x²＋1）|_x＝0＝1

所以

即x＝0是f（x）的連續(xù)點。

11函數(shù)f（x）＝（x－x²）/sinπx的可去間斷點的個數(shù)為（　　）。[2011年真題]

A．1個

B．2個

C．3個

D．無窮多個

【答案】B

【解析】函數(shù)分母不為零，分母為零的點有0，±1，±2，±3，……；分子為零的點有0，1。當(dāng)x＝0，1時，有：

故f（x）有兩個可去間斷點0、1。

12若y＝y(tǒng)（x）由方程e^y＋xy＝e確定，則y′（0）等于（　　）。[2017年真題]

A．－y/e^y

B．－y/（x＋e^y）

C．0

D．－1/e

【答案】D

【解析】由方程e^y＋xy＝e可得，當(dāng)x＝0時，y＝1。方程兩邊對x求導(dǎo)得e^yy′＋y＋xy′＝0，即y′＝－y/（x＋e^y），將x＝0，y＝1代入，則可得y′（0）＝－1/e。

13設(shè)函數(shù)f（x）在（a，b）內(nèi)可微，且f′（x）≠0，則f（x）在（a，b）內(nèi)（　　）。[2016年真題]

A．必有極大值

B．必有極小值

C．必?zé)o極值

D．不能確定有還是沒有極值

【答案】C

【解析】可導(dǎo)函數(shù)極值判斷：若函數(shù)f（x）在（a，c）上的導(dǎo)數(shù)大于零，在（c，b）上的導(dǎo)數(shù)小于零，則f（x）在c點處取得極大值；若函數(shù)f（x）在（a，c）上的導(dǎo)數(shù)小于零，在（c，b）上的導(dǎo)數(shù)大于零，則f（x）在c點處取得極小值。即可導(dǎo)函數(shù)極值點處，f′（x）＝0。函數(shù)f（x）在（a，b）內(nèi)可微，則函數(shù)在（a，b）內(nèi)可導(dǎo)且連續(xù)；又f′（x）≠0，則在（a，b）內(nèi)必有f′（x）＞0或f′（x）＜0，即函數(shù)f（x）在（a，b）內(nèi)單調(diào)遞增或單調(diào)遞減，必?zé)o極值。

14下列說法中正確的是（　　）。[2014年真題]

A．若f′（x₀）＝0，則f（x₀）必須是f（x）的極值

B．若f（x₀）是f（x）的極值，則f（x）在點x0處可導(dǎo)，且f′（x₀）＝0

C．若f（x₀）在點x₀處可導(dǎo)，則f′（x₀）＝0是f（x）在x₀取得極值的必要條件

D．若f（x₀）在點x₀處可導(dǎo)，則f′（x₀）＝0是f（x）在x₀取得極值的充分條件

【答案】C

【解析】當(dāng)f（x₀）在點x₀處可導(dǎo)時，若f（x）在x₀處取得極值，則可知f′（x₀）＝0；若f′（x₀）＝0，而f′（x₀^＋）f′（x₀^－）≥0時，則f（x）在x₀處不能取得極值。因此，若f（x₀）在點x₀處可導(dǎo)，則f′（x₀）＝0是f（x）在x₀取得極值的必要條件。

15若f′（x₀）存在，則（　　）。[2018年真題]

A．f′（x₀）

B．－x₀f′（x₀）

C．f（x₀）－x₀f′（x₀）

D．x₀f′（x₀）

【答案】C

【解析】原式化簡得

16設(shè)

則f（x）在點x＝1處（　　）。[2013年真題]

A．不連續(xù)

B．連續(xù)但左、右導(dǎo)數(shù)不存在

C．連續(xù)但不可導(dǎo)

D．可導(dǎo)

【答案】C

【解析】

即

故f（x）在x＝1處連續(xù)；

即f_－′（1）≠f_＋′（1），故不可導(dǎo)。

17下列函數(shù)在給定區(qū)間上不滿足拉格朗日定理條件的是（　　）。[2012年真題]

A．f（x）＝x/（1＋x²），[－1，2]

B．f（x）＝x^2/3，[－1，1]

C．f（x）＝e^1/x，[1，2]

D．f（x）＝（x＋1）/x，[1，2]

【答案】B

【解析】在拉格朗日中值定理中，函數(shù)f（x）應(yīng)滿足：在閉區(qū)間[a，b]上連續(xù)，在開區(qū)間（a，b）上可導(dǎo)。f（x）＝x^2/3在[－1，1]連續(xù)。

