第一部分　章節習題及詳解

第一章　高等數學

第一節　空間解析幾何

單項選擇題（下列選項中，只有一項符合題意）

1設α、β均為非零向量，則下面結論正確的是（　　）。[2017年真題]

A．α×β＝0是α與β垂直的充要條件

B．α·β＝0是α與β平行的充要條件

C．α×β＝0是α與β平行的充要條件

D．若α＝λβ（λ是常數），則α·β＝0

【答案】C

【解析】AC兩項，α×β＝0是α與β平行的充要條件。B項，α·β＝0是α與β垂直的充要條件。D項，若α＝λβ（λ是常數），則α與β相互平行，則有α×β＝0。

2設向量α與向量β的夾角θ＝π/3，模|α|＝1，|β|＝2，則模|α＋β|等于（　　）。[2018年真題]

A．

B．

C．

D．

【答案】B

【解析】計算得：

3若向量α，β滿足|α|＝2，|β|＝，且α·β＝2，則|α×β|等于（　　）。[2016年真題]

A．2

B．

C．

D．不能確定

【答案】A

【解析】設兩向量α，β的夾角為θ，根據α·β＝2，解得：

故

|α×β|＝|α||β|sinθ＝2。

4已知向量α＝（－3，－2，1），β＝（1，－4，－5），則|α×β|等于（　　）。[2013年真題]

A．0

B．6

C．

D．14i＋16j－10k

【答案】C

【解析】因為

所以

5過點（1，－2，3）且平行于z軸的直線的對稱式方程是（　　）。[2017年真題]

A．

B．（x－1）/0＝（y＋2）/0＝（z－3）/1

C．z＝3

D．（x＋1）/0＝（y－2）/0＝（z＋3）/1

【答案】B

【解析】由題意可得此直線的方向向量為（0，0，1），又過點（1，－2，3），所以該直線的對稱式方程為（x－1）/0＝（y＋2）/0＝（z－3）/1。

6設直線方程為

則該直線（　　）。[2010年真題]

A．過點（－1，2，－3），方向向量為i＋2j－3k

B．過點（－1，2，－3），方向向量為－i－2j＋3k

C．過點（1，2，－3），方向向量為i－2j＋3k

D．過點（1，－2，3），方向向量為－i－2j＋3k

【答案】D

【解析】把直線方程的參數形式改寫成標準形式：（x－1）/1＝（y＋2）/2＝（z－3）/（－3），則直線的方向向量為±（1，2，－3），過點（1，－2，3）。

7下列平面中，平行于且與yOz坐標面非重合的平面方程是（　　）。[2018年真題]

A．y＋z＋1＝0

B．z＋1＝0

C．y＋1＝0

D．x＋1＝0

【答案】D

【解析】D項，平面方程x＋1＝0化簡為x＝－1，顯然平行yOz坐標面，且不重合。ABC三項，均不平行于yOz坐標面。

8已知直線L：x/3＝（y＋1）/（－1）＝（z－3）/2，平面π：－2x＋2y＋z－1＝0，則（　　）。[2013年真題]

A．L與π垂直相交

B．L平行于π但L不在π上

C．L與π非垂直相交

D．L在π上

【答案】C

【解析】直線L的方向向量為±（3，－1，2），平面π的法向量為（－2，2，1），由于3/（－2）≠（－1）/2≠2/1，故直線與平面不垂直；又3×（－2）＋（－1）×2＋2×1＝－6≠0，所以直線與平面不平行。所以直線與平面非垂直相交。直線L與平面π的交點為（0，－1，3）。

9設直線L為

平面π為4x－2y＋z－2＝0，則直線和平面的關系是（　　）。[2012年真題]

A．L平行于π

B．L在π上

C．L垂直于π

D．L與π斜交

【答案】C

【解析】直線L的方向向量為：

即s＝（－28，14，－7）。平面π的法線向量為：n＝（4，－2，1）。由上可得，s、n坐標成比例，即（－28）/4＝14/（－2）＝（－7）/1，故s∥n，直線L垂直于平面π。

