第五節(jié)　常微分方程

單項選擇題（下列選項中，只有一項符合題意）

1微分方程y″－2y′＋y＝0的兩個線性無關(guān)的特解是（　　）。[2016年真題]

A．y₁＝x，y₂＝e^x

B．y₁＝e^－x，y₂＝e^x

C．y₁＝e^－x，y₂＝xe^－x

D．y₁＝e^x，y₂＝xe^x

【答案】D

【解析】本題中，二階常系數(shù)線性微分方程的特征方程為：r²－2r＋1＝0，解得：r₁＝r₂＝1，故方程的通解為：y₂＝e^x（c₁＋c₂x），則兩個線性無關(guān)解為c₁e^x、c₂xe^x（c₁、c₂為常數(shù)）。

2微分方程y″＝sinx的通解y等于（　　）。[2018年真題]

A．－sinx＋C₁＋C₂

B．－sinx＋C₁x＋C₂

C．－cosx＋C₁x＋C₂

D．sinx＋C₁x＋C₂

【答案】B

【解析】方法一：直接利用代入法。B項，當(dāng)y＝－sinx＋C₁x＋C₂時，y′＝－cosx＋C₁，繼續(xù)求導(dǎo)得，y″＝sinx，符合題意。n階微分方程通解中應(yīng)含有n個任意常數(shù)。A項通解中實質(zhì)上只有一個任意常數(shù)，而CD兩項均不滿足微分方程y″＝sinx，則均不符合。

方法二：由（sinx）′＝cosx，（cosx）′＝－sinx，則通過求原函數(shù)不定積分得y′＝－cosx＋C₁，再求一次不定積分得y＝－sinx＋C₁x＋C₂，B項符合題意。

3微分方程xy′－y＝x²e^2x的通解y等于（　　）。[2014年真題]

A．x（e^2x/2＋C）

B．x（e^2x＋C）

C．x（x²e^2x/2＋C）

D．x²e^2x＋C

【答案】A

【解析】當(dāng)x≠0時，原微分方程可化為：y′－y/x＝xe^2x

則

4在下列微分方程中，以函數(shù)y＝C₁e^－x＋C₂e^4x（C₁，C₂為任意常數(shù)）為通解的微分方程是（　　）。[2018年真題]

A．y″＋3y′－4y＝0

B．y″－3y′－4y＝0

C．y″＋3y′＋4y＝0

D．y″＋y′－4y＝0

【答案】B

【解析】由題意知，二階常系數(shù)齊次線性微分方程的特征方程的兩個根為－1和4，只有B項滿足。

【總結(jié)】求二階常系數(shù)齊次線性微分方程y″＋py′＋qy＝0的通解的步驟：

①求出微分方程的特征方程r²＋pr＋q＝0；

②求出特征方程的兩個根r₁，r₂；

③根據(jù)r₁，r₂的不同情形，寫出微分方程的通解：

a．當(dāng)r₁≠r₂，

b．當(dāng)r₁＝r₂，

c．一對共軛復(fù)根r_1，2＝α±βi，y＝e^αx（C₁cosβx＋C₂sinβx）。

5微分方程dy/dx＋x/y＝0的通解是（　　）。[2012年真題]

A．x²＋y²＝C（C∈R）

B．x²－y²＝C（C∈R）

C．x²＋y²＝C²（C∈R）

D．x²－y²＝C²（C∈R）

【答案】C

【解析】由dy/dx＝－x/y，ydy＝－xdx，故兩邊積分得：（1/2）y²＝－（1/2）x²＋C，y²＝－x²＋2C，整理得，x²＋y²＝C₁，這里常數(shù)C₁必須滿足C₁≥0。故方程的通解為x²＋y²＝C²（C∈R）。

6微分方程y′－y＝0滿足y（0）＝2的特解是（　　）。[2017年真題]

