第2章　數(shù)據(jù)表示與運(yùn)算

2.1　考點(diǎn)歸納

【考綱指定考點(diǎn)】

【題型以及考點(diǎn)分析】

本章主要介紹了計(jì)算機(jī)中數(shù)據(jù)的表示方式，以及運(yùn)算方法。本章每年出1～3道選擇題或者一個(gè)選擇題一個(gè)大題。常考考點(diǎn)主要有定點(diǎn)數(shù)加減乘除運(yùn)算，浮點(diǎn)數(shù)加減運(yùn)算，以及IEEE754浮點(diǎn)數(shù)表示方法，溢出判斷，大小比較等，本章考點(diǎn)容易與C語言的相關(guān)知識(shí)點(diǎn)結(jié)合起來出題。

一、數(shù)制以及編碼

1進(jìn)位計(jì)數(shù)制及相互轉(zhuǎn)換

（1）進(jìn)位計(jì)數(shù)制

在進(jìn)位計(jì)數(shù)制中，每個(gè)數(shù)位所用到的不同數(shù)碼的個(gè)數(shù)稱為基數(shù)，每個(gè)數(shù)碼所表示的數(shù)值等于該數(shù)碼本身乘以一個(gè)與它所在數(shù)位有關(guān)的常數(shù)，這個(gè)常數(shù)稱為位權(quán)。常用進(jìn)位計(jì)數(shù)制有二進(jìn)制，八進(jìn)制，十進(jìn)制，十六進(jìn)制。

①二進(jìn)制：基數(shù)為2的計(jì)數(shù)制，只有0和1兩種數(shù)字符號(hào)，計(jì)數(shù)逢二進(jìn)一，它的任意數(shù)位的權(quán)為2ⁱ，i為所在位數(shù)，常用于計(jì)算機(jī)中。

②八進(jìn)制：基數(shù)為8，有0～7共8個(gè)不同的數(shù)字符號(hào)，計(jì)數(shù)逢八進(jìn)一，因?yàn)?＝2³，所以只要把二進(jìn)制中的3位數(shù)碼編為一組就是一位八進(jìn)制數(shù)碼，兩者之間的轉(zhuǎn)換極為方便。

③十六進(jìn)制：基數(shù)為16，每個(gè)數(shù)位可取0～9、A、B、C、D、E、F中的任意一個(gè)，其中A、B、C、D、E、F分別表示10～15。計(jì)數(shù)逢十六進(jìn)一，4位二進(jìn)制數(shù)碼與1位十六進(jìn)制數(shù)碼相對(duì)應(yīng)。

（2）各進(jìn)制數(shù)間相互轉(zhuǎn)換

①二進(jìn)制轉(zhuǎn)八進(jìn)制或十六進(jìn)制

對(duì)于一個(gè)二進(jìn)制數(shù)，如果其既包含整數(shù)部分，又包含小數(shù)部分，轉(zhuǎn)換時(shí)以小數(shù)點(diǎn)為界。其整數(shù)部分，從小數(shù)點(diǎn)開始往左數(shù)，轉(zhuǎn)換為八進(jìn)制時(shí)，三位一組，轉(zhuǎn)換為十六進(jìn)制時(shí)，四位一組，在數(shù)的最左邊可根據(jù)需要加“0”補(bǔ)齊；對(duì)于小數(shù)部分，從小數(shù)點(diǎn)開始往右數(shù)，也同樣將二進(jìn)制數(shù)分為3位一組（八進(jìn)制）或4位一組（十六進(jìn)制），在數(shù)的最右邊也可根據(jù)需要加“0”補(bǔ)齊，然后分別用對(duì)應(yīng)的八進(jìn)制或十六進(jìn)制數(shù)取代。

②任意進(jìn)制轉(zhuǎn)為十進(jìn)制

將任意進(jìn)制的數(shù)各位數(shù)碼與它們的權(quán)值相乘，再把乘積相加，就得到了一個(gè)十進(jìn)制數(shù)。

③十進(jìn)制轉(zhuǎn)為任意進(jìn)制

整數(shù)部分的轉(zhuǎn)換：整數(shù)部分除基取余，最先取得的余數(shù)作為最低位，最后取得的余數(shù)為最高位，商為0時(shí)結(jié)束。

小數(shù)部分的轉(zhuǎn)換：小數(shù)部分乘基取整，最先取得的整數(shù)為最高位，最后取得的整數(shù)為最低位，乘積為0（或滿足精度要求）時(shí)結(jié)束。

轉(zhuǎn)換后，將整數(shù)部分與小數(shù)部分合并即可得到轉(zhuǎn)換后的數(shù)。

2數(shù)據(jù)編碼

（1）數(shù)據(jù)真值與機(jī)器數(shù)

①真值：帶有正、負(fù)號(hào)的數(shù)。

②機(jī)器數(shù)：在計(jì)算機(jī)中將符號(hào)與數(shù)值一起編碼，這種符號(hào)數(shù)字化的數(shù)就成為機(jī)器數(shù)。真值是機(jī)器數(shù)所表示的實(shí)際值。

（2）BCD碼

BCD碼是指二進(jìn)制編碼的十進(jìn)制數(shù)（Binary Coded Decimal，BCD）采用4位二進(jìn)制數(shù)來表示一位十進(jìn)制數(shù)中的0～9這10個(gè)數(shù)碼，BCD有以下三種表示形式：

①8421碼：它是一種有權(quán)碼，設(shè)其各位的數(shù)值為b₃、b₂、b₁、b₀，則權(quán)值從高到低依次為8、4、2、1，則它表示的十進(jìn)制數(shù)為D＝8b₃＋4b₂＋2b₁＋1b₀。

②余3碼：它是一種無權(quán)碼，是在8421碼的基礎(chǔ)上加上（0011）₂形成的，因每個(gè)數(shù)都多余“3”，故稱為余3碼。

③2421碼：它也是一種有權(quán)碼，權(quán)值由高到低分別為2、4、2、1，特點(diǎn)是大于等于5的4位二進(jìn)制數(shù)中最高位為1，小于5的最高位為0。

