第三節　積分學

單項選擇題（下列選項中，只有一項符合題意）

1設函數

則f′（1）等于（　　）。[2017年真題]

A．

B．

C．

D．

【答案】D

【解析】由

得

求導得：

即有

注：若f（x）在[a，b]上連續，且g（x）可導，則

2若∫f（x）dx＝F（x）＋C，則∫xf（1－x²）dx＝（　　）。[2018年真題]

A．F（1－x²）＋C

B．（－1/2）F（1－x²）＋C

C．（1/2）F（1－x²）＋C

D．（－1/2）F（x）＋C

【答案】B

【解析】計算得∫xf（1－x²）dx＝（－1/2）∫f（1－x²）d（1－x²）＝（－1/2）F（1－x²）＋C，這里C均表示常數。

3∫f（x）dx＝lnx＋C，則∫cosxf（cosx）dx等于（　　）。[2017年真題]

A．cosx＋C

B．x＋C

C．sinx＋C

D．ln（cosx）＋C

【答案】B

【解析】由∫f（x）dx＝lnx＋C，可得f（x）＝1/x，則∫cosxf（cosx）dx＝∫cosx（1/cosx）dx＝x＋C。

4已知φ（x）可導，則等于（　　）。[2018年真題]

A．

B．

C．

D．

【答案】A

【解析】由題意，計算得

【說明】如果φ（x）、Ψ（x）可導，則：

①

②

5等于（　　）。[2014年真題]

A．

B．

C．

D．

【答案】C

【解析】若f（x）在[a，b]上連續，且u＝g（x）可導，則：

所以

6f′（x）連續，則∫f′（2x＋1）dx等于（　　）。[2012年真題]

A．f（2x＋1）＋C

B．（1/2）f（2x＋1）＋C

C．2f（2x＋1）＋C

D．f（x）＋C

【答案】B

【解析】∫f′（2x＋1）dx＝（1/2）∫f′（2x＋1）d（2x＋1）＝（1/2）f（2x＋1）＋C。

7若

則常數A等于（　　）。[2016年真題]

A．1/π

B．2/π

C．π/2

D．π

【答案】A

【解析】反常積分上下限均為無窮，在0處分開求，即：

解得：A＝1/π。

8定積分等于（　　）。[2017年真題]

A．0

B．－1

C．1

D．2

【答案】C

【解析】換元法，令t＝1/x得

代入已知定積分得，原式為

C為常數。

9定積分等于（　　）。[2012年真題]

A．

B．

C．

D．

【答案】C

【解析】

10若sec²x是f（x）的一個原函數，則∫xf（x）dx等于（　　）。[2016年真題]

A．tanx＋C

B．xtanx－ln|cosx|＋C

C．xsec²x＋tanx＋C

D．xsec²x－tanx＋C

【答案】D

【解析】由于sec²x是f（x）的一個原函數，令F（x）＝sec²x＋C，則：∫xf（x）dx＝∫xd[F（x）]＝xF（x）－∫F（x）dx＝xsec²x＋Cx－（tanx＋Cx－C）＝xsec²x－tanx＋C。

11下列廣義積分中發散的是（　　）。[2013年真題]

A．

B．

C．

D．

【答案】C

【解析】

故C項積分發散。

12若正方形區域D：|x|≤1，|y|≤1，則二重積分等于（　　）。[2018年真題]

A．4

B．8/3

C．2

D．2/3

【答案】B

【解析】根據積分區域及被積函數x²＋y²，利用積分對稱性，得

13若圓域D：x²＋y²≤1，則二重積分等于（　　）。[2017年真題]

A．π/2

B．π

C．2πln2

D．πln2

【答案】D

【解析】將此二重積分在極坐標下進行積分可得

14二次積分交換積分次序后的二次積分是（　　）。[2013年真題]

A．

B．

C．

D．

【答案】D

【解析】根據原積分上下限，積分區域為曲線y＝x²和直線y＝x包圍的區域，交換積分次序后，y范圍應為0～1，x范圍應為，故D項正確。

15若D是由y＝x，x＝1，y＝0所圍成的三角形區域，則二重積分在極坐標下的二次積分是（　　）。[2012年真題]

A．

B．

C．

D．

【答案】B

【解析】畫出區域D的圖形，在極坐標下，區域D可表為：0≤θ≤π/4，0≤r≤1/cosθ。變量可表示為：x＝rcosθ，y＝rsinθ，dxdy＝rdrdθ。故

16設L是從點A（0，1）到點B（1，0）的直線段，則對弧長的曲線積分∫_Lcos（x＋y）ds等于（　　）。[2018年真題]

A．cos1

B．2cos1

C．

D．

【答案】C

【解析】L是連接AB兩點的直線，則直線的方程為：y＝1－x（0≤x≤1），則

【總結】如果曲線弧L由方程y＝φ（x）（x₀＜x＜x₁）給出，則

17設L是橢圓周

的上半橢圓周，取順時針方向，則曲線積分∫_Ly²dx等于（　　）。[2017年真題]

