第二節　波動學

單項選擇題（下列選項中，只有一項符合題意）

1對平面簡諧波而言，波長λ反映（　　）。[2017年真題]

A．波在時間上的周期性

B．波在空間上的周期性

C．波中質元振動位移的周期性

D．波中質元振動速度的周期性

【答案】B

【解析】波動傳播時，同一波線上的兩個相鄰質點（相位之差為2π）之間的距離稱為波長λ。波長反映了波在空間上的周期性。

2一平面簡諧波的波動方程為y＝2×10^－2cos[2π（10t－x/5）]（SI），對x＝－2.5m處的質元，在t＝0.25s時，它的（　　）。[2016年真題]

A．動能最大，勢能最大

B．動能最大，勢能最小

C．動能最小，勢能最大

D．動能最小，勢能最小

【答案】D

【解析】在x＝－2.5m處的質元的波動方程為：y＝2×10^－2cos2π（10t＋0.5）；當t＝0.25s時，y＝2×10^－2cos6π，此時質元處于最大位移處，故速度最小，即動能最小。在波動中，質元的動能和勢能的變化是同相位的，同時達到最大值，又同時達到最小值，故勢能此時也最小。

3一橫波的波動方程是y＝2×10^－2cos[2π（10t－x/5）]（SI），t＝0.25s，距離原點（x＝0）處最近的波峰位置為（　　）。[2014年真題]

A．±2.5m

B．±7.5m

C．±4.5m

D．±5m

【答案】A

【解析】t＝0.25s時，波形為：y＝2×10^－2cos[2π（5/2－x/5）]，波峰位置即質點振幅最大的位置。波峰位置的條件為：（5/2－x/5）2π＝2kπ（k＝0，±1，±2，…），則距離原點x＝0處最近的波峰位置為±2.5m。

4已知平面簡諧波的方程為y＝Acos（Bt－Cx），式中A、B、C為正常數，此波的波長和波速分別為（　　）。[2017年真題]

A．B/C，2π/C

B．2π/C，B/C

C．π/C，2B/C

D．2π/C，C/B

【答案】B

【解析】將方程y＝Acos（Bt－Cx）與平面簡諧波的標準方程y＝Acosω（t－x/u）對比得：波速u＝B/C，ω＝B。又由于ω＝2π/T，u＝λ/T，得波長：λ＝2π/C。

5在波的傳播方向上，有相距3m的兩質元，兩者的相位差為π/6，若波的周期為4s，則此波的波長和波速分別為（　　）。[2017年真題]

A．36m和6m/s

B．36m和9m/s

C．12m和6m/s

D．12m和9m/s

【答案】B

【解析】相位差公式為：ΔΦ＝2π（Δx）/λ。代入相關參數得，π/6＝（2π×3）/λ。由于波長λ＝36m，則波速u＝λv＝λ/T＝9m/s。

6一平面簡諧波的波動方程為y＝0.02cosπ（50t＋4x）（SI），此波的振幅和周期分別為（　　）。[2018年真題]

A．0.02cm，0.04s

B．0.02m，0.02s

C．－0.02m，0.02s

D．0.02m，25s

【答案】A

【解析】平面簡諧波的波動方程為：y＝Acos[ω（t－x/u）＋φ₀]。對比可知，振幅A＝0.02m，ω＝50π。由T＝2π/ω可得，T＝0.04s。

7一橫波沿一根弦線傳播，其方程y＝－0.02cosπ（4x－50t）（SI），該波的振幅與波長分別為（　　）。[2013年真題]

A．0.02cm，0.5cm

B．－0.02m，－0.5m

C．－0.02m，0.5m

D．0.02m，0.5m

【答案】D

【解析】沿x軸正向傳播的波動方程表達式為：y＝Acos[ω（t－x/u）＋φ₀]。因為ω＝2π/T，則波動方程可寫為：y＝－0.02cosπ（4x－50t）＝－0.02cos50π（t－x/12.5）。故振幅為0.02m，波速為u＝12.5m/s，周期為T＝2π/50π＝（1/25）s，波長為λ＝uT＝（1/25）×12.5＝0.5m。

