三、計算題

1假定對新汽車的需求價格彈性E_d＝－1.2，需求收入彈性為E_y＝3.0，計算：

（1）其他條件不變，價格提高3%對需求的影響；

（2）其他條件不變，收入上升2%對需求的影響。（華中科技大學2003研；武漢大學2009研）

解：（1）由需求價格彈性可知：

ΔQ/Q＝E_d×（ΔP/P）＝－1.2×3%＝－3.6%，即在其他條件不變的情況下，如果價格提高3%，則需求將下降3.6%。

（2）由需求收入彈性可知：

ΔQ/Q＝E_y×（ΔM/M）＝3.0×2%＝6%，即在其他條件不變的情況下，如果收入上升2%，則需求將上升6%。

2芯片需求價格彈性為－2，存儲器需求價格彈性為－1。

（1）將它們的價格提高10%，其銷售量有何影響？銷售收入有何影響？

（2）能否根據題中信息決定哪種產品會給公司帶來最大收益？可以請說明理由，不可以需補充什么信息？（廈門大學2019研）

解：（1）需求價格彈性表示需求量變動對于價格變動的反應程度。

設需求函數為Q＝Q（P），由于TR＝P×Q（P），所以

當e_d＜－1時，有dTR/dP＜0，從而總收益TR與商品的價格P反方向變動。

當e_d＞－1時，有dTR/dP＞0，從而總收益TR與商品的價格P同方向變動。

當e_d＝－1時，有dTR/dP＝0，從而總收益TR與商品的價格P的變動無關。

①因為芯片價格彈性為－2＜－1，所以芯片價格提高10%使其銷售量下降了10%×2＝20%；又因為芯片價格提高的幅度小于芯片銷售量下降的幅度，所以其銷售收入下降了。

②因為存儲器價格彈性為－1，所以存儲器價格提高10%使其銷售量下降了10%×1＝10%；因為存儲器價格提高的幅度等于存儲器銷售量下降的幅度，所以其銷售收入不變。

（2）設反需求函數為P＝P（Q），則該產品能給公司帶來的總收益為TR＝P（Q）×Q，其邊際收益為：

①對芯片而言，其邊際收益為：

這意味著此時若增加芯片的產量可以使公司收益進一步提高。

②對存儲器而言，其邊際收益為：

這意味著此時若增加存儲器的產量無法進一步提高公司收益，即存儲器給公司帶來了最大收益。

3設需求曲線的方程為Q＝10－2P，求其點彈性值為多少？怎樣調整價格，可以使總收益增加？（山東大學2000研）

解：由需求函數可得需求價格點彈性，即：

e_d＝－（dQ/dP）×（P/Q）＝2P/Q

dTR/dP＝Q＋P（dQ/dP）＝Q[1＋（P/Q）×（dQ/dP）]＝Q（1－e_d）

可以看出，當1－e_d＝1－2P/（10－2P）＝0時，總收益最大。

解得：P＝2.5。

即為了保證總收益最大化，應該將價格調整為2.5。

4已知消費者對某種商品的需求函數為Q＝100－2P，寫出相應的總收益函數和邊際收益函數。在什么價格水平上，需求價格彈性系數為1？（中國人民大學2004研）

解：（1）由需求函數可得出反需求函數為：P＝（100－Q）/2。

總收益函數為：TR＝PQ＝Q（100－Q）/2。

邊際收益函數為：MR＝dTR/dQ＝50－Q。

（2）邊際收益

MR＝dTR/dQ＝P＋（dP/dQ）Q＝P[1＋（dP/dQ）（Q/P）]＝P（1－1/E_d）

當E_d＝1時，MR＝0。將MR＝0代入邊際收益函數，可得Q＝50。

將Q＝50代入反需求函數，可得P＝25。

即當價格為25時，需求價格彈性系數為1。

5A公司和B公司是家電行業的兩個競爭者，它們的產品需求曲線分別為：A公司：P_A＝1000－5Q_A；B公司：P_B＝1600－4Q_B。A、B公司目前銷售量分別為100個單位和250個單位。求：