（3）字符與字符串的表示

①字符的ASCII碼

ASCII碼是美國信息交換標(biāo)準(zhǔn)碼，后來被國際上普遍采用，標(biāo)準(zhǔn)ASCII用7位二進(jìn)制編碼，可表示10個(gè)十進(jìn)制數(shù)碼、52個(gè)英文大寫和小寫字母（A～Z，a～z）以及一定數(shù)量的專用符號(hào)，共128個(gè)字符。其中必須要知道，0～9的ASCII碼值為48（0110000）～57（0111001），其低4位，則正好是二進(jìn)制形式的0～9。還有擴(kuò)展的ASCII用8位二進(jìn)制編碼，可表示256個(gè)字符，前128與標(biāo)準(zhǔn)ASCII相同。

②漢字的表示與編碼

由于漢字字?jǐn)?shù)很多，使用ASCII無法滿足需要。因此漢字采用其他編碼方式，目前我國已經(jīng)發(fā)布了GB 2312—80，以及GB 18030等國家標(biāo)準(zhǔn)。

漢字的編碼包括漢字的輸入編碼、漢字內(nèi)碼、漢字字形碼三種，它們是計(jì)算機(jī)中用于輸入、內(nèi)部處理和輸出三種用途的編碼。

a．漢字的輸入編碼

漢字的輸入編碼一般有三種常用輸入碼：

國標(biāo)區(qū)位碼：用數(shù)字串代表漢字，區(qū)位碼是國家標(biāo)準(zhǔn)局于1981年頒布的標(biāo)準(zhǔn)，用兩個(gè)字節(jié)表示一個(gè)漢字，每個(gè)字節(jié)用七位碼，它將漢字和圖形符號(hào)排列在一個(gè)94行94列的二維代碼表中。區(qū)碼和位碼各表示兩位十進(jìn)制數(shù)，國標(biāo)碼＝（區(qū)位碼）₁₆＋2020H，漢字內(nèi)碼＝（國標(biāo)碼）₁₆＋8080H。

拼音碼：以漢語拼音作為輸入碼，容易記憶，缺點(diǎn)重碼率高。

字形碼：將漢語筆畫用數(shù)字或者字符編碼，按一定順序輸入即可得到漢字。

b．漢字內(nèi)碼

漢字內(nèi)碼用于計(jì)算機(jī)存儲(chǔ)，處理加工，傳輸時(shí)所用的二進(jìn)制編碼，與ASCII碼類似。

c．漢字字形碼

漢字字形碼用于顯示或者打印輸出，常用點(diǎn)陣或矢量表示。

③字符串表示方式

字符串就是連續(xù)的一串字符，它們?cè)谥鞔嬷姓加枚鄠€(gè)連續(xù)字節(jié)，每個(gè)字節(jié)存儲(chǔ)一個(gè)字符。目前主要有兩種方式存放字符串：

a．大端模式：按先存儲(chǔ)高位字節(jié)，后存儲(chǔ)低位字節(jié)的順序存放字符串的內(nèi)容。

b．小端模式：可按先存儲(chǔ)低位字節(jié)，后存儲(chǔ)高位字節(jié)的順序存放字符串的內(nèi)容。

3校驗(yàn)碼

校驗(yàn)碼是指據(jù)有發(fā)現(xiàn)錯(cuò)誤或者指出錯(cuò)誤位置的的數(shù)據(jù)編碼方式。其原理是使用冗余編碼，來檢驗(yàn)或糾正錯(cuò)誤。

校驗(yàn)碼中，任意兩個(gè)合法編碼之間不同的二進(jìn)制位數(shù)，而這兩個(gè)合法碼之間的二進(jìn)制位數(shù)就稱為碼距。

碼距不小于2的數(shù)據(jù)校驗(yàn)碼，開始具有檢錯(cuò)的能力。碼距越大，檢、糾錯(cuò)能力就越強(qiáng)，而且檢錯(cuò)能力總是大于或等于糾錯(cuò)能力，與此同時(shí)編碼效率也越來越低。

常用的校驗(yàn)碼有以下三種：

（1）奇偶校驗(yàn)碼

奇偶效驗(yàn)碼，在原數(shù)據(jù)的尾部加上一位校驗(yàn)碼，碼距為2，只能檢錯(cuò)，不能糾錯(cuò)，只有發(fā)生錯(cuò)誤的位數(shù)為奇數(shù)時(shí)，它才能檢測(cè)出來。奇偶校驗(yàn)實(shí)現(xiàn)的方法：由若干位有效信息（如一個(gè)字節(jié)），再加上一個(gè)二進(jìn)制位（校驗(yàn)位）組成校驗(yàn)碼，校驗(yàn)位的取值（0或1）將使整個(gè)校驗(yàn)碼中。“1”的個(gè)數(shù)為奇數(shù)或偶數(shù)，所以有兩種可供選擇的校驗(yàn)規(guī)律。

奇校驗(yàn)碼：整個(gè)校驗(yàn)碼中“1”的個(gè)數(shù)為奇數(shù)。

偶校驗(yàn)碼：整個(gè)校驗(yàn)碼中“1”的個(gè)數(shù)為偶數(shù)。

（2）海明碼

海明碼是一種多重（復(fù)式）奇偶檢錯(cuò)系統(tǒng)。它將信息用邏輯形式編碼，以便能夠檢錯(cuò)和糾錯(cuò)。用在海明碼中的全部傳輸碼字是由原來的信息和附加的奇偶校驗(yàn)位組成的。每一個(gè)這種奇偶位被編在傳輸碼字的特定位置上。這個(gè)系統(tǒng)對(duì)于錯(cuò)誤的數(shù)位無論是原有信息位中的，還是附加校驗(yàn)位中的都能把它分離出來。

