2.4　關(guān)系代數(shù)

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2.4.1　概述

2.4.2　傳統(tǒng)的集合運(yùn)算

1并（Union）

·R和S

具有相同的目n（即兩個(gè)關(guān)系都有n個(gè)屬性），相應(yīng)的屬性取自同一個(gè)域。

·R∪S

仍為n目關(guān)系，由屬于R或?qū)儆赟的元組組成，R∪S＝{t|t∈R∨t∈S}。

2差（Difference）

·R和S

具有相同的目n，相應(yīng)的屬性取自同一個(gè)域。

·R－S

仍為n目關(guān)系，由屬于R而不屬于S的所有元組組成，R－S＝{t|t∈R∧t?S}。

3交（Intersection）

·R和S

具有相同的目n，相應(yīng)的屬性取自同一個(gè)。

·R∩S

仍為n目關(guān)系，由既屬于R又屬于S的元組，R∩S＝{t|t∈R∧t∈S}，R∩S＝R－C（R－S）。

4笛卡爾積（Cartesian Product）

·嚴(yán)格地講應(yīng)該是廣義的笛卡爾積（Extended Cartesian Product）

·R：n目關(guān)系，k₁個(gè)元組

·S：m目關(guān)系，k₂個(gè)元組

·R×S

列：（n＋m）列元組的集合

元組的前n列是關(guān)系R的一個(gè)元組

后m列是關(guān)系S的一個(gè)元組

行：k₁×k₂個(gè)元組

2.4.3　專門的關(guān)系運(yùn)算

先引入幾個(gè)記號(hào)

（1）R，t∈R，t[A_i]

設(shè)關(guān)系模式為R（A₁，A₂，…，A_n）

它的一個(gè)關(guān)系設(shè)為R；

t∈R表示t是R的一個(gè)元組；

t[A_i]則表示元組t中相應(yīng)于屬性A_i的一個(gè)分量。

（2）A，t[A]，A(＿)

若A＝{A_i1，A_i2，…，A_ik}，其中A_i1，A_i2，…，A_ik是A₁，A₂，…，A_n中的一部分，則A稱為屬性列或?qū)傩越M。

t[A]＝（t[A_i1]，t[A_i2]，…，t[A_ik]）表示元組t在屬性列A上諸分量的集合。

A(＿)則表示{A₁，A₂，…，A_n}中去掉{A_i1，A_i2，…，A_ik}后剩余的屬性組。

（3）

R為n目關(guān)系，S為m目關(guān)系。

t_r∈R，t_s∈S，稱為元組的連接。

是一個(gè)n＋m列的元組，前n個(gè)分量為R中的一個(gè)n元組，后m個(gè)分量為S中的一個(gè)m元組。

（4）象集Z_x

給定一個(gè)關(guān)系R（X，Z），X和Z為屬性組。

當(dāng)t[X]＝x時(shí)，x在R中的象集（Images Set）為：Z_x＝{t[Z]|t∈R，t[X]＝x}

它表示R中屬性組X上值為x的諸元組在Z上分量的集合。

x₁在R中的象集

x₂在R中的象集

x₃在R中的象集

象集舉例：

（5）學(xué)生-課程數(shù)據(jù)庫(kù)