（1）這兩家公司當前的點價格彈性？

（2）B公司實施降價策略使其銷售量增加到300個單位，但A公司銷售量降到75個單位，那么A公司產品的交叉需求彈性為多少？（北京理工大學2008研）

解：（1）當A公司銷售量為100個單位時，由需求函數可得：P_A＝1000－5×100＝500，將相應的價格-需求量組合代入需求價格點彈性計算公式，可得：

e_d＝－（dQ/dP）×（P/Q）＝－（－0.2）×（500/100）＝1

同理可得B公司當前的點價格彈性為：

e_d＝－（dQ/dP）×（P/Q）＝－（－0.25）×（600/250）＝0.6

即A公司和B公司當前的點價格彈性分別為1和0.6。

（2）B公司要使其銷售量增加到300個單位，則新的價格水平P_B′＝1600－4×300＝400，即：

ΔP_B＝P_B′－P_B＝400－600＝－200

則可得A公司產品的交叉需求彈性為：

e_AB＝（ΔQ_A/Q_A）/（ΔP_B/P_B）＝[（75－100）/100]/（－200/600）＝0.75

即A公司產品的交叉需求彈性為0.75。

6設某生產者面臨的反需求函數是P＝100－Q^1/2。

（1）計算價格P＝60時的需求彈性，此時生產者是應該提高價格還是降低價格？說明其原因。

（2）計算價格P＝20時的需求彈性，生產者此時是應該提高價格還是降低價格？亦說明其原因。（華中科技大學2005研）

解：由反需求函數可得出需求函數為：Q＝（100－P）²，則：

e_d＝－（dQ/dP）×（P/Q）＝（200－2P）×（P/Q）

（1）當價格P＝60時，根據需求函數可得出Q＝1600，則該價格水平下的需求價格點彈性為：

e_d＝（200－2×60）×（60/1600）＝3

此時，生產者應該降低價格，因為此時該商品富有彈性，降低價格會使生產者的收益增加。

（2）當價格P＝20時，根據需求函數可得出Q＝6400，則該價格水平下的需求價格點彈性為：

e_d＝（200－2×20）×（20/6400）＝1/2

此時，生產者應該提高價格，因為此時該商品缺乏彈性，提高價格會使生產者的收益增加。

7假設對于某商品，市場上共有100個消費者，該商品的50%為75個彼此相同的消費者所購買，他們每個人的需求價格彈性為2；另外50%的商品為其余25個彼此相同的消費者所購買，他們每個人的需求價格彈性為3，試求這100個消費者合起來的需求價格彈性。（東北財經大學2009研）

解：個人需求價格彈性與市場需求價格彈性之間的關系可視為消費者在市場需求量的份額乘其需求價格彈性之和。數學證明如下（假設市場上有兩個消費者，市場上有n個消費者可類似推導）：

Q＝q_A^d＋q_B^d

本題中，將相關數據代入可得按100個消費者合計的需求價格彈性系數為：

e_d＝（1/2）×2＋（1/2）×3＝2.5

8香蕉的反需求函數是P_d＝18－3Q_d，反供給函數是P_s＝6＋Q_s。

（1）假設沒有稅收和補貼，均衡價格和均衡量各是多少？

（2）假設對香蕉的生產者支付每單位（公斤）2元的補貼，新的均衡價格和均衡量各是多少？

（3）計算對香蕉提供生產補貼后消費者剩余和生產者剩余的變化額。

（4）如果蘋果和香蕉之間的交叉價格彈性為0.5，那么在蘋果價格保持不變的情況下，對香蕉生產者的補貼會對蘋果的需求量產生怎樣的影響？（南開大學2008研）

解：（1）假如沒有稅收和補貼，根據均衡條件Q_d＝Q_s，有：（18－P）/3＝P－6。

解得：P＝9，Q＝3。

即假設沒有稅收和補貼，均衡價格為9，均衡量為3。

（2）假設對香蕉的生產者支付每單位（公斤）2元的補貼，則反需求函數不變，反供給函數由原來的P_s＝6＋Q_s，改變為P_s＝4＋Q_s。于是，根據均衡條件有：（18－P）/3＝P－4。