推導(dǎo)并使用長度為m位的碼字的海明碼，所需步驟如下：

①確定最小的校驗(yàn)位數(shù)k，將它們記成D₁、D₂、…、D_k，每個(gè)校驗(yàn)位符合不同的奇偶測(cè)試規(guī)定。

②原有信息和k個(gè)校驗(yàn)位一起編成長為m＋k位的新碼字。選擇k校驗(yàn)位（0或1）以滿足必要的奇偶條件。

③對(duì)所接收的信息作所需的k個(gè)奇偶檢查。

④如果所有的奇偶檢查結(jié)果均為正確的，則認(rèn)為信息無錯(cuò)誤。

如果發(fā)現(xiàn)有一個(gè)或多個(gè)錯(cuò)了，則錯(cuò)誤的位由這些檢查的結(jié)果來唯一地確定。

下面用一下例子說明海明碼的求解過程，假設(shè)n＝4，k＝3

①確定海明碼的位數(shù)

設(shè)n為有效信息的位數(shù)，k為校驗(yàn)位的位數(shù)，則信息位n和校驗(yàn)位k應(yīng)滿足：n＋k≤2^k－1

海明碼位數(shù)為n＋k＝7≤2³－1成立，則n、k有效。信息位設(shè)為D₄D₃D₂D₁（1010），共4位，校驗(yàn)位P₃P₂P₁，共3位。故其海明碼為H₇H₆H₅H₄H₃H₂H₁。

②確定校驗(yàn)位的分布

規(guī)定校驗(yàn)位P_i在海明位號(hào)為2^i－1的位置上，其余各位為信息位，因此：

P₁的海明位號(hào)為2^i－1＝2⁰＝1，即H₁為P₁。

P₂的海明位號(hào)為2^i－1＝2¹＝2，即H₂為P₂。

P₃的海明位號(hào)為2^i－1＝2²＝4，即H₄為P₃。

將信息位按原來的順序插入，則海明碼各位的分布如下：

③分組，以形成校驗(yàn)關(guān)系

每個(gè)數(shù)據(jù)位用多個(gè)校驗(yàn)位進(jìn)行校驗(yàn)，但要滿足：被校驗(yàn)數(shù)據(jù)位的海明位號(hào)等于校驗(yàn)該數(shù)據(jù)位的各校驗(yàn)位海明位號(hào)之和。另外，校驗(yàn)位不需要再被校驗(yàn)。由題目要求可知D₁由P₂P₁校驗(yàn)，D₂由P₃P₁校驗(yàn)，D₃由P₃P₂校驗(yàn)，D₄由P₃P₂P₁校驗(yàn)。

④校驗(yàn)位取值

校驗(yàn)位P_i的值為第i組（由該校驗(yàn)位校驗(yàn)的數(shù)據(jù)位）所有位求異或。根據(jù)③中的分組有：

P₁＝D₁⊕D₂⊕D₃＝0⊕1⊕1＝0

P₂＝D₁⊕D₃⊕D₄＝0⊕0⊕1＝1

P₃＝D₂⊕D₃⊕D₄＝1⊕0⊕1＝0

所以，1010對(duì)應(yīng)的海明碼為1010010。

⑤海明碼的校驗(yàn)

每個(gè)校驗(yàn)組分別利用校驗(yàn)位和參與形成該校驗(yàn)位的信息位進(jìn)行奇偶校驗(yàn)檢查，就構(gòu)成了k個(gè)校驗(yàn)方程：

S₁＝P₁⊕D₁⊕D₂⊕D₃

S₂＝P₂⊕D₁⊕D₃⊕D₄

S₃＝P₃⊕D₂⊕D₃⊕D₄

若S₃S₂S₁的值為“000”，則說明無錯(cuò)；否則說明出錯(cuò)，而且這個(gè)數(shù)就是錯(cuò)誤位的位號(hào)，如S₃S₂S₁＝001，說明第1位出錯(cuò)，即H₁出錯(cuò)，直接將該位取反就達(dá)到了糾錯(cuò)的目的。

（3）循環(huán)冗余校驗(yàn)（CRC）碼

循環(huán)冗余校驗(yàn)碼（CRC）的基本原理是：在K位信息碼后再拼接R位的校驗(yàn)碼，整個(gè)編碼長度為N位，因此，這種編碼又叫（N，K）碼。對(duì)于一個(gè)給定的（N，K）碼，可以證明存在一個(gè)最高次冪為N－K＝R的多項(xiàng)式G（x）。根據(jù)G（x）可以生成K位信息的校驗(yàn)碼，而G（x）叫做這個(gè)CRC碼的生成多項(xiàng)式。

CRC碼的生成步驟如下：

①將x的最高冪次為R的生成多項(xiàng)式G（x）轉(zhuǎn)換成對(duì)應(yīng)的R＋1位二進(jìn)制數(shù)；

②將信息碼左移R位，相當(dāng)與對(duì)應(yīng)的信息多項(xiàng)式G（x）*2^R；

③用生成多項(xiàng)式（二進(jìn)制數(shù)）對(duì)信息碼做模2除，得到R位的余數(shù)；

④將余數(shù)拼到信息碼左移后空出的位置，得到完整的CRC碼。

下面使用一個(gè)例子來說明，CRC校驗(yàn)碼的生成過程。

設(shè)生成多項(xiàng)式為G（x）＝x³＋x²＋1，信息碼為101001，求對(duì)應(yīng)的CRC碼。

a．轉(zhuǎn)換

R＝生成多項(xiàng)式最高冪次＝3，K＝信息碼長度＝6，N＝K＋R＝9。生成多項(xiàng)式G（x）對(duì)應(yīng)的二進(jìn)制碼為1101。

b．移位

將原信息碼左移R位，低位補(bǔ)0。得到101001000。

c．相除

對(duì)移位后的信息碼，用生成多項(xiàng)式進(jìn)行模2除法，產(chǎn)生余數(shù)。模2加法和減法的結(jié)果相同，都是做異或運(yùn)算，模2除法和算術(shù)除法類似，但每一位除（減）的結(jié)果不影響其他位，也就是不借位，步驟如下：

