第4章　拉普拉斯變換、連續時間系統的s域分析

4.1　復習筆記

一、拉普拉斯變換

1．定義及其收斂域

（1）雙邊拉普拉斯變換

（2）單邊拉普拉斯變換

因為

所以欲使此積分存在，則f(t)e－σt必須滿足絕對可積條件。在s平面(或稱復平面)上使f(t)e－σt滿足絕對可積條件的取值范圍稱為f(t)或F(s)的收斂域。

2．拉普拉斯變換的基本性質

令f₁(t)?F₁(s)，Re[s]＞σ₁，f₂(t)?F₂(s)，Re[s]＞σ₂，f(t)?F (s)，Re[s]＞σ₀

（1）線性性質：K₁f₁(t)＋K₂f₂(t)?K₁F₁(s)＋K₂F₂(s)，Re[s]＞max(σ₁、σ₂)

（2）時域或s域平移：；f(t)e－at? F(s＋a)，Re[s]＞σ₀＋Re[a]

（3）尺度變換：f(at)?(1/a)F(s/a)，a＞0，Re[s]＞aσ₀

（4）微分特性：

d[f(t)]/dt?sF(s)－f(0)，收斂域至少為Re[s]＞σ₀

－tf(t)?dF(s)/ds，Re[s]＞σ₀

（5）積分特性：

收斂域至少為Re[s]＞max(σ₀，0)

（6）卷積特性：f₁(t)*f₂(t) ?F₁(s) F₂(s)，收斂域至少為Re[s]＞max(σ₁、σ₂)；

（7）初值定理：

F(s)為真分式

（8）終值定理：

s＝0在收斂域內

3．常用信號的拉普拉斯變換

表4-1-1　常用信號的拉普拉斯變換

4．拉普拉斯逆變換

（1）部分分式展開法求解

首先將F(s)展開成部分分式之和的形式，再對各部分分式分別取逆變換后疊加即可得出f(t)。

（2）留數定理求解

將拉氏逆變換的積分運算轉化為求被積函數F(s)est在圍線中所有極點的留數之和。

若p_i為一階級點，則在極點s＝p_i處的留數為

若p_i為k階級點，則在極點s＝p_i處的留數為

5．拉普拉斯變換與傅里葉變換的關系

圖4-1-1

二、系統函數與系統特性

1．系統函數

系統的零狀態響應的拉氏變換與激勵的拉氏變換之比稱為系統函數，即H(s)＝R_ZS(s)/E(s)。

且沖激響應h(t)?H(s)。

2．零極點分布

系統函數H(s)的分母多項式之根構成極點，分子多項式的根是零點。在s平面上，用“○”表示零點，用“×”表示極點。由H(s)的全部零極點構成的圖稱為系統的零極點分布圖。根據系統的零極點分布可以分析系統的時域響應與頻響特性。

3．全通函數

如果一個系統函數的極點位于左半平面，零點位于右半平面，而且零點與極點對于jω軸互為鏡像，這種系統函數稱為全通函數，此系統則稱為全通系統或全通網絡。它的幅頻特性是常數。

4．最小相移函數

零點僅位于左半平面或jω軸的網絡函數稱為“最小相移函數”，該網絡稱為“最小相移網絡”。非最小相移函數可以表示為最小相移函數與全通函數的乘積，即非最小相移網絡可以用最小相移網絡與全通網絡的級聯來代替。

5．線性系統的穩定性

穩定系統是對任意的有界輸入，其零狀態響應也是有界的。

（1）穩定系統的時域判決條件為

（2）對于因果系統，穩定系統的S域判決條件：

①若H(s)的全部極點均位于s左半平面，則系統穩定。

②若H(s)的極點落在s右半平面或在虛軸上有二階(含二階)以上的極點，則系統不穩定。

③若H(s)的極點位于s平面的虛軸上且只有一階，則系統處于臨界穩定。