10設直線方程為x＝y－1＝z，平面方程為x－2y＋z＝0，則直線與平面（　　）。[2011年真題]

A．重合

B．平行不重合

C．垂直相交

D．相交不垂直

【答案】B

【解析】直線的方向向量s＝（1，1，1），平面的法向向量n＝（1，－2，1），s·n＝1－2＋1＝0，則這兩個向量垂直，即直線與平面平行。又該直線上的點（0，1，0）不在平面上，故直線與平面不重合。

11yOz坐標面上的曲線

繞Oz軸旋轉一周所生成的旋轉曲面方程是（　　）。[2016年真題]

A．x²＋y²＋z＝1

B．x²＋y²＋z²＝1

C．

D．

【答案】A

【解析】一條平面曲線繞其平面上的一條直線旋轉一周所形成的曲面為旋轉曲面。若yOz平面上的曲線方程為f（y，z）＝0，將此曲線繞Oz軸旋轉一周得到的旋轉曲面方程為：

又

故x²＋y²＋z＝1。同理，曲線C繞y軸旋轉所成的旋轉曲面的方程為：

12在空間直角坐標系中，方程x²＋y²－z＝0表示的圖形是（　　）。[2014年真題]

A．圓錐面

B．圓柱面

C．球面

D．旋轉拋物面

【答案】D

【解析】在平面直角坐標系中，z＝x²為關于z軸對稱的拋物線。因此可考慮將該拋物線繞Oz軸旋轉一周所形成的曲面方程：

代入z＝x²得

即x²＋y²－z＝0。因此方程x²＋y²－z＝0表示的圖形為在面xOz內的拋物線z＝x²繞z軸旋轉得到的圖形，即旋轉拋物面。

13方程x²－y²/4＋z²＝1，表示（　　）。[2012年真題]

A．旋轉雙曲面

B．雙葉雙曲面

C．雙曲柱面

D．錐面

【答案】A

【解析】方程x²－y²/4＋z²＝1，即x²＋z²－y²/4＝1，可由xOy平面上雙曲線

繞y軸旋轉得到，或可由yOz平面上雙曲線

繞y軸旋轉得到。即該方程表示旋轉雙曲面。

14在三維空間中方程y²－z²＝1所代表的圖形是（　　）。[2011年真題]

A．母線平行x軸的雙曲柱面

B．母線平行y軸的雙曲柱面

C．母線平行z軸的雙曲柱面

D．雙曲線

【答案】A

【解析】由于

表示在x＝0的平面上的雙曲線，故三維空間中方程y²－z²＝1表示雙曲柱面，x取值為﹙－∞，＋∞﹚，即為母線平行x軸的雙曲柱面。

15設有直線L₁：（x－1）/1＝（y－3）/（－2）＝（z＋5）/1與L₂：

則L₁與L₂的夾角θ等于（　　）。[2014年真題]

A．π/2

B．π/3

C．π/4

D．π/6

【答案】B

【解析】由題意可知n(→)₁＝（m₁，n₁，p₁）＝（1，－2，1）

將L₂的參數形式改為標準形式：（x－3）/（－1）＝（y－1）/（－1）＝（z－1）/2

所以n(→)₂＝（m₂，n₂，p₂）＝（－1，－1，2）

所以L₁與L₂的夾角θ＝π/3。

16曲線x²＋4y²＋z²＝4與平面x＋z＝a的交線在yOz平面上的投影方程是（　　）。[2012年真題]