8一平面簡諧波的波動方程為y＝2×10^－2cos2π（10t－x/5）（SI），則在t＝0.25s時處于平衡位置，且與坐標原點x＝0最近的質元的位置是（　　）。[2012年真題]

A．x＝±5m

B．x＝5m

C．x＝±1.25m

D．x＝1.25m

【答案】C

【解析】在t＝0.25s時刻，處于平衡位置，y＝0，由簡諧波的波動方程y＝2×10^－2cos[2π（10×0.25－x/5）]＝0可知，cos[2π（10×0.25－x/5）]＝0，則2π（10×0.25－x/5）＝（2k＋1）π/2（k＝0，±1，±2，…）。由此可得：x＝5（9/4－k/2）。當x＝0時，k＝9/2。所以k取，或5；x＝±1.25時，與坐標原點x＝0最近。

9一平面簡諧波沿x軸正向傳播，振幅A＝0.02m，周期T＝0.5s，波長λ＝100m，原點處質元初相位φ＝0，則波動方程的表達式（　　）。[2012年真題]

A．y＝0.02cos2π（t/2－0.01x）（SI）

B．y＝0.02cos2π（2t－0.01x）（SI）

C．y＝0.02cos2π（t/2－100x）（SI）

D．y＝0.002cos2π（2t－100x）（SI）

【答案】B

【解析】沿x軸正向傳播的波動方程表達式為：y＝Acos[ω（t－x/u）＋φ₀]。又u＝λ/T，ω＝2π/T，故波動方程寫為：y＝Acos[2π（t/T－x/λ）＋φ₀]。由于A＝0.02m，T＝0.5s，λ＝100m，φ₀＝0，代入波動方程公式可得：y＝0.02cos2π（2t－0.01x）（SI）。

10一平面簡諧波的波動方程為y＝0.01cos10π（25t－x）（SI），則在t＝0.1s時刻，x＝2m處質元的振動位移是（　　）。[2018、2011年真題]

A．0.01cm

B．0.01m

C．－0.01m

D．0.01mm

【答案】C

【解析】波動方程的意義有：①當x一定時，波動方程表示坐標為x的質點的振動方程。②當t一定時，波動方程表示t時刻各質點的位移。故在t＝0.1s時刻，x＝2m處質元的振動位移是：y＝0.01cos10π（25t－x）＝0.01cos10π（25×0.1－2）＝－0.01m。

11在波的傳播方向上，有相距為3m的兩質元，兩者的相位差為π/6，若波的周期為4s，則此波的波長和波速分別為（　　）。[2011年真題]

A．36m和6m/s

B．36m和9m/s

C．12m和6m/s

D．12m和9m/s

【答案】B

【解析】已知Δφ/2π＝Δx/λ，兩質元Δx＝3m，Δφ＝π/6，則λ＝36m。因此，波速v＝λ/T＝9m/s。

12當機械波在媒質中傳播，一媒質質元的最大形變量發生在（　　）。[2018年真題]

A．媒質質元離開其平衡位置的最大位移處

B．媒質質元離開其平衡位置的處（A為振幅）

C．媒質質元離開其平衡位置的A/2處

D．媒質質元在其平衡位置處

【答案】D

【解析】媒質質元的最大形變量發生在彈性勢能最大的地方，當質元處在平衡位置時，其動能和勢能同時達到最大值。

13一列機械橫波在t時刻的波形曲線如圖2-2-1所示，則該時刻能量處于最大值的媒質質元的位置是（　　）。[2013年真題]