第一，用除數(shù)對(duì)被除數(shù)最高幾位做模2減（異或），不借位。

第二，除數(shù)右移一位，若余數(shù)最高位為1，商為1，并對(duì)余數(shù)做模2減。若余數(shù)最高位為0，商為0，除數(shù)繼續(xù)右移一位。

第三，循環(huán)直到余數(shù)位數(shù)小于除數(shù)時(shí)，該余數(shù)為最終余數(shù)。

模2除法，得到的余數(shù)為001，則報(bào)文101001編碼后的報(bào)文（即CRC碼）為101001001。

d．檢錯(cuò)和糾錯(cuò)

接收端收到的CRC碼，用生成多項(xiàng)式G（x）做模2除法，若余數(shù)為0，則碼字無錯(cuò)。

若接收端收的CRC碼為C₉C₈C₇C₆C₅C₄C₃C₂C₁＝101001011，將這個(gè)數(shù)據(jù)與1101進(jìn)行模2除法，得到的余數(shù)為010，則說明C₂出錯(cuò)，將C₂取反即可。

二、定點(diǎn)數(shù)的表示和運(yùn)算

1定點(diǎn)數(shù)的表示

在計(jì)算機(jī)中的數(shù)據(jù)可以分為有符號(hào)數(shù)與無符號(hào)數(shù)。對(duì)于無符號(hào)數(shù)，整個(gè)機(jī)器字長的二進(jìn)制位均為數(shù)值位，8位無符號(hào)數(shù)可表示范圍為0～255；對(duì)于有符號(hào)數(shù)，一般用最高位表示符號(hào)位，用0表示正，1表示負(fù)，其余位為數(shù)值位。

定點(diǎn)數(shù)是小數(shù)點(diǎn)位置固定的數(shù)。通常情況下，小數(shù)點(diǎn)位置固定在最高位（定點(diǎn)小數(shù)），或者小數(shù)點(diǎn)位置固定在最低位（定點(diǎn)整數(shù)）。

①定點(diǎn)小數(shù)

在定點(diǎn)數(shù)中，小數(shù)點(diǎn)位置固定，表示小數(shù)時(shí)，小數(shù)點(diǎn)固定在最高位，故定點(diǎn)小數(shù)為純小數(shù)。數(shù)據(jù)X的形式為x₀x₁x₂…x_n其中x₀為符號(hào)位，x₁～x_n是數(shù)值的有效部分，也稱為尾數(shù)，x₁為最高有效位。其所能表示的最大正數(shù)為1－2^－n；最小負(fù)數(shù)為－(1－2^－n)。

②定點(diǎn)整數(shù)

定點(diǎn)整數(shù)小數(shù)點(diǎn)位置在最后，表示純整數(shù)。數(shù)據(jù)X可表示為如下形式x₀x₁x₂…x_n其中x₀為符號(hào)位，x₁～x_n是尾數(shù)，x_n為最低有效位。X其所能表示的最大正數(shù)，真值等于2^n－1；其所能表示的最小負(fù)數(shù)為－(2ⁿ－1)。

2原碼，反碼，補(bǔ)碼，移碼

（1）原碼表示法

原碼用最高位表示該數(shù)的符號(hào)，其余的各位表示數(shù)的數(shù)值。其定義如下：

①純小數(shù)的原碼定義：

②整數(shù)原碼定義：

對(duì)于n＋1的原碼來說，其小數(shù)的表示范圍為－（1－2^－n）≤X≤1－2^－n，整數(shù)表示范圍為－（2ⁿ－1）≤X≤2ⁿ－1，原碼數(shù)據(jù)表示范圍關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱。零的原碼有正零和負(fù)零兩種形式：[＋0]_原＝00000，[－0]_原＝10000。

（2）反碼表示法

反碼：機(jī)器數(shù)的一種表示形式，最高位為符號(hào)位，其余位正數(shù)時(shí)與原碼相同，負(fù)數(shù)時(shí)取反。其定義如下：

純小數(shù)的反碼定義：

整數(shù)反碼定義：

對(duì)于字長為n＋1的反碼而言，小數(shù)的表示范圍為－（1－2ⁿ）≤X≤1－2^－n，整數(shù)反碼的表示范圍為－（2ⁿ－1）≤X≤2ⁿ－1。0的反碼表示方式也有兩種：[＋0]_反＝0.0000，[－0]_反＝1.1111。

（3）補(bǔ)碼表示法

補(bǔ)碼是計(jì)算機(jī)中廣泛使用的一種機(jī)器數(shù)表現(xiàn)形式，常用于計(jì)算機(jī)的計(jì)算過程中。

純小數(shù)的補(bǔ)碼定義：

純整數(shù)的補(bǔ)碼定義：

對(duì)于字長為n＋1的補(bǔ)碼而言，小數(shù)的表示范圍為－1≤X≤1－2^－n，整數(shù)的表示范圍為－2ⁿ≤X≤2ⁿ－1，0的補(bǔ)碼表示是唯一的。即[＋0]＝[－0]＝0.0000。

（4）移碼表示法

移碼（又叫增碼）是符號(hào)位取反的補(bǔ)碼，相當(dāng)于在真值上加上一個(gè)偏置值，一般用做浮點(diǎn)數(shù)的階碼，引入的目的是為了保證浮點(diǎn)數(shù)的機(jī)器零為全0。