A．

B．

C．

D．（a－z）²＋4y²＋z²＝4

【答案】A

【解析】在yOz平面上投影方程必有x＝0，排除B項。令方程組為：

由式②得：x＝a－z。將上式代入式①得：（a－z）²＋4y²＋z²＝4，則曲線在yOz平面上投影方程為：

17設α、β、γ都是非零向量，若α×β＝α×γ，則（　　）。

A．β＝γ

B．α∥β且α∥γ

C．α∥（β－γ）

D．α⊥（β－γ）

【答案】C

【解析】根據題意可得，α×β－α×γ＝α×（β－γ）＝0，故α∥（β－γ）。

18已知a、b均為非零向量，而|a＋b|＝|a－b|，則（　　）。

A．a－b＝0

B．a＋b＝0

C．a·b＝0

D．a×b＝0

【答案】C

【解析】由a≠0，b≠0及|a＋b|＝|a－b|知，（a＋b）·（a＋b）＝（a－b）·（a－b）。即a·b＝－a·b，所以a·b＝0。

19設三向量a，b，c滿足關系式a·b＝a·c，則（　　）。

A．必有a＝0或b＝c

B．必有a＝b－c＝0

C．當a≠0時必有b＝c

D．a與（b－c）均不為0時必有a⊥（b－c）

【答案】D

【解析】因a·b＝a·c?a·（b－c）＝0?a＝0或b－c＝0或a⊥（b－c）當a與（b－c）均不為0時有a⊥（b－c）。

20設向量x垂直于向量a＝（2，3，－1）和b＝（1，－2，3），且與c＝（2，－1，1）的數量積為－6，則向量x＝（　　）。

A．（－3，3，3）

B．（－3，1，1）

C．（0，6，0）

D．（0，3，－3）

【答案】A

【解析】由題意可得，x∥a×b，而

所以x＝（x，－x，－x）。再由－6＝x·c＝（x，－x，－x）·（2，－1，1）＝2x，得x＝－3，所以x＝（－3，3，3）。

21直線L₁：

與L₂：

之間的關系是（　　）。

A．L₁∥L₂

B．L₁，L₂相交但不垂直

C．L₁⊥L₂但不相交

D．L₁，L₂是異面直線

【答案】A

【解析】直線L₁與L₂的方向向量分別為：

又3/（－9）＝1/（－3）＝5/（－15），故l₁∥l₂，即L₁∥L₂。

22已知直線方程

中所有系數都不等于0，且A₁/D₁＝A₂/D₂，則該直線（　　）。

A．平行于x軸

B．與x軸相交

C．通過原點

D．與x軸重合

【答案】B

【解析】因A₁/D₁＝A₂/D₂，故在原直線的方程中可消去x及D，故得原直線在yOz平面上的投影直線方程為

在yOz平面上的投影過原點（將原點坐標（0，0，0）代入直線方程），故原直線必與x軸相交。又因D₁，D₂≠0，將（0，0，0）代入直線方程可知直線不過原點。

23已知直線L₁過點M₁（0，0，－1）且平行于x軸，L₂過點M₂（0，0，1）且垂直于xOz平面，則到兩直線等距離點的軌跡方程為（　　）。

A．x²＋y²＝4z

B．x²－y²＝2z

C．x²－y²＝z

D．x²－y²＝4z

【答案】D

【解析】兩直線的方程為：L₁：x/1＝y/0＝（z＋1）/0，L₂：x/0＝y/1＝（z－1）/0。設動點為M（x，y，z），則由點到直線的距離的公式知：

（其中l_i是直線L_i的方向向量，M_i是直線L_i上的一點），所以：

由d₁＝d₂得：d₁²＝d₂²，故（z＋1）²＋y²＝（z－1）²＋x²，即x²－y²＝4z。

24在平面x＋y＋z－2＝0和平面x＋2y－z－1＝0的交線上有一點M，它與平面x＋2y＋z＋1＝0和x＋2y＋z－3＝0等距離，則M點的坐標為（　　）。

A．（2，0，0）

B．（0，0，－1）

C．（3，－1，0）

D．（0，1，1）