圖2-2-1

A．a

B．b

C．c

D．d

【答案】A

【解析】根據機械波能量的公式，質元的總機械能為：W＝W_K＋W_P＝ΔmA²ω²sin²[ω（t－x/u）]，則sin²[ω（t－x/u）]＝1。因此，當ω（t－x/u）＝π/2＋kπ時，能量取得最大值W＝ΔmA²ω²，a點符合。

14對于機械橫波而言，下面說法正確的是（　　）。[2011年真題]

A．質元處于平衡位置時，其動能最大，勢能為零

B．質元處于平衡位置時，其動能為零，勢能最大

C．質元處于波谷處時，動能為零，勢能最大

D．質元處于波峰處時，動能與勢能均為零

【答案】D

【解析】在x處取一小塊媒介，體積為?V，質量?m＝ρ?V（質元）。此質元做簡諧振動，當?V中機械能增加時，說明上一個鄰近體元傳給它能量；當?V中機械能減少時，說明它的能量傳給下一個鄰近體元。這正符合能量傳播圖。體元?V中動能與勢能同時達到最大值（當體元處在平衡位置y＝0時）及最小值（當體元處在最大位移y＝A時）。

15兩相干波源，頻率為100Hz，相位差為π，兩者相距20m，若兩波源發出的簡諧波的振幅均為A，則在兩波源連線的中垂線上各點合振動的振幅為（　　）。[2016年真題]

A．－A

B．0

C．A

D．2A

【答案】B

【解析】當兩相干波源發出的波在某一點的相位差?Φ＝Φ₂－Φ₁－2π（r₂－r₁）/λ為2π的整數倍時，合振動的振幅A＝A₁＋A₂；當為π的奇數倍時，合振動的振幅A＝|A₂－A₁|。在波源連線的中垂線上，r₂－r₁＝0，相位差?Φ＝Φ₂－Φ₁＝π，故合振幅A＝|A₂－A₁|＝0。

16在波長為λ的駐波中，兩個相鄰的波腹之間的距離為（　　）。[2013年真題]

A．λ/2

B．λ/4

C．3λ/4

D．λ

【答案】A

【解析】駐波為兩個振幅、波長、周期皆相同的正弦波相向行進干涉而成的合成波。此種波的波形無法前進，因此無法傳播能量。駐波通過時，每一個質點皆作簡諧運動。各質點振蕩的幅度不相等，振幅為零的點稱為節點或波節，振幅最大的點位于兩節點之間，稱為腹點或波腹。根據駐波的特點，相鄰的兩個波節（或波腹）之間的距離等于半個波長，即λ/2。

17兩人輕聲談話的聲強級為40dB，熱鬧市場上噪聲的聲強級為80dB，市場上聲強與輕聲談話的聲強之比為（　　）。[2012年真題]

A．2

B．20

C．10²

D．10⁴

【答案】D

【解析】聲強級公式為：I_L＝ln（I/I₀）。式中，I₀＝10^－12W/m²為測定基準；I_L的單位為B（貝爾）。dB為B（貝爾）的十分之一，輕聲談話的聲強級為40dB（分貝），即為4B（貝）。代入聲強級公式，4＝lg（I/I₀），解得：I₁＝I₀×10⁴W/m²。同理可得熱鬧市場上聲強I₂＝I₀×10⁸W/m²，可知市場上聲強與輕聲談話的聲強之比：I₂/I₁＝（I₀×10⁸）/（I₀×10⁴）＝10⁴。

18一聲波波源相對媒質不動，發出的聲波頻率是υ₀，設一觀察者的運動速度為波速的1/2，當觀察者迎著波源運動時，他接收到的聲波頻率是（　　）。[2010年真題]

A．2υ₀

B．υ₀/2

C．υ₀

D．3υ₀/2

【答案】D

【解析】設波源為S，觀察者為B，當觀察者迎著波源運動時υ＝υ₀（1＋v_B/u），其中u為波速。已知v_B＝u/2，所以υ＝3υ₀/2。