移碼特點(diǎn)：

①移碼中零的表示唯一，[＋0]_移＝[－0]_移＝100…0。

②一個(gè)真值的移碼和補(bǔ)碼僅差一個(gè)符號(hào)位。

③移碼全0時(shí)，代表其最小值－2ⁿ；移碼全1時(shí)，表示其最大值2ⁿ－1。

④移碼大真值就大，移碼小真值就小。

（5）原碼，反碼，補(bǔ)碼，移碼間相互轉(zhuǎn)換

對(duì)于整數(shù)而言，原碼，反碼，補(bǔ)碼形式均相同。

對(duì)于負(fù)數(shù)，原碼是符號(hào)位為1，數(shù)值部分取X絕對(duì)值的二進(jìn)制。反碼是符號(hào)位為1，其它位是原碼取反。補(bǔ)碼是符號(hào)位為1，其它位是原碼取反，未位加1。也就是說，負(fù)數(shù)的補(bǔ)碼是其反碼末位加1。

移碼就是將符號(hào)位取反的補(bǔ)碼。

3定點(diǎn)數(shù)運(yùn)算

（1）定點(diǎn)數(shù)移位運(yùn)算

移位運(yùn)算包括算術(shù)移位與邏輯移位，一般對(duì)有符號(hào)進(jìn)行算術(shù)移位，邏輯移位一般對(duì)無符號(hào)數(shù)進(jìn)行。

①算術(shù)移位

在算術(shù)移位過程中，符號(hào)位不變。對(duì)于正數(shù)，移位后空位補(bǔ)0，負(fù)數(shù)時(shí)，原碼，反碼，補(bǔ)碼的填補(bǔ)方式有所不同。

a．原碼移位時(shí)，要使符號(hào)位不變，其空位均添0。

b．反碼移位時(shí)，符號(hào)位不變，其余空位部添1。

c．補(bǔ)碼左移時(shí)，空位出現(xiàn)在低位，添0；右移時(shí)因空位出現(xiàn)在高位，則添1。

②邏輯移位

邏輯移位將操作數(shù)看做無符號(hào)數(shù)看待，移位規(guī)則：無論邏輯左移還是邏輯右移都在空缺位添0。

③循環(huán)移位

循環(huán)移位分為帶進(jìn)位標(biāo)志位CF的循環(huán)移位（大循環(huán)）和不帶進(jìn)位標(biāo)志位的循環(huán)移位（小循環(huán)）。不帶標(biāo)志的循環(huán)移位過程中，將最高位送到CF中，帶進(jìn)位的循環(huán)移位，標(biāo)志位參與移位。下面給出幾種移位的示意圖。

圖2-1　幾種循環(huán)移位方式

【例】在補(bǔ)碼表示的機(jī)器中，若寄存器A中原存的數(shù)為9EH，現(xiàn)存的數(shù)為CFH，則表明執(zhí)行的一條指令是（　　）

A．算術(shù)左移

B．邏輯左移

C．算術(shù)右移

D．邏輯右移

【答案】C

【解析】寄存器A中原存內(nèi)容10011110，現(xiàn)存內(nèi)容11001111，說明執(zhí)行了一條算術(shù)右移指令。

（2）定點(diǎn)數(shù)原碼加/減法

在進(jìn)行原碼加減運(yùn)算時(shí)規(guī)則如下：

①加法規(guī)則：先判符號(hào)位，若相同，絕對(duì)值相加，結(jié)果符號(hào)位不變；若不同，則做減法，絕對(duì)值大的數(shù)減去絕對(duì)值小的數(shù)，結(jié)果符號(hào)位與絕對(duì)值大的數(shù)相同。

②減法規(guī)則：兩個(gè)原碼表示的數(shù)相減，首先將減數(shù)符號(hào)取反，然后將被減數(shù)與符號(hào)取反后的減數(shù)按原碼加法進(jìn)行運(yùn)算。

運(yùn)算時(shí)注意機(jī)器字長，當(dāng)左邊位出現(xiàn)溢出時(shí)，將溢出位丟掉。原碼運(yùn)算在機(jī)器不易實(shí)現(xiàn)，故在計(jì)算機(jī)中采用補(bǔ)碼進(jìn)行運(yùn)算。

（3）定點(diǎn)數(shù)補(bǔ)碼加/減法

補(bǔ)碼進(jìn)行加減運(yùn)算規(guī)則簡單，容易實(shí)現(xiàn)。進(jìn)行運(yùn)算時(shí)，首先將數(shù)據(jù)變?yōu)檠a(bǔ)碼形式。其運(yùn)算原則如下：

①加法：整數(shù)[A]_補(bǔ)＋[B]_補(bǔ)＝[A＋B]_補(bǔ)（mod 2^n＋1），小數(shù)[A]_補(bǔ)＋[B]_補(bǔ)＝[A＋B]_補(bǔ)（mod 2）。

②減法：整數(shù)[A－B]_補(bǔ)＝[A]_補(bǔ)＋[－B]_補(bǔ)（mod 2^n＋1），小數(shù)[A－B]_補(bǔ)＝[A]_補(bǔ)＋[－B]_補(bǔ)（mod 2）。

補(bǔ)碼運(yùn)算的結(jié)果還是補(bǔ)碼。

【例】一個(gè)C語言程序在一臺(tái)32位機(jī)器上運(yùn)行。程序中定義了三個(gè)變量x、y和z，其中x和z是int型，y為short型。當(dāng)x＝127，y＝－9時(shí)，執(zhí)行賦值語句z＝x＋y后，x、y和z的值分別是（　　）。