【答案】C

【解析】A項，點（2，0，0）不在平面x＋2y－z－1＝0上；B項，點（0，0，－1）不在平面x＋y＋z－2＝0上；D項，點（0，1，1）與兩平面不等距離。

25設平面α平行于兩直線x/2＝y/（－2）＝z及2x＝y＝z，且與曲面z＝x²＋y²＋1相切，則α的方程為（　　）。

A．4x＋2y－z＝0

B．4x－2y＋z＋3＝0

C．16x＋8y－16z＋11＝0

D．16x－8y＋8z－1＝0

【答案】C

【解析】由平面α平行于兩已知直線可得，平面α的法向量為：n＝（2，－2，1）×（1，2，2）＝－3（2，1，－2）。設切點為（x₀，y₀，z₀），則切點處曲面的法向量為（2x₀，2y₀，－1），故2/（2x₀）＝1/（2y₀）＝（－2）/（－1），由此解得x₀＝1/2，y₀＝1/4，從而z₀＝x₀²＋y₀²＋1＝21/16，因此α的方程為：2（x－1/2）＋（y－1/4）－2（z－21/16）＝0，即16x＋8y－16z＋11＝0。

26三個平面x＝cy＋bz，y＝az＋cx，z＝bx＋ay過同一直線的充要條件是（　　）。

A．a＋b＋c＋2abc＝0

B．a＋b＋c＋2abc＝1

C．a²＋b²＋c²＋2abc＝0

D．a²＋b²＋c²＋2abc＝1

【答案】D

【解析】由于三個平面過同一直線，線性齊次方程組

有無窮解，即行列式

解得a²＋b²＋c²＋2abc＝1。

27通過直線

和直線

的平面方程為（　　）。

A．x－z－2＝0

B．x＋z＝0

C．x－2y＋z＝0

D．x＋y＋z＝1

【答案】A

【解析】化直線的參數方程為標準方程得：（x＋1）/2＝（y－2）/3＝（z＋3）/2，（x－3）/2＝（y＋1）/3＝（z－1）/2，因點（－1，2，－3）不在平面x＋z＝0上，故可排除B項；因點（3，－1，1）不在x－2y＋z＝0和x＋y＋z＝1這兩個平面上，故可排除CD兩項，選A項。由于題目所給兩條直線的方向向量相同，故為兩條平行直線，且已知兩個點分別為（－1，2，－3）和（3，－1，1），過這兩個已知點的直線方程的方向向量為：（4，－3，4），故可求得通過這三條直線（兩條平行線和一條與平行線相交的直線）平面的法向量為：

故平面方程為18x－18z＋D＝0，代入點（－1，2，－3）解得：D＝－36，故平面方程為x－z－2＝0。

28過點（－1，2，3）垂直于直線x/4＝y/5＝z/6且平行于平面7x＋8y＋9z＋10＝0的直線是（　　）。

A．（x＋1）/1＝（y－2）/（－2）＝（z－3）/1

B．（x＋1）/1＝（y－2）/2＝（z－3）/2

C．（x＋1）/（－1）＝（y－2）/（－2）＝（z－3）/1

D．（x－1）/1＝（y－2）/（－2）＝（z－3）/1

【答案】A

【解析】直線x/4＝y/5＝z/6的方向向量為s＝4，5，6，平面7x＋8y＋9z＋10＝0的法向量為n＝7，8，9。顯然ABC三項中的直線均過點（－1，2，3）。A項中直線的方向向量為s₁＝（1，－2，1），有s₁⊥s，s₁⊥n，可見A中直線與已知直線x/4＝y/5＝z/6垂直，與平面7x＋8y＋9z＋10＝0平行。

29若直線（x－1）/1＝（y＋1）/2＝（z－1）/λ與（x＋1）/1＝（y－1）/1＝z/1相交，則必有（　　）。

A．λ＝1

B．λ＝3/2

C．λ＝－4/5

D．λ＝5/4

【答案】D

【解析】如果兩直線相交，則這兩條直線的方向向量與這兩條直線上兩點連線構成的向量應在同一平面上，由此來確定λ。點A（1，－1，1），B（－1，1，0）分別為兩條直線上的一點，則