A．y＝2e^－x

B．y＝2e^x

C．y＝e^x＋1

D．y＝e^－x＋1

【答案】B

【解析】因為y′－y＝0，所以dy/dx＝y(tǒng)，得∫（1/y）dy＝∫1dx，則lny＝x＋c₁；解得：

即y＝ce^x，又y（0）＝2，解得c＝2，即y＝2e^x。

7微分方程的通解是（　　）。[2011年真題]

A．

B．

C．

D．

【答案】C

【解析】分離變量法，原式等價于：

兩邊積分得：

整理得：

8微分方程dy/dx－y/x＝tan（y/x）的通解是（　　）。[2011年真題]

A．sin（y/x）＝Cx

B．cos（y/x）＝Cx

C．sin（y/x）＝x＋C

D．Cxsin（y/x）＝1

【答案】A

【解析】令y/x＝u，則dy/dx＝xdu/dx＋u，原式等價于du/tanu＝dx/x，兩邊分別積分得：ln（sinu）＝lnx＋lnC，則微分方程dy/dx－y/x＝tan（y/x）的通解是sin（y/x）＝Cx。

9微分方程ydx＋（x－y）dy＝0的通解是（　　）。[2010年真題]

A．（x－y/2）y＝C

B．xy＝C（x－y/2）

C．xy＝C

D．y＝C/ln（x－y/2）

【答案】A

【解析】微分方程ydx＋（x－y）dy＝0可寫成ydx＋xdy＝y(tǒng)dy，右端僅含y，求積分得y²/2。左端既含x又含y，它不能逐項積分，但卻可以化成d（xy），因此，直接求積分得到xy，從而便得到微分方程的隱式解：xy＝y(tǒng)²/2＋C，即（x－y/2）y＝C。

10函數(shù)（C₁，C₂為任意數(shù)）是微分方程y″－y′－2y＝0的（　　）。[2014年真題]

A．通解

B．特解

C．不是解

D．解，既不是通解又不是特解

【答案】D

【解析】微分方程y″－y′－2y＝0的特征方程為：r²－r－2＝0，解特征方程得：r₁＝2，r₂＝－1。故其通解為：y＝C₁e^2x＋C₂e^－x，即題中函數(shù)是方程的解，但不是通解或特解。

11微分方程xy′－ylny＝0滿足y（1）＝e的特解是（　　）。[2013年真題]

A．y＝ex

B．y＝e^x

C．y＝e^2x

D．y＝lnx

【答案】B

【解析】將各選項答案代入已知條件判斷如下：A項，代入可得，ex－exln（ex）≠0，不滿足；B項，代入可得，xe^x－xe^x＝0，當(dāng)x＝1時，有y（1）＝e，滿足；CD兩項不滿足y（1）＝e。

12已知微分方程y′＋p（x）y＝q（x）（q（x）≠0）有兩個不同的解y₁（x），y₂（x），C為任意常數(shù)，則該微分方程的通解是（　　）。[2012年真題]

A．y＝C（y₁－y₂）

B．y＝C（y₁＋y₂）

C．y＝y(tǒng)₁＋C（y₁＋y₂）

D．y＝y(tǒng)₁＋C（y₁－y₂）

【答案】D

【解析】所給方程的通解等于其導(dǎo)出組的通解加上該方程對應(yīng)齊次方程的一個特解，（y₁－y₂）是導(dǎo)出組的一個解，C（y₁－y₂）是導(dǎo)出組的通解。

13微分方程y″＋y′＋y＝e^x的一個特解是（　　）。[2017年真題]

A．y＝e^x

B．y＝e^x/2

C．y＝e^x/3

D．y＝e^x/4

【答案】C

【解析】求解特征方程，可得1不是特征方程的根，根據(jù)已知微分方程的表達(dá)式，可設(shè)特解為y＝Ae^x，代入原方程解得A＝1/3，所以該微分方程的一個特解為y＝e^x/3。