解得：P＝7.5，Q＝3.5。

即假設對香蕉的生產者支付每單位（公斤）2元的補貼，新的均衡價格為7.5，均衡量為3.5。

（3）消費者剩余變化額為：ΔCS＝1/2×（3.5＋3）×（9－7.5）＝4.875。

生產者剩余變化額為：ΔPS＝1/2×（7.5－4）×3.5－1/2×（9－6）×3＝1.625。

對香蕉提供生產補貼后，消費者剩余增加4.875，生產者剩余增加1.625。

（4）由于蘋果和香蕉之間的交叉價格彈性為正值，說明蘋果和香蕉互為替代品。

交叉價格彈性為：e_xy＝（Δy_x/Q_x）/（ΔP_y/P_y）＝1/2。

ΔP_y/P_y＝－1/6，則ΔQ_x/Q_x＝－1/12。由于蘋果價格保持不變，對香蕉生產者進行補貼，會導致香蕉價格下降，從而使蘋果的需求量下降為原需求量的11/12。

9假設某商品的反需求曲線為P＝11－0.15Q；其反供給曲線為P＝1＋0.05Q；試求：

（1）市場達到均衡時，消費者剩余是多少？

（2）如果政府對這種商品每單位征收1.00元銷售稅，政府的稅收收入是多少？

（3）在這1.00元的稅收中，消費者和生產者各負擔多少？（南開大學2005研）

解：（1）聯立求解反需求函數和反供給函數：

P＝11－0.15Q

P＝1＋0.05Q

可得：均衡價格P^*＝3.5，均衡產量Q^*＝50。

根據消費者剩余定義，可得消費者剩余：

即市場達到均衡時，消費者剩余是187.5。

（2）政府對這種商品每單位征收1.00元銷售稅后，此時有P_d＝P_s＋1，即消費者支付的價格等于廠商拿到的價格加上稅收。此時有：

P_d＝11－0.15Q

P_s＝1＋0.05Q

P_d＝P_s＋1

解得：P_d＝4.25，即均衡價格P^*＝4.25，均衡產量Q^*＝45。

政府的稅收收入為：T＝tQ＝45。

即如果政府對這種商品每單位征收1.00元銷售稅，政府的稅收收入是45。

（3）根據稅收前后的均衡價格，在1.00元的稅收中，消費者負擔4.25－3.5＝0.75，生產者負擔1－0.75＝0.25。

10某國國內對于某產品的需求和供給具有如下形式，需求函數：Q＝16000/P²；供給函數：Q＝P²/10。

（1）求完全競爭情況下的社會福利。

（2）如果政府對該產品實行P＝25元的最低限價，社會福利的損失是多少？

（3）假設國際市場上該產品的價格是10元，其生產成本遠遠低于國內。該國政府為了保護國內的生產者，對于進口的每單位產品征收稅收5元。與不征收關稅相比，社會福利的損失為多少？（清華大學2004研）

解：（1）市場均衡條件Q_s＝Q_d，即16000/P²＝P²/10，求解可得：P＝20。

將P＝20代入需求函數或供給函數，可得：Q＝40。

社會福利為：

（2）當P＝25時，Q_d′＝16000/25²＝25.6。

社會福利損失包括消費者和生產者剩余的損失，社會福利損失為：

（3）由于國際價格遠低于國內價格，因此如果政府征收關稅，國內價格降低為15元；如果不征收關稅，國內價格為10元。當價格為15元時，需求量和供給量分別為71.1和22.5。因此，社會福利的損失為：

11已知某商品的需求價格彈性系數為0.5，當價格為每公斤3.2元時，銷售量為1000公斤。若價格下降10%，銷售量是多少？該商品降價后總收益是增加了還是減少了？增加或減少了多少？（安徽大學2005研）

解：（1）商品的需求價格彈性表示當一種商品價格變化百分之一時所引起的該商品的需求量變化的百分比。商品的需求價格彈性系數為0.5，當價格下降10%時，需求量增加5%。因此，銷售量為1050公斤。

（2）由于該商品的需求價格彈性系數為e_d＝0.5＜1，該商品是缺乏彈性的，根據價格彈性和總收益的關系可知，缺乏彈性的商品其價格與總收益呈同方向變動，商品降價會使得總收益減少。

（3）該商品降價前的總收益為TR＝PQ＝3.2×1000＝3200（元）。

降價后總收益為TR′＝3.2×（1－10%）×1050＝3024（元）。

因此，商品降價導致總收益減少3200－3024＝176（元）。