A．x＝0000007FH，y＝FFF9H，z＝00000076H

B．x＝0000007FH，y＝FFF9H，z＝FFFF0076H

C．x＝0000007FH，y＝FFF7H，z＝FFFF0076H

D．x＝0000007FH，y＝FFF7H，z＝00000076H

【答案】D

【解析】結(jié)合題干及選項(xiàng)可知，int為32位，short為16位；又C語言的整型數(shù)據(jù)在內(nèi)存中為補(bǔ)碼形式，故x、y的機(jī)器數(shù)寫為十六進(jìn)制為0000007FH、FFF7H。執(zhí)行z＝x＋y時(shí)，由于x為int型，y為short型，故需將y的類型強(qiáng)制轉(zhuǎn)換為int，在機(jī)器中通過符號(hào)位擴(kuò)展實(shí)現(xiàn)，由于y的符號(hào)位為1，故在y的前面添加16個(gè)1，即可將y強(qiáng)制轉(zhuǎn)換為int型，其十六進(jìn)制形式為FFFFFFF7H；然后執(zhí)行加法，即0000007FH＋FFFFFFF7H＝00000076H（最高位的進(jìn)位1自然丟棄）。

（4）定點(diǎn)數(shù)乘法

①原碼一位乘法

原碼的一位乘法與進(jìn)行手工計(jì)算的過程相似，將數(shù)值計(jì)算與符號(hào)運(yùn)算分開，其符號(hào)為由兩數(shù)的符號(hào)位異或給出，數(shù)值部分由兩數(shù)絕對(duì)值相乘，其基本規(guī)則如下：

a．部分積的長度同被乘數(shù)，取n＋1位，以便存放乘法過程中絕對(duì)值大于或等于1的值，初值為0。

b．從乘數(shù)的最低位y_n開始判斷：若y_n＝1，則部分積加上被乘數(shù)x，然后右移一位；若y_n＝0，則部分積加上0，然后右移一位。

c．重復(fù)步驟b，判斷n次。

原碼一位乘法運(yùn)算過程中的右移操作均為邏輯右移。

②補(bǔ)碼一位乘法

補(bǔ)碼一位乘法，首先將兩數(shù)化為補(bǔ)碼形式，符號(hào)位直接參與計(jì)算，其基本運(yùn)算規(guī)則如下：

a．被乘數(shù)與部分積一般取雙符號(hào)位參與運(yùn)算，初值為0，乘數(shù)可取單符號(hào)位。

b．乘數(shù)末位增設(shè)附加位，且初值為0。

c．根據(jù)（y_i，y_i＋1）的取值來確定操作。

表2-1　位移規(guī)則

d．移位按補(bǔ)碼右移規(guī)則進(jìn)行。

補(bǔ)碼算法，對(duì)于n位數(shù)，要進(jìn)行n＋1次，最后一次不移位。

（5）定點(diǎn)數(shù)除法

①原碼不恢復(fù)余數(shù)法

原碼不恢復(fù)余數(shù)法是一種原碼常用的除法運(yùn)算，其特點(diǎn)是，符號(hào)運(yùn)算與數(shù)值運(yùn)算分離，在運(yùn)算過程中，不用再花費(fèi)時(shí)間恢復(fù)負(fù)數(shù)余數(shù)。其基本規(guī)則如下：

a．商的符號(hào)由除數(shù)與被除數(shù)的符號(hào)異或得到。

b．當(dāng)余數(shù)為正時(shí)，商上1，余數(shù)和商左移一位，再減去除數(shù)。

c．當(dāng)余數(shù)為負(fù)時(shí)，商上0，余數(shù)和商左移一位，再加上除數(shù)。

d．最后一步，不夠減時(shí)，商0，加上除數(shù)，恢復(fù)余數(shù)。

②補(bǔ)碼除法運(yùn)算（加減交替法）

補(bǔ)碼一位除法：符號(hào)位與數(shù)值位一起參加運(yùn)算。第一步根據(jù)被除數(shù)和除數(shù)的符號(hào)決定是做加法還是減法；上商的原則根據(jù)余數(shù)和除數(shù)的符號(hào)位共同決定，同號(hào)上商“1”，異號(hào)上商“0”最后一步商恒置“1”。

加減交替法的規(guī)則如下：

a．除數(shù)與被除數(shù)均用補(bǔ)碼表示，商和余數(shù)也用補(bǔ)碼表示。

b．若被除數(shù)與除數(shù)同號(hào)，被除數(shù)減去除數(shù)；若被除數(shù)與除數(shù)異號(hào)，被除數(shù)加上除數(shù)。

c．若余數(shù)與除數(shù)同號(hào)，商上1，余數(shù)左移一位減去除數(shù)；若余數(shù)與除數(shù)異號(hào)，商上0，余數(shù)左移一位加上除數(shù)。

d．一般采用“末位恒置1”法，有精度要求另處理。

（6）溢出概念以及判斷方法

溢出是指數(shù)據(jù)運(yùn)算結(jié)果超出了數(shù)的表示范圍，在計(jì)算機(jī)中才有的概念，因?yàn)橛?jì)算機(jī)中數(shù)據(jù)表示范圍有限。一般常用一下幾種方式判斷數(shù)據(jù)是否溢出：

①采用單符號(hào)位

在計(jì)算機(jī)中，無論加法還是減法都是采用加法的形式實(shí)現(xiàn)，如果參加操作的兩個(gè)數(shù)數(shù)符相同，但是結(jié)果的操作符與原操作數(shù)不同，則發(fā)生溢出。

②采用雙符號(hào)位

在雙符號(hào)位表示法中兩個(gè)符號(hào)位相同，表示未溢出，兩個(gè)符號(hào)位S₁S₂不同，表示溢出，真正的符號(hào)有高位表示。主要由以下四種情況：

a．S₁S₂＝00，表示結(jié)果為正數(shù)，無溢出；

b．S₁S₂＝01，表示結(jié)果正溢出；

c．S₁S₂＝10，表示結(jié)果負(fù)溢出；

d．S₁S₂＝11，表示結(jié)果為負(fù)數(shù)，無溢出。

③用一位符號(hào)位以及數(shù)據(jù)位的進(jìn)位情況判斷溢出

如果符號(hào)位的進(jìn)位C_s與最高數(shù)位的進(jìn)位C₁相同，則說明沒有溢出，否則表示發(fā)生溢出。

【例】定點(diǎn)原碼除法中，每次做被除數(shù)（余數(shù)）減除數(shù)，根據(jù)所得差的符號(hào)，判斷是否夠減，差數(shù)＞0，說明夠減，商“1”；差數(shù)＜0，說明不夠減，商“0”；第一位除法所求的商表示（　　）。

