2011年清華大學經濟管理學院847微觀經濟學考研真題及詳解

1．（15分）如何區分經濟活動者對待風險的厭惡、熱衷和中立態度？運用預期效用理論解釋“背水一戰”現象？

答：（1）經濟學中將經濟活動者對待風險的態度分為三類：風險厭惡、風險愛好和風險中立。這三類風險態度是根據經濟活動者的效用函數的特征來區分的。

（2）假定經濟活動者的效用函數為U＝U（W），其中W為貨幣財富量，且效用函數為增函數。風險厭惡者的效用函數是嚴格向上的（即是嚴格凹函數），此時它的二階導數小于零。這說明此人認為在無風險條件下持有一筆確定貨幣財富量的效用大于在風險條件下持有彩票的期望效用。風險愛好者的效用函數是嚴格向下的（即是嚴格凸函數），此時它的二階導數也大于零。這說明此人認為在無風險條件下持有一筆確定貨幣財富量的效用小于在風險條件下持有彩票的期望效用。風險中立者的效用函數是線性的，此時它的二階導數等于零。這說明此人認為在無風險條件下持有一筆確定貨幣財富量的效用等于在風險條件下持有彩票的期望效用。

（3）背水一戰現象是典型的風險愛好者的行為，因為決策者認為冒險一拼的預期效益（或者期望效用）比安全性的撤退要大，因此背水一戰現象是典型的風險愛好者的行為。

2．（15分）論述產出與成本的對偶關系。

答：生產理論和成本理論是廠商理論中同一個問題的兩個方面。在技術水平和要素價格給定不變的前提下，生產函數與成本函數存在著對偶關系，具體體現為：短期內，產量曲線與成本曲線存在著對偶關系。如果說短期產量曲線是由邊際收益遞減規律所決定的，那么短期成本曲線則是由短期產量曲線所決定的。下面以只有一種要素可以變動的影響為例，短期邊際成本和平均成本與邊際產量和平均產量曲線之間的關系分別分析如下：

（1）邊際產量和邊際成本之間的關系TC（Q）＝TVC（Q）＋TFC＝wL（Q）＋TFC，式中，TFC為常數。由上式可得：MC＝dTC/dQ＝wdL/dQ，即：MC＝w/MP_L。

由此可得以下兩點結論：

①邊際成本MC和邊際產量MP_L兩者的變動方向是相反的。具體地講，由于邊際報酬遞減規律的作用，可變要素的邊際產量MP_L是先上升，達到一個最高點以后再下降，所以，邊際成本MC是先下降，達到一個最低點以后再上升。MP_L曲線的上升段對應MC曲線的下降段；MP_L曲線的下降段對應MC曲線的上升段；MP_L曲線的最高點對應MC曲線的最低點。

②由以上的邊際產量和邊際成本的對應關系可以推知，總產量和總成本之間也存在著對應關系。當總產量TP_L曲線下凸時，總成本TC曲線和總可變成本TVC曲線是下凹的；當總產量TP_L曲線下凹時，總成本TC曲線和總可變成本TVC曲線是上凸的；當總產量TP_L曲線存在一個拐點時，總成本TC曲線和總可變成本TVC曲線也各存在一個拐點。

（2）平均產量和平均可變成本之間的關系：AVC＝TVC/Q＝wL/Q＝w/AP_L。由此可得以下兩點結論：

①平均可變成本AVC和平均產量AP_L兩者的變動方向是相反的。前者呈遞增時，后者呈遞減；前者呈遞減時，后者呈遞增；前者的最低點對應后者的最高點。

②由于MC曲線與AVC曲線交于AVC曲線的最低點，MP_L曲線與AP_L曲線交于AP_L曲線的最高點，所以，MC曲線和AVC曲線的交點與MP_L曲線和AP_L曲線的交點是對應的。

（3）總成本曲線隨著產量的增加而遞增。由于邊際成本是先減后增的，且反映了總成本增加的速度，因而總成本曲線在邊際成本遞減階段，增長速度越來越慢；相反，總成本曲線在邊際成本遞增階段，增長速度加快。

3．（20分）生產函數Y＝F（K，L），定義E_K和E_L為資本和勞動的產出彈性，C_KL＝E_K/E_L，S_KL為生產的邊際替代率，T_LK＝L/K；α＝dlnT_LK/dlnS_KL，β＝－dlnT_LK/dlnC_KL。試證明：1/α＋1/β＝1，并說明C_KL的意義。

