- 中山大學數學學院432統計學[專業碩士]歷年考研真題及詳解
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- 5461字
- 2021-05-28 12:59:12
2012年中山大學432統計學[專業碩士]考研真題及詳解
一、單項選擇題(20小題,每小題3分,共60分,在每小題給出的4個選擇項中,只有一個符合題目要求,請將所選正確答案對英的字母寫在答題紙上并標明題號)
1設兩事件A與B獨立,其概率分別為0.5與0.6,則P(A+B)=( )。
A.0.6
B.0.7
C.0.8
D.0.9
【答案】C
【解析】兩事件A與B獨立,故P(AB)=P(A)P(B)=0.5×0.6=0.3,P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)=0.5+0.6-0.3=0.8。
2設事件C發生時事件D發生的條件概率P(D|C)=0.4,若P(C)=0.5,P(D)=0.4,則P(C|D)=( )。
A.0.4
B.0.5
C.0.6
D.0.7
【答案】B
【解析】P(C|D)=P(CD)/P(D)=P(C)P(D|C)/P(D)=0.5×0.4/0.4=0.5。
3設A,B,C都是事件,通過事件運算得到A,B,C,,
,
中某些事件的交及并的表達式,
+
+
表示( )。
A.事件A,B,C中至少有一個發生
B.事件A,B,C中至少有兩個發生
C.事件A,B,C中至少有一個不發生
D.事件A,B,C中至少有兩個不發生
【答案】C
【解析】事件A,B,C中至少有一個發生的表達式為:A+B+C;事件A,B,C中至少有兩個發生的表達式為:AB+BC+AC;事件A,B,C中至少有兩個不發生的表達式為:C+
B
+A
+
;事件A,B,C中至少有一個不發生的表達式為:
+
+
。也可以簡單理解:
+
+
=
即“三個都發生的對立”是“至少有一個不發生”。
4同時投擲2個骰子,以A表示事件“擲出的2個面的點數之和是6”,以B表示事件“擲出的2個面的點數之和是7”,則( )。
A.事件A,B獨立
B.事件A,B概率相等
C.P(A)>P(B)
D.P(A)<P(B)
【答案】D
【解析】若事件A發生,則2個骰子的可能情況為(1,5)、(5,1),(4,2)、(2,4)、(3,3),因此事件A發生的概率為5/36;若事件B發生,則兩個骰子的可能情況為(1,6)、(6,1)、(2,5)、(5,2)、(3,4)、(4,3),因此事件B發生的概率為6/36。AB同時發生的概率為0。
5設隨機變量X與Y的相關系數為0.5,期望分別為2與3,標準差分別為1與2;則隨機變量XY的期望為( )。
A.6
B.7
C.8
D.9
【答案】B
【解析】

代入數據得

解得E(XY)=7。
6設隨機變量X與Y的相關系數為0.5,若兩者的方差分別為16與9,則隨機變量X+Y與X-Y的協方差為( )。
A.6
B.7
C.8
D.9
【答案】B
【解析】Cov(X+Y,X-Y)=Cov(X,X)-Cov(X,Y)+Cov(Y,X)-Cov(Y,Y)=Cov(X,X)-Cov(Y,Y)=Var(X)-Var(Y)=16-9=7。
7兩個口袋中各有外觀一致的球3個,分別標記號碼-1,0,1;從這兩個口袋中隨機地各摸出一個球,摸出的兩個球的號碼分別記作X與Y,則隨機變量X與隨機變量函數XY的( )。
A.分布不同
B.期望不同
C.方差相同
D.中位數不同
【答案】A
【解析】隨機變量X的分布為:



隨機變量XY的分布為:



由此可知,兩個隨機變量的分布、方差不相同,但期望和中位數相同。
8設X1,X2,…,Xn,是隨機樣本,則哪個統計量能較好地反映樣本值的分散程度( )。
A.樣本平均
B.樣本中位數
C.樣本方差
D.樣本的四分之一分位數
【答案】C
【解析】集中趨勢是指一組數據向某一中心值靠攏的程度,反映了一組數據中心點的位置所在。反映數據集中趨勢的統計量有平均數、中位數、眾數和四分位數;離散程度反映的是各變量值遠離其中心值的程度,反映數據離散程度的統計量有異眾比率、方差、標準差和四分位差等。
9假設檢驗中,若零假設為簡單假設,則顯著性水平是指( )。
A.犯第一類錯誤的概率
B.犯第二類錯誤的概率
C.置信水平
D.P-值
【答案】A
【解析】假設檢驗遵循的原則是:在嚴格控制犯第一類錯誤概率的條件下,盡量控制犯第二類錯誤的概率。為了突出這個原則,把犯第一類錯誤的概率又稱作為顯著性水平。
10給定樣本之后,降低置信水平會使得置信區間的寬度( )。
A.增加
B.減少
C.不變
D.可能增加也可能減少
【答案】B
【解析】在樣本量相同的情況下,置信水平越高,置信區間越寬。從直覺上說,區間比較寬時,才會使這一區間有更大的可能性包含參數的真值。
11以回歸方程Y=a+bX作相關分析與回歸分析,關于樣本相關系數r與回歸系數b,下列各論斷中哪一個更合理?( )
A.r>0時b<0
B.r>0時b>0
C.r=1時b=0
D.r=1時b=1
【答案】B
【解析】r>0說明y與x呈正線性相關關系,b表示的是直線的斜率,所以b>0。當|r|=1時,y的取值完全依賴于x,兩者之間即為函數關系,此時b的取值不確定。
12在回歸變量Y關于預測變量X的簡單線性回歸中,以x為橫坐標y為縱坐標繪制散點圖;那么,最小二乘法確定回歸直線滿足以下哪一條?( )
A.各點到該直線的距離之和最小
B.各點到該直線的距離的平方和最小
C.各點到該直線的縱向距離之和最小
D.各點到該直線的縱向距離的平方和最小
【答案】D
【解析】最小二乘法也稱為最小平方法,它是用最小化垂直方向的離差平方和來估計參數的方法,故選D項。
13以下哪一種情形涉及定性數據的收集?( )
A.質量控制工程師測量電燈燈泡的壽命
B.社會學家通過抽樣調查來估計廣州市市民的平均年收入
C.運動器材廠家在區分各大俱樂部棒球選手是左撇子還是右撇子時作的調查
D.婚禮策劃公司通過抽樣調查來估計上海市市民舉辦婚禮的平均開銷
【答案】C
【解析】定性數據包括分類數據和順序數據,是一組表示事物性質、規定事物類別的文字表述型數據,不能將其量化,只能將其定性,因而也可稱為品質數據;數值型數據是直接使用自然數或度量衡單位進行計量的具體的數值。因此也可稱為定量數據或數量數據。
14關于方差分析,以下說法哪一項更合理?( )
A.方差分析的目的是分析各組總體方差是否有顯著差異
B.方差分析的目的是分析各組總體標準差是否有顯著差異
C.方差分析的目的是分析各組總體均值是否有顯著差異
D.方差分析的目的是分析各組總體中位數是否有顯著差異
【答案】C
【解析】表面上看,方差分析是檢驗多個總體均值是否相等的統計方法,但本質上它所研究的是變量之間的關系。方差分析就是通過檢驗各總體的均值是否相等來判斷分類型自變量對數值型因變量是否有顯著影響。
15考慮總體均值的95.44%置信區間,已知總體服從正態分布且標準差為10;要使得到的置信區間的半徑不超過1,需要的最小樣本容量為( )。
A.100
B.400
C.900
D.1600
【答案】B
【解析】