A．商的符號(hào)

B．商的第1位數(shù)值

C．商數(shù)溢出與否

D．無關(guān)

【答案】C

【解析】第一位除法所求的商若為0，則說明不夠減，滿足|被除數(shù)|＜|除數(shù)|；第一位除法所求的商若為1，則說明夠減，不滿足|被除數(shù)|＜|除數(shù)|。因此，第一位除法所求的商表示商數(shù)的溢出與否。

三、浮點(diǎn)數(shù)的表示和運(yùn)算

1浮點(diǎn)數(shù)的表示

浮點(diǎn)數(shù)就是將比例因子以適當(dāng)?shù)男问奖硎驹跀?shù)據(jù)中，而且小數(shù)點(diǎn)的位置可以根據(jù)需要進(jìn)行改變。浮點(diǎn)數(shù)的表示方法擴(kuò)大了數(shù)據(jù)的表示范圍。常用的浮點(diǎn)數(shù)表示方法如下：

圖2-2　普通浮點(diǎn)數(shù)表示法

浮點(diǎn)數(shù)表示主要包括兩個(gè)部分階碼部分與數(shù)值部分。階碼由階符與階碼數(shù)值部分組成，數(shù)值部分由數(shù)符與尾數(shù)部分組成。小數(shù)點(diǎn)隱含表示，在尾數(shù)之前。階碼為整數(shù)，與階符一起反應(yīng)符點(diǎn)數(shù)的表示范圍，尾數(shù)反應(yīng)浮點(diǎn)數(shù)的精度。

（1）浮點(diǎn)數(shù)的規(guī)格化

浮點(diǎn)數(shù)的規(guī)格化操作就是調(diào)整浮點(diǎn)數(shù)的尾數(shù)和階碼的大小，浮點(diǎn)數(shù)在尾數(shù)的最高數(shù)位上是一個(gè)有效值（浮點(diǎn)數(shù)0除外）。一般來說，規(guī)格化操作主要有兩種：

①左規(guī)：當(dāng)浮點(diǎn)數(shù)尾數(shù)最高位不為1時(shí)要進(jìn)行規(guī)格化處理，將尾數(shù)左移一位，階碼減1（基數(shù)為2時(shí)）的方法稱為左規(guī)。

②右規(guī)：當(dāng)浮點(diǎn)數(shù)尾數(shù)出現(xiàn)溢出時(shí)，將尾數(shù)右移一位，階碼加1（基數(shù)為2時(shí)），這種方法稱為右規(guī)。規(guī)格化浮點(diǎn)數(shù)的尾數(shù)M的絕對(duì)值應(yīng)滿足：1/r≤|M|≤1（r為基數(shù)）。

尾數(shù)的基數(shù)為2時(shí)，原碼規(guī)格化數(shù)的尾數(shù)最高位一定是1，補(bǔ)碼規(guī)格化數(shù)的尾數(shù)最高位一定與尾數(shù)符號(hào)位相反。基數(shù)不同，浮點(diǎn)數(shù)的規(guī)格化形式也不同。

（2）IEEE754標(biāo)準(zhǔn)

IEEE754標(biāo)準(zhǔn)的常用格式如下：

圖2-3　IEEE754浮點(diǎn)數(shù)表示法

其中階符采用隱含表示，階碼用移碼表示，尾數(shù)用原碼表示。有三種常用格式：短浮點(diǎn)型，長浮點(diǎn)型，臨時(shí)浮點(diǎn)型。其中數(shù)符都為1位，短浮點(diǎn)型階碼8位，尾數(shù)23位，偏置值為127。長浮點(diǎn)型階碼11位，尾數(shù)53位，偏置值1023。臨時(shí)浮點(diǎn)型，階碼15位，尾數(shù)64。

在IEEE754標(biāo)準(zhǔn)中，實(shí)際階碼值＝E－偏置值。而且對(duì)于規(guī)格化的二進(jìn)制浮點(diǎn)數(shù)，數(shù)值的最高位總是“1”，為了能使尾數(shù)多表示一位有效位，將這個(gè)“1”隱含，因此尾數(shù)數(shù)值實(shí)際上是24位。隱含的“1”是一位整數(shù)。在浮點(diǎn)格式中表示出來的23位尾數(shù)是純小數(shù)。規(guī)格化的短浮點(diǎn)數(shù)的真值為：（－1）^s×1.M×2^E－127，規(guī)格化長浮點(diǎn)數(shù)的真值為：（－1）^s×1.M×2^E－1023。

2浮點(diǎn)數(shù)加減運(yùn)算

浮點(diǎn)數(shù)運(yùn)算時(shí)采用補(bǔ)碼形式，運(yùn)算時(shí)階符運(yùn)算與位數(shù)運(yùn)算分開，先做階符運(yùn)算，在進(jìn)行尾數(shù)運(yùn)算。浮點(diǎn)數(shù)運(yùn)算包括以下幾個(gè)步驟：

（1）對(duì)階

對(duì)階就是使得兩個(gè)浮點(diǎn)數(shù)的階碼相等。為此首先需要求取兩數(shù)的階碼差M，小階向大階看齊，將階碼小的尾數(shù)右移M位（基數(shù)為2），使得兩個(gè)數(shù)的階碼相等。尾數(shù)右移時(shí)，舍棄掉有效位會(huì)產(chǎn)生誤差，影響精度。