在（－1，1）不可導(dǎo)（因為f′（x）在x＝0處導(dǎo)數(shù)不存在），所以不滿足拉格朗日中值定理的條件。

18如果f（x）在x₀可導(dǎo)，g（x）在x₀不可導(dǎo)，則f（x）g（x）在x₀（　　）。[2011年真題]

A．可能可導(dǎo)也可能不可導(dǎo)

B．不可導(dǎo)

C．可導(dǎo)

D．連續(xù)

【答案】A

【解析】舉例說明，令g（x）＝1/x，g（x）在x₀＝0處導(dǎo)數(shù)不存在，即不可導(dǎo)。令f（x）＝x，此時f（x）·g（x）＝1在x₀＝0處可導(dǎo)。令g（x）＝1/x，f（x）＝1，此時f（x）g（x）＝1/x在x₀＝0處不可導(dǎo)。

19設(shè)f（x）＝x（x－1）（x－2），則方程f′（x）＝0的實根個數(shù)是（　　）。[2016年真題]

A．3

B．2

C．1

D．0

【答案】B

【解析】先對方程求導(dǎo)，得：f′（x）＝3x²－6x＋2，再根據(jù)二元函數(shù)的判別式Δ＝b²－4ac＝12＞0，可知方程有兩個實根。

20設(shè)

則f（π/2）等于（　　）。[2016年真題]

A．π/2

B．－2/π

C．2/π

D．0

【答案】B

【解析】將方程兩邊分別對x取一階導(dǎo)數(shù)得：f（x）＝（－xsinx－cosx）/x²，故

21等于（　　）。[2014年真題]

A．1/（2x^3/2）

B．

C．

D．2/x

【答案】B

【解析】

22若

則dy/dx等于（　　）。[2013年真題]

A．－tant

B．tant

C．－sint

D．cott

【答案】A

【解析】dy/dx＝（dy/dt）/（dx/dt）＝－sint/cost＝－tant。

23設(shè)f（x）有連續(xù)的導(dǎo)數(shù)，則下列關(guān)系式中正確的是（　　）。[2013年真題]

A．∫f（x）dx＝f（x）

B．（∫f（x）dx）′＝f（x）

C．∫f′（x）dx＝f（x）dx

D．（∫f（x）dx）′＝f（x）＋C

【答案】B

【解析】∫f（x）dx＝F（x）＋C，∫f′（x）dx＝f（x）＋C，（∫f（x）dx）′＝f（x）。

24設(shè)y＝ln（cosx），則微分dy等于（　　）。[2012年真題]

A．dx/cosx

B．cotxdx

C．－tanxdx

D．－dx/（cosxsinx）

【答案】C

【解析】等式兩邊同時微分，得：dy＝f′（x）dx＝（－sinx）dx/cosx＝－tanxdx。

25f（x）的一個原函數(shù)為則f′（x）等于（　　）。[2012年真題]

A．

B．

C．

D．

【答案】A

【解析】由條件f（x）的一個原函數(shù)為，得

再由f（x）兩邊求導(dǎo)得：

26若x＝1是函數(shù)y＝2x²＋ax＋1的駐點，則常數(shù)a等于（　　）。[2018年真題]

A．2

B．－2

C．4

D．－4

【答案】D

【解析】函數(shù)y關(guān)于x求導(dǎo)，得y′＝4x＋a。因為x＝1是函數(shù)y＝2x²＋ax＋1的駐點，所以4×1＋a＝0，計算得a＝－4。

27曲線f（x）＝xe^－x的拐點是（　　）。[2017年真題]

A．（2，2e^－2）

B．（－2，－2e²）

C．（－1，－e）

D．（1，e^－1）

【答案】A

【解析】f（x）＝xe^－x，有f′（x）＝（1－x）e^－x，有f″（x）＝（x－2）e^－x，令f″（x）＝0，計算得x＝2，通過計算知，f″（x）在x＝2的左、右兩側(cè)鄰近異號，又f（2）＝2e^－2，所以點（2，2e^－2）為曲線的拐點。

28函數(shù)f（x，y）在點P₀（x₀，y₀）處的一階偏導(dǎo)數(shù)存在是該函數(shù)在此點可微分的（　　）。[2018年真題]