14微分方程y″－3y′＋2y＝xe^x的待定特解的形式是（　　）。[2013年真題]

A．y＝（Ax²＋Bx）e^x

B．y＝（Ax＋B）e^x

C．y＝Ax²e^x

D．y＝Axe^x

【答案】A

【解析】形如y″＋py′＋qy＝P（x）e^αx的非齊次方程的特解為：y^*＝x^kQ（x）e^αx，其中k的取值視α在特征方程中的根的情況而定，Q（x）的設(shè)法視P（x）的次數(shù)而定。在此，特征方程r²－3r＋2＝0的特征根為r＝2，r＝1為單根形式，故k＝1；P（x）＝x，為一次函數(shù)，可設(shè)Q（x）＝Ax＋B。故原微分方程的待定特解的形式為：x（Ax＋B）e^x＝（Ax²＋Bx）e^x。

15以y₁＝e^x，y₂＝e^－3x為特解的二階線性常系數(shù)齊次微分方程是（　　）。[2012年真題]

A．y″－2y′－3y＝0

B．y″＋2y′－3y＝0

C．y″－3y′＋2y＝0

D．y″－2y′－3y＝0

【答案】B

【解析】因y₁＝e^x，y₂＝e^－3x是特解，故r₁＝1，r₂＝－3是特征方程的根，因而特征方程r₂＋2r－3＝0。故二階線性常系數(shù)齊次微分方程是：y″＋2y′－3y＝0。

16微分方程y″＋2y＝0的通解是（　　）。[2010年真題]

A．y＝Asin2x

B．y＝Acosx

C．

D．

【答案】D

【解析】二階常系數(shù)線性齊次方程，寫出特征方程r²＋2＝0，特征根為：

則方程的通解為：

17微分方程cosydx＋（1＋e^－x）sinydy＝0滿足初始條件y|_x＝0＝π/3的特解是（　　）。

A．cosy＝（1＋e^x）/4

B．cosy＝1＋e^x

C．cosy＝4（1＋e^x）

D．cos²y＝1＋e^x

【答案】A

【解析】原方程可整理為：－sinydy/cosy＝dx/（1＋e^－x）

兩邊取不定積分得：∫（dcosy/cosy）＝∫[1/（1＋e^－x）]dx，則lncosy＝ln（1＋e^x）＋C。因此，cosy＝C（1＋e^x），其中C為任意常數(shù)。將初始條件代入，可知C＝1/4。

18函數(shù)y＝C₁e^x＋C₂e^－2x＋xe^x滿足的一個微分方程是（　　）。

A．y″－y′－2y＝3xe^x

B．y″－y′－2y＝3e^x

C．y″＋y′－2y＝3xe^x

D．y″＋y′－2y＝3e^x

【答案】D

【解析】y＝C₁e^x＋C₂e^－2x＋xe^x是某二階線性常系數(shù)非齊次方程的通解，相應(yīng)的齊次方程的特征根λ₁＝1，λ₂＝－2，特征方程應(yīng)是（λ－1）（λ＋2）＝0，于是相應(yīng)的齊次方程是y″＋y′－2y＝0。CD兩項中，方程y″＋y′－2y＝3e^x，有形如y^*＝Axe^x的特解（此處e^ax中a＝1是單特征根）。

19具有特解y₁＝e^－x，y₂＝2xe^－x，y₃＝3e^x的3階常系數(shù)齊次線性微分方程是（　　）。

A．y－y″－y′＋y＝0

B．y＋y″－y′－y＝0

C．y－6y″＋11y′－6y＝0

D．y－2y″－y′＋2y＝0

【答案】B

【解析】由特解知，對應(yīng)特征方程的根為：λ₁＝λ₂＝－1，λ₃＝1。于是特征方程為：（λ＋1）²（λ－1）＝λ³＋λ²－λ－1＝0。故所求線性微分方程為：y＋y″－y′－y＝0。