（2）尾數(shù)求和

將對(duì)階后的尾數(shù)按定點(diǎn)數(shù)加（減）運(yùn)算規(guī)則運(yùn)算。

（3）規(guī)格化

規(guī)格化分為左規(guī)與右規(guī)兩種，規(guī)格化的方法見上文。

（4）舍入處理

在浮點(diǎn)數(shù)的對(duì)階和右規(guī)的過程中，可能會(huì)將尾數(shù)低位丟失，此時(shí)需要采取一些從處理方法降低精度損失。常見的舍入方法有：

①0舍1入法：在尾數(shù)右移時(shí)，如果被移去的最高數(shù)值位為0，則舍去；被移去的最高數(shù)值位為1，則在尾數(shù)的末位加1。這樣做可能會(huì)使尾數(shù)又溢出，此時(shí)需再做一次右規(guī)。

②恒置1法：尾數(shù)右移時(shí)，不論丟掉的最高數(shù)值位是1還是0，都使右移后的尾數(shù)末位恒置1。

（5）溢出判斷

浮點(diǎn)數(shù)的溢出與否是由階碼的符號(hào)決定的，尾數(shù)溢出浮點(diǎn)數(shù)不一定溢出。使用雙符號(hào)位時(shí)，當(dāng)階碼的符號(hào)位為“01”時(shí)，即階碼大于最大階碼，表示上溢，此時(shí)會(huì)引發(fā)中斷進(jìn)行處理；當(dāng)階碼的符號(hào)位出現(xiàn)“10”時(shí)，即階碼小于最小階碼，表示下溢，按機(jī)器零處理，不會(huì)引起中斷。

【例】浮點(diǎn)數(shù)加減運(yùn)算過程一般包括對(duì)階、尾數(shù)運(yùn)算、規(guī)格化、舍人和判斷溢出等步驟。設(shè)浮點(diǎn)數(shù)的階碼和尾數(shù)均采用補(bǔ)碼表示，且位數(shù)分別為5位和7位（均含2位符號(hào)位）。若有兩個(gè)數(shù)X＝2⁷×29/32，Y＝2⁵×5/8，則用浮點(diǎn)加法計(jì)算X＋Y的最終結(jié)果是（　　）。

A．001111100010

B．001110100010

C．010000010001

D．發(fā)生溢出

【答案】D

【解析】根據(jù)題意，X可記為00,111;00,11101（分號(hào)前為階碼，分號(hào)后為尾數(shù)），Y可記為00,101;00,10100；首先對(duì)階，X、Y階碼相減，即00,111一00,101＝00,111＋11,011＝00,010（最高位進(jìn)位自然丟棄），可知X的階碼比Y的階碼大2，根據(jù)小階向大階看齊的原則，將Y的階碼加2，尾數(shù)右移2位，得Y為00,111;00,00101；尾數(shù)相加，即00,11101＋00,00101＝01,00010，尾數(shù)相加結(jié)果符號(hào)位為01，故需進(jìn)行右規(guī)；規(guī)格化，將尾數(shù)右移1位，階碼加1，得X＋Y為01,000;00,10001，階碼符號(hào)位為01，說明發(fā)生溢出。

四．算術(shù)邏輯單元（不是重點(diǎn)）

1．一位全加器

一位全加器實(shí)現(xiàn)了兩個(gè)一位數(shù)據(jù)的加法，其有加數(shù)A被加數(shù)B下級(jí)進(jìn)位C_i－1三個(gè)輸入，有運(yùn)算結(jié)果S與進(jìn)位C_i兩個(gè)輸出。其邏輯表達(dá)式為：

S＝A⊕B⊕C_i－1

C_i＝AB＋（A⊕B）C_i－1

2串行加法器

串行加法器只有一個(gè)全加器，數(shù)據(jù)逐位送入加法器中進(jìn)行運(yùn)算。如果操作數(shù)位長為n，加法就要分n次進(jìn)行，每次產(chǎn)生一位和，結(jié)果串行的送到寄存器中，用觸發(fā)器來保存進(jìn)位信號(hào)，并參與下一次計(jì)算。

3并行加法器

用n位全加器實(shí)現(xiàn)兩個(gè)n位操作數(shù)各位同時(shí)相加，這種加法器稱謂并行加法器。并行加法器中全加器的位數(shù)與操作數(shù)的位數(shù)相同。并行加法器從相對(duì)于串行加法器來說速度提升不少。但是并行加法器在進(jìn)位傳遞時(shí)會(huì)產(chǎn)生時(shí)延，并且并行加法器的最長運(yùn)算時(shí)間由此時(shí)延決定。

并行加法器有兩種常用的進(jìn)位方式：

（1）串行進(jìn)位

將n個(gè)全加器串聯(lián)，每一個(gè)全加器的進(jìn)位輸入依賴于上一級(jí)的進(jìn)位輸出。采用此種方式，進(jìn)位時(shí)延大，但是全加器結(jié)構(gòu)簡單。

（2）并行進(jìn)位

將各級(jí)全加器的進(jìn)位信號(hào)同時(shí)作為全加器的輸入，同時(shí)形成進(jìn)位信號(hào)。采用并行進(jìn)位方式提高了全加器的運(yùn)行速度，相對(duì)應(yīng)的硬件成本也增加。

4ALU邏輯算術(shù)單元

ALU是一種組合邏輯電路，它能進(jìn)行多種算術(shù)運(yùn)算和邏輯運(yùn)算。ALU的核心是一個(gè)并行加法器，通過此加法器可以完成加減乘除等算術(shù)運(yùn)算。同時(shí)ALU也能執(zhí)行“與”“或”“非”等邏輯運(yùn)算。ALU通過函數(shù)發(fā)生器產(chǎn)生不同信號(hào)，以完成不同操作。其結(jié)構(gòu)如下圖所示。

圖2-4　算術(shù)邏輯單元

A_i和B_i為輸入變量；S_i為控制信號(hào)，S_i的不同取值可決定該電路做哪一種算術(shù)運(yùn)算或哪一種邏輯運(yùn)算；F_i為輸出函數(shù)；C_i為進(jìn)位信息。