A．5ab²/3

B．4ab²/3

C．2ab²/3

D．ab²/3

【答案】B

【解析】由題意可得：x²/a²＋y²/b²＝1，即y²＝b²－（b²/a²）x²，則有：

18設L為從點A（0，－2）到點B（2，0）的有向直線段，則對坐標的曲線積分等于（　　）。[2014年真題]

A．1

B．－1

C．3

D．－3

【答案】B

【解析】AB直線的方程為：y＝x－2，曲線積分化成x的積分為：

19設L是連接點A（1，0）及點B（0，－1）的直線段，則對弧長的曲線積分∫_L（y－x）ds等于（　　）。[2013年真題]

A．－1

B．1

C．

D．

【答案】D

【解析】直線L的方程為：y＝x－1，則

20設L為連接（0，2）和（1，0）的直線段，則對弧長的曲線積分∫_L（x²＋y²）ds＝（　　）。[2011年真題]

A．

B．2

C．

D．

【答案】D

【解析】直線L方程為：y＝－2x＋2，故：

21拋物線y²＝4x與直線x＝3所圍成的平面圖形繞x軸旋轉一周形成的旋轉體體積是（　　）。[2014年真題]

A．

B．

C．

D．

【答案】C

【解析】根據定積分的運用，拋物線y²＝4x與直線x＝3所圍成的平面圖形繞x軸旋轉一周形成的旋轉體體積為：

22曲線y＝（sinx）^3/2（0≤x≤π）與x軸圍成的平面圖形繞x軸旋轉一周而成的旋轉體體積等于（　　）。[2012年真題]

A．4/3

B．4π/3

C．2π/3

D．2π²/3

【答案】B

【解析】旋轉體體積為：

23若D是由x＝0，y＝0，x²＋y²＝1所圍成在第一象限的區域，則二重積分等于（　　）。[2016年真題]

A．－1/15

B．1/15

C．－1/12

D．1/12

【答案】B

【解析】采用極坐標法求二重積分，具體計算如下：

24設D是由y＝x，y＝0及

所圍成的第一象限區域，則二重積分等于（　　）。[2014年真題]

A．πa²/8

B．πa²/4

C．3πa²/8

D．πa²/2

【答案】A

【解析】直線y＝x，y＝0及曲線

所圍成的是一個處于第一象限內的以a為半徑的1/8的圓的區域，而二重積分表示上述區域的面積，所以二重積分

25由曲線y＝lnx，y軸與直線y＝lna，y＝lnb（b＞a＞0）所圍成的平面圖形的面積等于（　　）。[2018年真題]

A．lnb－lna

B．b－a

C．e^b－e^a

D．e^b＋e^a

【答案】B

【解析】由y＝lnx得，x＝e^y。由題意，得圍成的平面圖形的面積

26圓周ρ＝cosθ，ρ＝2cosθ及射線θ＝0，θ＝π/4所圍的圖形的面積S等于（　　）。[2010年真題]

A．3（π＋2）/8

B．（π＋2）/16

C．3（π＋2）/16

D．7π/8

【答案】C

【解析】根據積分區域可得

27設L是拋物線y＝x²上從點A（1，1）到點O（0，0）的有向弧線，則對坐標的曲線積分∫_Lxdx＋ydy等于（　　）。[2016年真題]

A．0

B．1

C．－1

D．2

【答案】C

【解析】選擇x的積分路線，有：

28不定積分等于（　　）。[2014年真題]

A．（1/4）（1＋x³）^4/3＋C

B．（1＋x³）^1/3＋C

C．（3/2）（1＋x³）^2/3＋C

D．（1/2）（1＋x³）^2/3＋C

【答案】D

【解析】原式等于

29（　　）。[2011年真題]

A．

B．

C．tan（1＋x）

D．（1/2）arctanx＋C

【答案】B

【解析】因為

故

30若f（x）的一個原函數是lnx/x，則∫xf′（x）dx＝（　　）。

A．lnx/x＋C

B．（1＋lnx）/x＋C

C．1/x＋C

D．（1－2lnx）/x＋C

【答案】D

【解析】由f（x）＝（lnx/x）′＝（1－lnx）/x²，則：

∫xf′（x）dx＝∫xdf（x）＝xf（x）－∫df（x）＝x（1－lnx）/x²－lnx/x＋C＝（1－2lnx）/x＋C

31廣義積分

則c等于（　　）。

A．π

B．

C．

D．－2/π

【答案】C

【解析】根據題意

因此，

32下列廣義積分中發散的是（　　）。

A．

B．

C．

D．

【答案】A

【解析】A項，

發散。

B項，

收斂。

C項，

代入已知定積分，

收斂。

D項，

收斂。

33設D是xOy平面上以（1，1）、（－1，1）和（－1，－1）為頂點的三角形區域，D₁是D在第一象限的部分，則等于（　　）。

A．

B．

C．

D．0

【答案】A

【解析】三角形D可進一步分割為兩個分別關于x軸和y軸對稱的三角形，從而根據被積函數關于x或y的奇偶性即可得出結論。設D′是xOy平面上以（0，0），（1，1），（－1，1）為頂點的三角形區域，D″是xOy平面上以（0，0），（－1，1），（－1，－1）為頂點的三角形區域，則D′關于y軸對稱，D″關于x軸對稱。