證明：（1）根據產出彈性的定義，有：E_K＝（?Y/?K）·（K/Y），E_L＝（?Y/?L）·（L/Y）。根據生產的邊際替代率有：S_KL＝（?Y/?K）/（?Y/?L），于是：

兩邊取對數，得：lnC_KL＝lnS_KL－lnT_LK。

兩邊取微分，得：dlnC_KL＝dlnS_KL－dlnT_LK。

兩邊同除以dlnT_LK并整理得：dlnS_KL/dlnT_LK－dlnC_KL/dlnT_LK＝1。

根據定義，顯然有：1/α＋1/β＝1。

（2）C_KL是資本與勞動的產出彈性之比，其大小反映的是資本與勞動在生產中的重要性。

4．（20分）用戶在A網絡與B網絡之間選擇通話時間，其中他消費的A網絡通話時間為x，B網絡通話時間為y。他的效用函數為u（x，y）＝x＋y。試求A和B網絡通話時間各自的需求函數。

解：設A網絡通話的單價為P_x，B網絡通話的單價為P_y，通話預算為M，則預算約束為P_xx＋P_yy＝M。顯然效用函數也是一條直線，而且邊際替代率為1，x和y是完全替代商品，于是最優消費點在角點處（即預算線和縱軸、橫軸的交點）或整個預算線上獲得。

（1）當預算線斜率絕對值P_x/P_y＜1時，也就是當P_x＜P_y時，消費者在預算線與橫軸的交點處獲得最優消費，如圖1（a）所示，此時y＝0，x＝M/P_x，這就是B網絡和A網絡的需求函數。

（2）當預算線斜率絕對值P_x/P_y＞1時，也就是當P_x＞P_y時，消費者在預算線與縱軸的交點處獲得最優消費，此時x＝0，y＝M/P_y，這就是A網絡和B網絡的需求函數。

（3）當預算線斜率絕對值P_x/P_y＝1時，預算線和效用線重合的點是最優消費點，此時預算線上所有點都是最優消費點，A網絡和B網絡的需求函數分別為x＝（M－P_yy）/P_x，y＝（M－P_xx）/P_y。

圖1　預算一定時的效用最大化

5．（20分）兩個廠商進行差別產品的價格競爭。其中一個是q₁＝12－2p₁＋p₂，另一個是q₂＝12－2p₂＋p₁，邊際成本為0，固定成本為20。

（1）求納什均衡中的價格和利潤。

（2）二者若共謀，平分利潤，求價格和利潤。

（3）在短期，共謀能否成立？長期呢？

解：（1）這是個伯特蘭均衡問題。廠商1和廠商2的利潤函數分別為：

π₁＝p₁q₁－20＝p₁（12－2p₁＋p₂）－20

π₂＝p₂q₂－20＝p₂（12－2p₂＋p₁）－20

納什均衡的必要條件是：?π₁/?p₁＝0，?π₂/?p₂＝0。

以此可得兩廠商對對方價格的反應曲線為：12－4p₁＋p₂＝0，12－4p₂＋p₁＝0。

聯立方程即可得到納什均衡價格分別為p₁*＝p₂*＝4，利潤分別為π₁*＝π₂*＝12。

（2）二者若共謀，則價格相同，設為p，此時整個市場的需求曲線為各自需求曲線之和：q＝q₁＋q₂＝24－2p。

總利潤函數為：π＝pq－40＝p（24－2p）－40；

利潤最大化的一階條件：?π/?p＝24－4p＝0。

得二者若共謀時的價格為p＝6，總利潤為32，因此各自利潤為16。

（3）這是個博弈問題。假如一方采取共謀價格，則另外一方未必采取共謀價格。設廠商2采取共謀價格6，此時廠商1面對的需求函數為：q₁＝12－2p₁＋6＝18－2p₁。

廠商1的利潤函數為：π₁＝p₁q₁－20＝p₁（18－2p₁）－20。

根據利潤最大化的一階條件：?π₁/?p₁＝18－4p₁＝0。

得廠商1的利潤最大化價格為p₁＝4.5，利潤為20.5，此時廠商2的利潤為7。

對于廠商2來說也是如此，因此支付矩陣如下：

由此可見，這是典型的囚徒困境，雙方存在著合作的基礎，因為合作可以使雙方都得到帕累托改進，但是短期共謀是不可能的，因為低價是各自的最佳策略，一次博弈或者有限期重復博弈都不可能改變各自的策略。