A．必要條件

B．充分條件

C．充分必要條件

D．既非充分條件也非必要條件

【答案】A

【解析】函數(shù)f（x，y）在P₀（x₀，y₀）可微，則f（x，y）在P₀（x₀，y₀）的偏導(dǎo)數(shù)一定存在。反之，偏導(dǎo)數(shù)存在不一定能推出函數(shù)在該點可微。舉例如下：

函數(shù)

在點（0，0）處有f_x（0，0）＝0，f_y（0，0）＝0，但函數(shù)f（x，y）在（0，0）處不可微。因此，函數(shù)f（x，y）在點P₀（x₀，y₀）處的一階偏導(dǎo)數(shù)存在是該函數(shù)在此點可微分的必要條件。

29設(shè)z＝y(tǒng)φ（x/y），其中φ（u）具有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，則?²z/（?x?y）等于（　　）。[2017年真題]

A．（1/y）φ″（x/y）

B．（－x/y²）φ″（x/y）

C．1

D．φ′（x/y）－（x/y）φ″（x/y）

【答案】B

【解析】計算得

?z/?x＝y(tǒng)·φ′（x/y）·（1/y）＝φ′（x/y）

?²z/?x?y＝－（x/y²）φ″（x/y）

30設(shè)函數(shù)z＝f（x²y），其中f（u）具有二階導(dǎo)數(shù)，則?²z/（?x?y）等于（　　）。[2018年真題]

A．f″（x²y）

B．f′（x²y）＋x²f″（x²y）

C．2x[f′（x²y）＋yf″（x²y）]

D．2x[f′（x²y）＋x²yf″（x²y）]

【答案】D

【解析】?²z/（?x?y）是先關(guān)于x求導(dǎo)，再關(guān)于y求導(dǎo)，計算得

31設(shè)z＝3^xy/x＋xF（u），其中F（u）可微，且u＝y(tǒng)/x，則?z/?y等于（　　）。[2016年真題]

A．3^xy－yF′（u）/x

B．3^xyln3/x＋F′（u）

C．3^xy＋F′（u）

D．3^xyln3＋F′（u）

【答案】D

【解析】計算得

32設(shè)方程x²＋y²＋z²＝4z確定可微函數(shù)z＝z（x，y），則全微分dz等于（　　）。[2014年真題]

A．（ydx＋xdy）/（2－z）

B．（xdx＋ydy）/（2－z）

C．（dx＋dy）/（2＋z）

D．（dx－dy）/（2－z）

【答案】B

【解析】對等式兩邊分別同時求導(dǎo)，得：2xdx＋2ydy＋2zdz＝4dz。所以dz＝（xdx＋ydy）/（2－z）

33設(shè)則?²z/?x²等于（　　）。[2014年真題]

A．

B．

C．

D．

【答案】A

【解析】一次偏導(dǎo)為：

二次偏導(dǎo)為：

34設(shè)z＝z（x，y）是由方程xz－xy＋ln（xyz）＝0所確定的可微函數(shù)，則?z/?y等于（　　）。[2013年真題]

A．－xz/（xz＋1）

B．－x＋1/2

C．z（－xz＋y）/[x（xz＋1）]

D．z（xy－1）/[y（xz＋1）]

【答案】D

【解析】將xz－xy＋ln（xyz）＝0兩邊對y求偏導(dǎo)，得xz_y′－x＋x（z＋y·z_y′）/（xyz）＝0，整理得z_y′＝z（xy－1）/[y（xz＋1）]。

35若z＝f（x，y）和y＝φ（x）均可微，則dz/dx等于（　　）。[2013年真題]

A．?f/?x＋?f/?y

B．?f/?x＋（?f/?y）（dφ/dx）

C．（?f/?y）（dφ/dx）

D．?f/?x－（?f/?y）（dφ/dx）

【答案】B

【解析】dz/dx＝（?f/?x）（dx/dx）＋（?f/?y）（dφ/dx）＝?f/?x＋（?f/?y）（dφ/dx）。

36設(shè)f（x）為偶函數(shù)，g（x）為奇函數(shù)，則下列函數(shù)中為奇函數(shù)的是（　　）。[2018年真題]

A．f[g（x）]

B．f[f（x）]

C．g[f（x）]

D．g[g（x）]

【答案】D

【解析】D項，令T（x）＝g[g（x）]。因為T（－x）＝g[g（－x）]＝g[－g（x）]＝－g[g（x）]，所以T（－x）＝－T（x），所以g[g（x）]為奇函數(shù)。