于是

由于xy關于x和y均為奇函數，因此

而

故

34設函數f（u）連續，區域D＝{（x，y）|x²＋y²≤2y}，則等于（　　）。

圖1-3-1

A．

B．

C．

D．

【答案】D

【解析】先畫出積分區域的示意圖，再選擇直角坐標系和極坐標系，并在兩種坐標系下化為累次積分，即得正確選項。積分區域（見圖1-3-1），在直角坐標系下

因為不確定被積函數的奇偶性，故不能用對稱條件，B項錯誤。

在極坐標系下，

所以

35設

D：x²＋y²≤a²，則a為（　　）。

A．

B．

C．1

D．2

【答案】D

【解析】將方程用極坐標表示，

由題設，（2/3）πa³＝（16/3）π，得a＝2。

36設

其中Ω是由

所圍成的，則I＝（　　）。

A．π/6

B．

C．

D．

【答案】B

【解析】設圓錐側面，球面所圍區域為Ω₁，球面與平面z＝1，圓錐面所圍區域為Ω₂（見圖1-3-2），則

圖1-3-2

37設曲線積分∫_l[f（x）－e^x]sinydx－f（x）cosydy與路徑無關，其中f（x）具有一階連續導數，且f（0）＝0，則f（x）等于（　　）。

A．（e^－x－e^x）/2

B．（e^x－e^－x）/2

C．（e^x＋e^－x）/2－1

D．1－（e^x＋e^－x）/2

【答案】B

【解析】曲線積分∫_lP（x，y）dx＋Q（x，y）dy與路徑無關，即?P（x，y）/?y＝?Q（x，y）/?x

P（x，y）＝[f（x）－e^x]siny，Q（x，y）＝－f（x）cosy，則由題設有?P（x，y）/?y＝?Q（x，y）/?x

即f′（x）＋f（x）－e^x＝0。由一階微分方程通解公式知

又由f（0）＝0得，C＝－1/2，故有f（x）＝（e^x－e^－x）/2

38設平面曲線l：x²/4＋y²/9＝1，l₁：x²/4＋y²/9＝1，y≥0，其所圍成的區域分別記為D和D₁，則有（　　）。

A．

B．

C．

D．

【答案】A

【解析】由對稱性知

且

故有∫_l（x＋y²）ds＝2∫_l（x＋y²）ds

B項，

但

因此

C項，左端為0，但右端為2∫∫y³dxdy＞0，不相等。

D項，左端為

但

因此左、右兩端也不相等。

39曲線r＝ae^bθ（a＞0，b＞0）從θ＝0到θ＝α（α＞0）的一段弧長為（　　）。

A．

B．

C．

D．

【答案】A

【解析】利用極坐標方程表示曲線的弧長公式，有：

40設函數f（x）連續，由曲線y＝f（x）在x軸圍成的三塊面積為S₁、S₂、S₃（S₁、S₂、S₃均大于0），如圖1-3-3所示，已知S₂＋S₃＝p，S₁＝2S₂－q，且p≠q，則等于（　　）。

圖1-3-3

A．p－q

B．q－p

C．p＋q

D．2（p－q）

【答案】B

【解析】由定積分幾何意義得：

又S₂＋S₃＝p，S₁＝2S₂－q，則S₁－S₂＋S₃＝p－q，即

41設

則方程f（x）＝1在（1，＋∞）內的實根個數必為（　　）。

A．0

B．1

C．2

D．3

【答案】B

【解析】

故f（x）單調遞增且連續，f（1）＝0且

故x充分大后f（x）會大于任何數，因此方程f（x）＝1必有一個實根。

42設

f（x）可導，且f′（x）＞0，則（　　）。

A．F（0）是極大值

B．F（0）是極小值

C．F（0）不是極值，但（0，F（0））是曲線F（x）的拐點坐標

D．F（0）不是極值，（0，F（0））也不是曲線F（x）的拐點坐標

【答案】C

【解析】由

得到：

F″（x）＝f（x）＋xf′（x）－f（x）＝xf′（x）。F″（0）＝0。又由f′（x）＞0，當x＜0時，F″（x）＜0；當x＞0時，F″（x）＞0；因此（0，F（0））是曲線的拐點。

由F″（x）的符號可得：當x＜0時F′（x）單調遞減，因此F′（x）＞F′（0）＝0；當x＞0時F′（x）單調遞增，因此F′（x）＞F′（0）＝0，從而推得F（x）在（－∞，＋∞）單調遞增，F（0）不是極值。