解得n≥400。
16以下哪一項不是估計量的優良性標準?( )
A.無偏性
B.充分性
C.有效性
D.相合性
【答案】B
【解析】無偏性是指估計量抽樣分布的數學期望等于被估計的總體參數;有效性是指對同一總體參數的兩個無偏估計量,有更小標準差的估計量更有效;一致性,又稱為相合性,是指隨著樣本量的增大,點估計量的值越來越接近被估總體的參數。
17關于隨機變量序列依分布收斂、依概率收斂與以概率1收斂,以下論斷中哪一項成立?( )
A.“依分布收斂”蘊含“依概率收斂”
B.“依分布收斂”蘊含“以概率1收斂”
C.“依概率收斂”蘊含“依分布收斂”
D.“以概率1收斂”蘊含“依概率收斂”
【答案】A
【解析】“以概率1收斂”可以理解為隨機變量序列在任意樣本點幾乎處處收斂,“幾乎處處收斂”能夠推出“依概率收斂”,反正則不成立。如果一個隨機變量序列依概率收斂到某一個隨機變量,則它也一定依分布收斂到這個隨機變量,反過來則不然;只有當一個隨機變量序列依分布收斂到一個常數的時候,才能夠推出它們也依概率收斂到這個常數。
18以下關于估計量的論斷中,哪一項成立?( )
A.極大似然估計量一定是無偏估計量
B.極大似然估計量一定是相合估計量
C.有效估計量一定是最小方差無偏估計量
D.相合估計量一定是最小方差無偏估計量
【答案】B
【解析】極大似然估計量是相合估計量,這是極大似然估計的優越性之一。最小方差無偏估計一定是有效估計量,但有效估計量不一定是最小方差無偏估計量。
19單因素方差分析中,以下哪種情形宜考慮非參數Kruskal-Wallis檢驗?( )
A.各組總體方差不等
B.各組樣本容量不等
C.各組總體服從正態分布
D.各組總體不服從正態分布
【答案】D
【解析】Kruskal-Wallis檢驗是以確定k組樣本是否來自同一總體為檢驗目的的檢驗,其基本思想是:首先,將多組樣本數據混合并按升序排序,求出各變量值的秩;然后,考察各組秩的均值是否存在顯著差異。容易理解:如果各組秩的均值不存在顯著差異,則是多組數據充分混合、數值相差不大的結果,可以認為多個總體的分布無顯著差異;反之,如果各組秩的均值存在顯著差異,則是多組數據無法混合、某些組的數值普遍偏大、另一些組的數值普遍偏小的結果,可以認為多個總體的分布有顯著差異。
20對于100名學生某一門課程的成績,若想得到四分之一分位數、中位數與四分之三分位數,以下哪種描述統計的辦法更有效?( )
A.直方圖
B.莖葉圖
C.餅圖
D.點圖
【答案】B
【解析】直方圖、餅圖描述的數值型數據是分組數據,而莖葉圖描述的是未分組的數值型數據,點圖描述的是兩個變量之間的關系。莖葉圖描述了極小值、四分之一分位數、中位數與四分之三分位數、極大值。
二、計算和證明題(本題包括1~5題共5個小題,前兩題每題各15分,后三題每題各20分,共90分)
1一項研究是調查市場專業人員的公司倫理價值觀念。數據列表見下(高分值表明倫理價值觀念程度高)。在顯著性水平α=0.01下,對上述數據進行單因素方差分析,請把下面未完成的ANOVA表補充完整,并完成方差分析,說出檢驗的結論。


解:

從方差分析表可以看到,由于F=7>F0.01(2,15)=6.3589,所以拒絕原假設H0,表明不同專業組之間的差異是顯著的,即專業對市場專業人員的公司倫理價值觀念有影響。
2已知某種病菌在全人口的帶菌率為10%。在檢測時,帶菌者呈陽性和陰性反應的概率分別為95%和5%,而不帶菌者呈陽性和陰性反應的概率分別為20%和80%。
1)隨機地抽出一個人進行檢測,求結果為陽性的概率;
2)已知某人檢測的結果為陽性,求這個人是帶菌者的條件概率。
解:設事件A1、A2分別代表“一個人帶菌”,“一個人不帶菌”,事件B1、B2分別代表“檢測結果為陽性”,“檢測結果為陰性”。
(1)根據全概率公式得P(B1)=P(A1B1)+P(A2B1)=P(A1)P(B1|A1)+P(A2)P(B1|A2)=10%×95%+90%×20%=27.5%,即隨機地抽出一個人進行檢測,結果為陽性的概率為27.5%。
(2)根據條件概率公式
P(A1|B1)=P(A1B1)/P(B1)=P(A1)P(B1|A1)/P(B1)=10%×95%/27.5%=34.5%,即已知某人檢測結果為陽性,這個人是帶菌者的條件概率是34.5%。
3煉鋁廠測得所產鑄模用的硬度X與抗張強度Y數據如下:

1)求Y關于X的回歸方程;
2)檢驗所得回歸直線的顯著性(α=0.05);
3)預報當鋁的硬度X0=65時的抗張強度Y。
解:根據表格中的數據計算可知,



=67.5
=315

(1)設估計的回歸方程為=
0+
1x,則根據最小二乘法解得的位置參數的計算公式可得:

0=
-
1
=188.978
所以Y關于X的回歸方程為:=188.978+1.867x。
(2)

MSR=SSR/1=3822/1=3822

MSE=SSE/(n-2)=4048/(10-2)=506


線性關系的顯著性檢驗:
假設:H0:β1=0;H1:β1≠0
計算統計量F=MSR/MSE=3822/506≈7.553
查表得,Fα=0.05(1,8)=5.318
由于F>Fα,所以拒絕H0,表明抗張強度Y和硬度X之間的線性關系是顯著的。
回歸系數的顯著性檢驗:
假設:H0:β1=0;H1:β1≠0
計算統計量

查表得tα/2(8)=2.306。由于t>tα/2,拒絕原假設H0,表明硬度X是影響抗張強度Y的一個顯著性因素。
(3)根據估計出的回歸方程,當鋁的硬度x0=65時,預測的抗張強度為:0=188.978+1.867×65=310.333。
4某卷煙廠向化驗室送去A和B兩種煙草,化驗尼古丁的含量是否相同,從A和B中各隨機抽取重量相同的五例進行化驗,測得尼古丁的含量(mg)為

據經驗知,尼古丁含量服從正態分布。
1)若已知A,B兩種煙草尼古丁含量的方差分別為5和8,問兩種煙草的尼古丁含量是否有差別(α=0.05)?
2)若未知兩種煙草尼古丁含量的方差,問兩種煙草的尼古丁含量是否有差別(α=0.05)?
解:A種煙草的均值:

A種煙草的樣本方差:

B種煙草的均值:

B種煙草的樣本方差:

(1)假設:H0:μ1=μ2 v.s. H1:μ1≠μ2。
計算統計量:

當α=0.05時,zα/2=1.96。因為|z|>zα/2所以拒絕原假設H0,即認為有證據表明兩種煙草的尼古丁含量有差別。
(2)H0:μ1=μ2 v.s. H1:μ1≠μ2。
計算統計量:


當α=0.05時,tα(f)=1.895,因為|t|>|tα|所以拒絕原假設H0,即認為有證據表明兩種煙草的尼古丁含量有差別。
5設總體ξ的密度函數為:

ξ1,…,ξn為其子樣。
1)求參數θ的極大似然估計量。
2)證明子樣平均及
都是θ的無偏估計量,問哪個較有效?
解:(1)求解未知參數θ的極大似然估計量,可按如下步驟進行:
①寫出似然函數。

②由總體ξ的密度函數的表達式可知,當θ-1/2≤ξi≤θ+1/2時,L(θ)取到最大值1,解得:

取該區間的中點可得參數θ的一個極大似然估計量為:

(2)


設ξ1,…,ξn的次序統計量為ξ(1),ξ(2),…ξ(n),又設ε(k)=ξ(k)+1/2-θ,那么ε(k)~U(0,1),ε(1)和ε(n)的聯合密度函數為:
f(x,y)=n(n-1)(y-x)n-2I{0<x<y<1}
令Z=ε(n)+ε(1),那么Z的分布函數為:

所以Z的密度函數為:

進而得


所以,子樣平均及
都是θ的無偏估計量。

Var(ξ)=E(ξ2)-[E(ξ)]2=θ2+1/12-θ2=1/12
Var()=(1/n)Var(ξ)=1/(12n)
又

所以Var(Z)=E(Z2)-[E(Z)]2=2/(n+1)-2/(n+2)

當n>2,有2(n+1)(n+2)-12n=2(n-1)(n-2)>0,所以

說明更有效。
當n=1或者n=2時,二者相等,即兩個估計量的效果相當。



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