但是長期而言，他們之間的博弈就變成了無限次重復博弈，在這個有惟一純策略納什均衡的無限次重復博弈中，只要雙方足夠重視未來利益而且雙方采取一定的觸發懲罰策略，他們是可以達成共謀的。

6．（20分）一個村莊缺水，必須去很遠處打，一村民Terry自家發現一口古井，他花了32000美元修好了古井并安裝了一個自動售水裝置，以后售水不需要任何成本。他發現當水價為每桶8美元時，一桶都賣不出去，水價和收益（月）變化如下：

（1）Terry如果按照利潤最大，幾個月能收回成本32000美元？（不計利息）

（2）如果政府花32000美元買下古井，按照社會福利最大，水價應該為多少？每月售出多少水？

解：（1）根據題意，水價超過8美元時，月邊際收益均為0，所以從水價8美元開始計算，當水價等于8美元時，月總收益為0，對水的需求量為0桶；當水價為7美元時，月總收益為700美元，對水的需求量為100桶；當水價為6美元時，月總收益為1200美元，對水的需求量為200桶，依此類推，得以下需求量表：

很容易求得該需求函數為Q＝800－100P，反需求函數為P＝8－0.01Q。利潤函數為：

π＝PQ－32000＝（8－0.01Q）Q－32000＝－0.01Q2＋8Q－32000

利潤最大化的一階條件為：?π/?Q＝－0.02Q＋8＝0，解得：Q＝400。

代入反需求函數得價格為P＝4。因此，每月收益為1600美元，因為成本為32000美元，所以需要32000/1600＝20個月才能收回成本。

（2）社會福利最大化的條件為價格等于邊際成本，即P＝MC，而本題中MC＝0，所以水的價格應該定為每桶0元，將P＝0代入需求函數即得此時每月的需求量為800桶，因此每月售出水800桶。

7．（20分）壟斷是否必然造成社會福利損失？從形式上看，用產品需求彈性e_d表示的壟斷勢力指數L＝1/e_d，并不一定介于0和1之間，這是否說明公式L＝1/e_d與Lerner指數L的定義之間存在著矛盾之處？

答：（1）壟斷未必會造成社會福利損失，當壟斷廠商施行一級價格歧視時，非但沒有造成社會福利損失反而實現了社會總福利的最大化，但是，這種社會福利的分配毫無疑問是不公平的。

（2）用產品需求彈性e_d表示的壟斷勢力指數L＝1/e_d盡管并不一定介于0和1之間，但與勒納指數的定義并不矛盾，因為壟斷廠商的定價原則決定了其不可能在缺乏彈性，即e_d＜1的地方定價。

壟斷廠商的邊際收益（MR）為：

壟斷廠商的定價原則為MR＝MC，即：MC＝P（Q）（1－1/e_d）。由于廠商的邊際成本不可能小于0，所以1－1/e_d≥0，即e_d≥1。因此，只存在e_d≥1，勒納指數的值總是在0和1之間，公式L＝1/e_d與Lerner指數L的定義之間并不矛盾。

8．（20分）甲乙交換商品：甲有300單位X，乙有200單位Y。假設甲乙有相同的效用函數U（X，Y）＝XY。

（1）甲乙交換的所有帕累托最優。

（2）一般均衡下，價格體系和交換結果。

解：（1）用X_A表示甲經過交換后擁有的商品X的數量，用Y_A表示甲經過交換后擁有的商品Y的數量，用X_B表示乙經過交換后擁有的商品X的數量，用Y_B表示乙經過交換后擁有的商品Y的數量，對甲乙而言有：

根據交換的帕累托最優條件及MRS_XY＝MU_X/MU_Y有：Y_A/X_A＝Y_B/X_B＝（200－Y_A）/（300－X_A）。整理得3Y_A＝2X_A，同理有3Y_B＝2X_B，這就是所有滿足帕累托最優的狀態。

（2）根據，便得到甲的邊際替換率為2/3，又因為帕累托最優時邊際替換率等于商品價格之比，即，所以社會的價格體系為P_X/P_Y＝2/3。

假設帕累托最優時商品X的價格為2，商品Y的價格為3，于是消費者甲的約束條件為300×2＝2X_A＋3Y_A，結合3Y_A＝2X_A，便得到交換的結果為甲用150單位的X商品換取乙的100單位的Y商品。