學(xué)生關(guān)系Student、課程關(guān)系Course和選修關(guān)系SC：

Student

Course

SC

1選擇（Selection）

（1）選擇又稱為限制（Restriction）

（2）選擇運(yùn)算符的含義

在關(guān)系R中選擇滿足給定條件的諸元組

σ_F（R）＝{t|t∈R∧F（t）＝‘真’}

F：選擇條件，是一個(gè)邏輯表達(dá)式，基本形式為：X₁θY₁

（3）選擇運(yùn)算是從關(guān)系R中選取使邏輯表達(dá)式F為真的元組，是從行的角度進(jìn)行的運(yùn)算。

【例1】查詢信息系（IS系）全體學(xué)生

σ_Sdept＝_‘IS’（Student）或σ₅＝_‘IS’（Student）

結(jié)果：

【例2】查詢年齡小于20歲的學(xué)生

σ_Sage＜20（Student）或σ₄＜20（Student）

結(jié)果：

2投影（Projection）

（1）投影運(yùn)算符的含義

從R中選擇出若干屬性列組成新的關(guān)系

π_A（R）＝{t[A]|t∈R}

A：R中的屬性列

（2）投影操作主要是從列的角度進(jìn)行運(yùn)算

但投影之后不僅取消了原關(guān)系中的某些列，而且還可能取消某些元組（避免重復(fù)行）。

【例3】查詢學(xué)生的姓名和所在系

即求Student關(guān)系上學(xué)生姓名和所在系兩個(gè)屬性上的投影

π_{Sname，Sdept}（Student）或π_2，5（Student）

結(jié)果：

【例4】查詢學(xué)生關(guān)系Student中都有哪些系

π_Sdept（Student）

結(jié)果：

3連接（Join）

（1）連接也稱為θ連接

（2）連接運(yùn)算的含義

從兩個(gè)關(guān)系的笛卡爾積中選取屬性間滿足一定條件的元組

A和B：分別為R和S上度數(shù)相等且可比的屬性組

θ：比較運(yùn)算符

·連接運(yùn)算從R和S的廣義笛卡爾積R×S中選取（R關(guān)系）在A屬性組上的值與（S關(guān)系）在B屬性組上值滿足比較關(guān)系θ的元組。

（3）兩類常用連接運(yùn)算

①等值連接（equijoin）

θ為“＝”的連接運(yùn)算稱為等值連接。

等值連接的含義：

從關(guān)系R與S的廣義笛卡爾積中選取A、B屬性值相等的那些元組，即等值連接為：

②自然連接（Natural join）

自然連接是一種特殊的等值連接，兩個(gè)關(guān)系中進(jìn)行比較的分量必須是相同的屬性組，在結(jié)果中把重復(fù)的屬性列去掉。

自然連接的含義：R和S具有相同的屬性組B

（4）一般的連接操作是從行的角度進(jìn)行運(yùn)算

自然連接還需要取消重復(fù)列，所以是同時(shí)從行和列的角度進(jìn)行運(yùn)算。

【例5】關(guān)系R和關(guān)系S如下所示：

一般連接的結(jié)果如下：

等值連接的結(jié)果如下：

自然連接R?S的結(jié)果如下：

·外連接

如果把舍棄的元組也保存在結(jié)果關(guān)系中，而在其他屬性上填空值（Null），這種連接就叫做外連接（OUTER JOIN）。

·左外連接

如果只把左邊關(guān)系R中要舍棄的元組保留就叫做左外連接（LEFT OUTER JOIN或LEFT JOIN）

·右外連接

如果只把右邊關(guān)系S中要舍棄的元組保留就叫做右外連接（RIGHT OUTER JOIN或RIGHT JOIN）。

下表是【例5】中關(guān)系R和關(guān)系S的外連接

下表是【例5】中關(guān)系R和關(guān)系S的左外連接和右外連接

4除（Division）

給定關(guān)系R（X，Y）和S（Y，Z），其中X，Y，Z為屬性組。

R中的Y與S中的Y可以有不同的屬性名，但必須出自相同的域集。

R與S的除運(yùn)算得到一個(gè)新的關(guān)系P（X），P是R中滿足下列條件的元組在X屬性列上的投影：

元組在X上分量值x的象集Y_x包含S在Y上投影的集合，記作：

R÷S＝{t_r[X]|t_r∈R∧π_Y（S）?Y_x}

Y_x：x在R中的象集，x＝t_r[X]

除操作是同時(shí)從行和列角度進(jìn)行運(yùn)算：

【例6】設(shè)關(guān)系R、S分別為下圖的（a）和（b），R÷S的結(jié)果為圖（c）

圖（a）

圖（b）

圖（c）

分析

·在關(guān)系R中，A可以取四個(gè)值{a₁，a₂，a₃，a₄}

a₁的象集為{（b₁，c₂），（b₂，c₃），（b₂，c₁）}

a₂的象集為{（b₃，c₇），（b₂，c₃）}

a₃的象集為{（b₄，c₆）}

a₄的象集為{（b₆，c₆）}

·S在（B，C）上的投影為{（b₁，c₂），（b₂，c₁），（b₂，c₃）}

·只有a₁的象集包含了S在（B，C）屬性組上的投影，所以R÷S＝{a₁}。