37已知f（x）為連續(xù)的偶函數(shù)，則f（x）的原函數(shù)中（　　）。[2013年真題]

A．有奇函數(shù)

B．都是奇函數(shù)

C．都是偶函數(shù)

D．沒有奇函數(shù)也沒有偶函數(shù)

【答案】A

【解析】f（x）的原函數(shù)中有與f（x）的奇偶性相反的函數(shù)，但并不是所有偶函數(shù)f（x）的原函數(shù)都是奇函數(shù)。

38若f（－x）＝－f（x）（－∞＜x＜＋∞），且在（－∞，0）內(nèi)f′（x）＞0，f″（x）＜0，則f（x）在（0，＋∞）內(nèi)是（　　）。[2013年真題]

A．f′（x）＞0，f″（x）＜0

B．f′（x）＜0，f″（x）＞0

C．f′（x）＞0，f″（x）＞0

D．f′（x）＜0，f″（x）＜0

【答案】C

【解析】由f（－x）＝－f（x）（－∞＜x＜＋∞），知f（x）為奇函數(shù)，奇函數(shù)關(guān)于原點對稱。根據(jù)奇函數(shù)圖形，故在（0，＋∞）內(nèi)，f′（x）＞0，f″（x）＞0。

39函數(shù)y＝（5－x）x^2/3的極值可疑點的個數(shù)是（　　）。[2013年真題]

A．0

B．1

C．2

D．3

【答案】C

【解析】極值可疑點為導(dǎo)數(shù)不存在或者導(dǎo)數(shù)為零的點。函數(shù)求導(dǎo)y′＝5x^－1/3（2－x）/3，可見函數(shù)在x＝0處導(dǎo)數(shù)不存在，在x＝2處導(dǎo)數(shù)為零，所以有兩個極值可疑點。

40設(shè)函數(shù)f（x），g（x）在[a，b]上均可導(dǎo)（a＜b），且恒正，若f′（x）g（x）＋f（x）g′（x）＞0，則當(dāng)x∈（a，b）時，下列不等式中成立的是（　　）。[2018年真題]

A．f（x）/g（x）＞f（a）/g（b）

B．f（x）/g（x）＞f（b）/g（b）

C．f（x）g（x）＞f（a）g（a）

D．f（x）g（x）＞f（b）g（b）

【答案】C

【解析】因為[f（x）g（x）]′＝f′（x）g（x）＋f（x）g′（x）＞0，所以函數(shù)f（x）g（x）在[a，b]上單調(diào)遞增。所以，當(dāng)x∈（a，b）時，f（a）g（a）＜f（x）g（x）＜f（b）g（b）。

41當(dāng)a＜x＜b時，有f′（x）＞0，f″（x）＜0，則在區(qū)間（a，b）內(nèi)，函數(shù)y＝f（x）的圖形沿x軸正向是（　　）。[2012年真題]

A．單調(diào)減且凸的

B．單調(diào)減且凹的

C．單調(diào)增且凸的

D．單調(diào)增且凹的

【答案】C

【解析】由f′（x）＞0且f″（x）＜0可知，函數(shù)y＝f（x）的圖形沿x軸正向是單調(diào)增且凸的。

42當(dāng)x＞0時，下列不等式中正確的是（　　）。[2011年真題]

A．e^x＜1＋x

B．ln（1＋x）＞x

C．e^x＜ex

D．x＞sinx

【答案】D

【解析】上述函數(shù)，A項，當(dāng)x＝1時，e＞2。B項，當(dāng)x→＋∞時，顯然x＞ln（1＋x）。C項，當(dāng)x→＋∞時，顯然e^x＞ex。

43設(shè)f（x）＝（e^2x－1）/（e^2x＋1），則（　　）。[2010年真題]

A．f（x）為偶函數(shù)，值域為（－1，1）

B．f（x）為奇函數(shù)，值域為（－∞，0）

C．f（x）為奇函數(shù)，值域為（－1，1）

D．f（x）為奇函數(shù)，值域為（0，＋∞）

【答案】C

【解析】根據(jù)題意可得

所以f（x）為奇函數(shù)；由于f′（x）＝4e^2x/（e^2x＋1）²＞0，則f（x）在（－∞，＋∞）上為單調(diào)遞增函數(shù)，且當(dāng)x→－∞時，f（x）＝－1，當(dāng)x→＋∞時，f（x）＝1，所以f（x）的值域為（－1，1）。